2021年浙江省温州市瑞安市中考数学一模试卷（word版，含答案）

这是一份2021年浙江省温州市瑞安市中考数学一模试卷（word版，含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． 长方体B． 正方体C． 圆柱D． 球
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，csα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13）B．（5，12）C．（13，5）D．（12，5）
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．c＞a＞b
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．24°C．18°D．15°
9．小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要（ ）
A．10元B．20元C．30元D．不能确定
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+B．4+4C．4+4D．8+4
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．（5分）若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 ．
13．（5分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
14．（5分）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C，顶点为D，过点C作x轴的平行线CA与抛物线的另一个交点为A，过点A作y轴的平行线AB与射线OD交于B．若OA＝OB，则c＝ ．
15．（5分）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 米．
16．（5分）如图甲是由一个正方形ABCD、一个矩形CEFG及一个圆组成，其中点B，C，E在同一水平线上，BC＝CE＝15，圆与AD切于点P，圆与CG切于点G，根据四边形的不稳定性由图甲变成图乙，两个四边形的形状发生改变，边长没有改变，此时，图乙中四边形CEFG的对角线GE⊥CE，圆的大小没有改变但位置发生移动，仍然与AD切于点P，圆与CG切于点H，且点H到AD的距离为4，则切点P在AD上移动的距离为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：cs60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
19．（8分）赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀：B：良好：C：一般：D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 名学生，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，请求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
20．（8分）如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
21．（10分）如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
（1）求证：∠ADF＝∠B；
（2）若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．
23．（12分）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
24．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点P是AB上一个动点，以点P为圆心PA为半径作⊙P，交边AC于点D，连接PD并延长交BC的延长线于点E，以AC，CE为邻边作矩形ACEF，连接BD并延长交EF于点G．
（1）求证：PB＝PE；
（2）如图2，当点F与点G重合时，求CE的长；
（3）当⊙P与△BEG的其中一边所在的直线相切时，求⊙P的半径；
（4）设△BPD的面积为S1，△EGD的面积为S2，当S1≥S2时，AP的取值范围是 ．（直接写出结果）
2021年浙江省温州市瑞安市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题。每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的。不选、多选、错选，均不给分）
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．
故选：B．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． 长方体B． 正方体C． 圆柱D． 球
【分析】找出每一个简单几何体得主视图与左视图即可．
【解答】解：A、长方体的主视图是长方形，左视图是正方形，故此选项正确；
B、正方体主视图与左视图都是正方形，故此选项错误；
C、圆柱体主视图与左视图都是长方形，故此选项错误；
D、球主视图与左视图都是圆形，故此选项错误；
故选：A．
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【解答】解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故选：D．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】解：2a+2a＝4a，A错误；
a2•a3＝a5，B错误；
（2a2）3＝8a6，C错误；
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，csα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13）B．（5，12）C．（13，5）D．（12，5）
【分析】过点P作PE⊥x轴于点E．根据a的余弦值和OP，先求出OE，再利用勾股定理求出PE即可．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵csα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．c＞a＞b
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝的系数k＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2，
∴a＞b＞0，
∵2＞0，
∴c＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．24°C．18°D．15°
【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝72°，然后利用互余计算∠C的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣72°＝18°．
故选：C．
9．小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要（ ）
A．10元B．20元C．30元D．不能确定
【分析】设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x、y、z元，根据题意得：，①+②得：5x+5y+5z＝100，所以x+y+z＝20，从而确定正确的选项．
【解答】解：设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x、y、z元，
