2021年浙江省温州市鹿城区中考数学一模试卷

这是一份2021年浙江省温州市鹿城区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省温州市鹿城区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（4分）截止2021年3月21日，电影《你好，李焕英》的票房已突破5310000000元，其中数据5310000000用科学记数法表示为（　　）
A．53.1×108 B．5.31×108 C．0.531×109 D．5.31×109
3．（4分）如图所示，某物体由4块立方体组成，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）一只不透明的盒子里装有9个只有颜色不同的球，其中红球4个、白球3个、黑球2个．从盒子里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）某校举办了一次“交通安全知识“测试，王老师从全校学生的答卷中随机地抽取了200名学生的答卷，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有1000人，则该校成绩为A的学生人数估计为（　　）

A．30 B．75 C．150 D．200
6．（4分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为l米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（　　）

A．（l tanα+h）米 B．（）米
C．l tanα米 D．米
7．（4分）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+5
8．（4分）《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（　　）

A．9 B．18 C．27 D．54
9．（4分）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，4），（3，4），若抛物线y＝a（x﹣2）2+3与线段MN有且只有一个交点，则a的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．
10．（4分）如图，E，F分别是正方形ABCD边AB，BC上的点，BE＝BF＝2．以DE，DF为边作▱DEGF，连接GE并延长交AD于点H，连接HF．若HF⊥ED，则AE的长为（　　）

A． B． C．2﹣2 D．2﹣2
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：a2﹣3a＝　 　．
12．（5分）不等式2x﹣1＞3的解集是　 　．
13．（5分）已知圆的半径为2cm，90°圆心角所对的弧长为　 　cm．
14．（5分）如图，点A（2，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△BCD的面积为　 　．

15．（5分）如图，直线l1：y＝x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，直线l2：y＝﹣x+m分别与x轴，y轴交于点C，D，直线l1，l2相交于点E，将△ABO向右平移5个单位得到△A′B'O'，若点B′恰好落在直线l2上，则DE：B'C＝　 　．

16．（5分）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝70cm，BC＝25cm，CP＝30cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为　 　cm；现将BH调整为25cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于　 　cm．

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（5分）计算：2sin30°+﹣20210．
18．（5分）化简：（a﹣1）2﹣a（a+2）．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上（BD＜BE），BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠ADE＝2∠B，BD＝2，求AE的长．

20．（8分）某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级
服装统一
动作整齐
动作标准
901班
85
70
85
902班
75
85
80
903班
90
85
95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩．
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，
它们在总分中所占的比例分别为10%，a%，b%．请你设计一组符合要求的a，b值，并直接给出三个班级的排名顺序．
21．（8分）如图，将一个长为8，宽为6的大矩形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．请按下列要求分别作出格点三角形和格点四边形．
（1）在图1中画出一个等腰△PCD，使点A，B在△PCD内部（不包括在△PCD边上）．
（2）在图2中画出一个矩形QEFG，使点A，B在矩形QEFG内部（不包括在矩形QEFG边上）．

22．（10分）如图，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+9交x轴于A，B两点，点A在点B左侧，点C的坐标为（6，0），AC＜BC，过点C作CD⊥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥CD交抛物线于点E．
（1）若点A的坐标为（4，0），求DE的长．
（2）当DE＝AB时，求m的值．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D为的中点，连接AD，作DE⊥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE＝EB．
（2）连接DO并延长交BC于点F．若CF＝2CE，BD＝5，求⊙O的半径．

24．（12分）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况．
销售情况
销售数量（单位：杯）
销售收入
（单位：元）
小杯
大杯
第一天
20
30
460
第二天
25
25
450
（1）问这款奶茶小杯和大杯的销售单价各是多少元？
（2）已知这款奶茶小杯成本4元/杯，大杯成本5元/杯，奶茶店每天只能供应80杯该款奶茶，其中小杯不少于10杯，求该款奶茶一天的最大利润．（销售利润＝销售收入﹣成本）
（3）为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完杯型后可以自主选择加料或者不加料．小明恰好用了208元购买该款奶茶，其中小杯不加料的数量是总杯数的，则小明这款奶茶大杯加料的买了　 　杯．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2，过对角线BD上一点P作AB的垂线交AB于点F，交CD于点E，过点E作EG∥BD交BC于点G，连接FG交BD于点H，连接DF．
（1）求的值．
（2）当四边形DFGE有一组邻边相等时，求BG的长．
（3）点B关于FG的对称点记为B'，若B'落在△EFG内部（不包含边界），求DP长度的取值范围．


2021年浙江省温州市鹿城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．
【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是﹣3．
故选：B．
2．（4分）截止2021年3月21日，电影《你好，李焕英》的票房已突破5310000000元，其中数据5310000000用科学记数法表示为（　　）
A．53.1×108 B．5.31×108 C．0.531×109 D．5.31×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5310000000000＝5.31×109．
故选：D．
3．（4分）如图所示，某物体由4块立方体组成，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得底层有3个正方形，上层中间有一个正方形．
故选：B．
4．（4分）一只不透明的盒子里装有9个只有颜色不同的球，其中红球4个、白球3个、黑球2个．从盒子里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用红球的个数除以所有球的总数即可求得答案．
【解答】解：袋子中球的总数为9，而红球有4个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为．
故选：D．
5．（4分）某校举办了一次“交通安全知识“测试，王老师从全校学生的答卷中随机地抽取了200名学生的答卷，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有1000人，则该校成绩为A的学生人数估计为（　　）

A．30 B．75 C．150 D．200
【分析】根据题目中的数据和统计图中的数据，可以计算出该校成绩为A的学生人数．
【解答】解：1000×＝150（人），
即该校成绩为A的学生人数估计为150人，
故选：C．
6．（4分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为l米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（　　）

A．（l tanα+h）米 B．（）米
C．l tanα米 D．米
【分析】根据题意得出DE＝1米，∠ADC＝α，DE＝h米，易得四边形ADEC为矩形，则AD＝CE＝h米，AC＝DE＝1米，在Rt△BAC中根据正切的定义得到BC＝1tanα，然后利用BE＝BC+CE进行计算即可得出答案．
【解答】解：如图，