根据题意得：，
①+②得：
5x+5y+5z＝100，
所以x+y+z＝20，
故选：B．
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+B．4+4C．4+4D．8+4
【分析】连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，根据直角三角形的三角函数和正方形的性质解答．
【解答】方法一：解：连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，
易得，△ABE≌△CBE，即∠ABE＝∠CBE＝＝135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABH＝90°，∠HBE＝135°﹣90°＝45°
设HE＝HB＝x，则，
解得：x＝，
∴CE＝2x＝，
同理，AE＝，
∴四边形ABCE的周长＝AE+CE+AB+BC＝2+2+＝8+4，
方法二：解：延长CB交AE于点N，
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵△CDF，△ADG是以AD，CD为边的等边三角形，
∴∠GAD＝∠DCF＝60°，
∴∠BAN＝∠180°﹣∠GAD﹣∠DAB＝30°，
∠BCE＝180°﹣∠DCF﹣∠BCD＝30°，
在四边形ADCE中，
∠E＝360°﹣∠CDA﹣∠DAE﹣∠DCE＝30°，
∴∠E＝NCE＝30°，
∴NC＝NE，
在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，
设BN＝x，AN＝2x，
∴AB2+BN2＝AN2，
即22+x2＝4x2，解得，x＝，
CN＝NE＝2+，
∴AE＝AN+NE＝2+2，
同理CE＝2+2，
∴镖形周长＝AE+CE+BC+BA＝2（2+2）+2+2＝8+．
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
12．（5分）若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 15π ．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π．
13．（5分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据一组数据6，x，3，5，4的众数是3，可以得到x的值，从而可以求得这组数据的中位数，本题得以解决．
【解答】解：∵一组数据6，x，3，5，4的众数是3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排列是：3，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是：4，
故答案为：4．
14．（5分）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C，顶点为D，过点C作x轴的平行线CA与抛物线的另一个交点为A，过点A作y轴的平行线AB与射线OD交于B．若OA＝OB，则c＝ ．
【分析】根据抛物线的解析式求得DH＝1﹣c，BF＝AF＝OC＝c，然后根据三角形中位线定理得到1﹣c＝c，解得即可．
【解答】解：作抛物线的对称轴，交OA于E，交x轴于H，
∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴顶点为（1，c﹣1），
∴DH＝1﹣c，
∵AC∥x轴，
∴AF＝OC＝c，AB⊥x轴，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF＝c，
∵OH＝FH，
∴DH＝BF，
∴1﹣c＝c，
∴c＝，
故答案为．
15．（5分）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 5 米．
【分析】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图，延长CG交FH于M，
∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，
∴△GFM∽△CDM，
∴，
设FM为a米，则a＝（a+2）×，
解得：a＝，
设BD＝x米，AB＝y米，
同理可得，△CMD∽△AMB，
∴，，
可得，，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程组的解，
∴AB＝5米．
故答案为：5．
16．（5分）如图甲是由一个正方形ABCD、一个矩形CEFG及一个圆组成，其中点B，C，E在同一水平线上，BC＝CE＝15，圆与AD切于点P，圆与CG切于点G，根据四边形的不稳定性由图甲变成图乙，两个四边形的形状发生改变，边长没有改变，此时，图乙中四边形CEFG的对角线GE⊥CE，圆的大小没有改变但位置发生移动，仍然与AD切于点P，圆与CG切于点H，且点H到AD的距离为4，则切点P在AD上移动的距离为 5 ．
【分析】由题意，得，切点P移动距离就是图甲中PD﹣图乙中PD．设圆的半径为R，圆心为O，图甲：连接OG、OP，则OG＝OP＝R，然后根据正方形的性质得CG的长；图乙：连接OP、OH，延长PD，过H作HM⊥PD，垂足为M，过点H作HN⊥OP，垂足为N，由勾股定理和相似三角形的性质可得DM、DH及PD的长，然后根据线段的和差可得答案．
【解答】解：由题意，得，切点P移动距离就是图甲中PD﹣图乙中PD．
设圆的半径为R，圆心为O，
图甲：连接OG、OP，则OG＝OP＝R，
∵∠OGP＝∠OPD＝∠ADG＝90°
∴四边形OGPD为正方形，
∴PD＝OG＝R＝GD，
∴CG＝15+R，
图乙：连接OP、OH，延长PD，过H作HM⊥PD，垂足为M，
∴OH＝R，HM＝4CH，
过点H作HN⊥OP，垂足为N，
ON＝R﹣4，
∴HN＝＝，
∵CG＝15+R，CE＝15，CG⊥CE，
∴＝，
∵△HMD∽△GEC，
∴，
∴DM＝，DH＝，
∴PD＝PM﹣DM＝HN﹣DM＝﹣＝DH＝，
∴R＝10，
∴图甲中，PD＝10，图乙中，PD＝5，
∴移动了10﹣5＝5．
故答案为：5．
三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：cs60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值以及有理数的乘方的定义计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式化简即可．
【解答】解：（1）原式＝2+
＝2+
＝；
（2）原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2
＝2a2+2ab．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD；
（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD，又由AB＝CF，∠B＝30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝30°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝．
19．（8分）赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀：B：良好：C：一般：D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 20 名学生，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，请求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）画出树状图，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）赵老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%＝20（人），
C类女生人数为20×25%﹣3＝2（人），D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1＝1（人），
故答案为：20、2、1；
（2）补全图形如下：
（3）
所有等可能结果：男女、男女、女男、女女、女男、女女，所选的两名同学恰好都是女生的有2种结果，
所以所选的两名同学恰好都是女生的概率为＝．
20．（8分）如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
【分析】（1）作底为2，高为3的平行四边形即可．
（2）利用数形结合的思想作出图形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．
（2）如图，四边形ABEF即为所求作．
21．（10分）如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解．
（2）求出点Q所在直线解析式，通过与CD，OD交点求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标为（6，0）代入y＝﹣x+b，
解得b＝3．y＝﹣x+3，
∵CD＝OD，点C坐标为（﹣4，0），
∴点D横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝4，
∴点D坐标为（﹣2，4）．
（2）∵点P所在直线解析式为：y＝﹣x+3（0≤x≤6），
点P关于y轴的对称点Q，且点Q落在△CDO内（不包括边界），
∴点Q所在直线解析式为：y＝x+3（﹣6＜x＜0）．
设CD所在直线解析式为：y＝kx+b，将C（﹣4，0），D（﹣2，4）代入解析式得k＝2，b＝8，
即y＝2x+8．
设OD所在直线解析式为：y＝mx，将D（﹣2，4）代入解析式得m＝﹣2，
即y＝﹣2x．
联立方程，解得．
联立方程，解得．
∵点Q横坐标为﹣a，
∴﹣＜﹣a＜﹣，解得＜a＜．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
（1）求证：∠ADF＝∠B；
（2）若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案；
（2）连接CE，由勾股定理求出AB＝4，证明△AFD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠FAE＝∠CAD，
∴∠FAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
即∠CAB＝∠DAF，
∵∠ACB＝90°，
∴AD为⊙O的直径，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠B；
（2）解：连接CE，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝AB＝2，
∵＝，
∴＝，
∴DF＝CE＝2，
∵∠ADF＝∠B，∠ACB＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF＝．
23．（12分）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ （39﹣3x）（x≥10） 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，求出关于EF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
【解答】解：（1）①设EF的长为x米，
∵点F在线段BC上，
∴DE＝36﹣2x﹣（x﹣3）＝（39﹣3x）（米）．
∵BC≤9，即DE≤9，
∴x≥10，
故答案为：（39﹣3x）（x≥10）；
②设EF的长为x米，
x（39﹣3x）＝66，
3x2﹣39x+66＝0，
（x﹣11）（3x﹣6）＝0，
x1＝11，x2＝2（不合题意，舍去），
答：饲养场的宽EF为11米；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米，
①点F在线段BC上，
则S＝x（39﹣3x）＝﹣3x2+39x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，x≥时，S随x的增大而减小，
∵BC＝9米，
∴BF＝39﹣3x≤9，解得：x≥10，
∴x＝10时，S有最大值，S最大值＝﹣3×102+39×10＝90（平方米）；
②点F在线段BC的延长线上，
则S＝（39﹣3x+9）x＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣8）2+96，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝8时，S有最大值，S最大值＝96，BF＝（39﹣3x+9）＝12，
∴x＝8时，S最大值＝96（平方米）；
∵96＞90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
24．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点P是AB上一个动点，以点P为圆心PA为半径作⊙P，交边AC于点D，连接PD并延长交BC的延长线于点E，以AC，CE为邻边作矩形ACEF，连接BD并延长交EF于点G．
（1）求证：PB＝PE；
（2）如图2，当点F与点G重合时，求CE的长；
（3）当⊙P与△BEG的其中一边所在的直线相切时，求⊙P的半径；
（4）设△BPD的面积为S1，△EGD的面积为S2，当S1≥S2时，AP的取值范围是 ≤AP≤10 ．（直接写出结果）
【分析】（1）根据代换角的关系可以得出∠ABC＝∠BEP，即可证明结论；
（2）过点P作PQ⊥AC于Q，M为⊙P与AB的交点，连接DM，设AQ＝x，根据勾股定理计算出x的值即可求得CE的长；
（3）分三种情况讨论当⊙P与△BEG的任一边所在的直线相切时求出半径的值；
（4）根据面积关系得出线段的关系，再根据线段关系得出AP的最小值，又因为P在AB上知AP的最大值，即可求出取值范围．
【解答】解：（1）∵四边形ACEF为矩形，
∴∠FEP+∠BEP＝90°，
又∵AD∥EF，
∴∠PDA＝∠FEP，
又∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴∠PDA+∠BEP＝90°，
又∵△ABC为直角三角形，
∴∠PAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BEP，
∴PB＝PE；
（2）如图2，过点P作PQ⊥AC于Q，M为⊙P与AB的交点，连接DM，
设AQ＝x，则AD＝2x，DC＝8﹣2x，PQ＝x，PA＝PD＝＝x，
∴BD2＝BC2+DC2＝BP2﹣DP2，
即62+（8﹣2x）2＝（10﹣x）2﹣（x）2，
解得x＝0（舍去）或x＝，
∵∠PQD＝∠DCE＝90°，∠PDQ＝∠CDE，
∴△PQD∽△ECD，
∴＝＝，
又∵CD＝8﹣2×＝，
∴EC＝CD＝＝；
（3）①当⊙P与△BEG的BG边所在的直线相切时，即为（2）的情况时，
此时半径为PA＝×＝，
②当⊙P与△BEG的BE边所在的直线相切时，如图3，
设切点为N，连接PN，
∵∠B＝∠B，∠PNB＝∠ACB＝90°，
∴△BPN∽△BAC，
∴＝，
设此时⊙P半径为r，
则＝，
解得r＝，
③当⊙P与△BEG的EG边所在的直线相切时，由题知此情况不存在，
综上⊙P的半径为或；
（4）∵△BPD的面积S1＝PD•BD，△EGD的面积S2＝CE•GE，
∴S1≥S2即PD•BD≥CE•GE，
当D为AC中点时S1＝S2，此时由（2）计算过程可得PA＝AD，
∵AD＝AC＝＝，
又∵P点在AB上，
∴≤AP≤10，
故答案为：≤AP≤10．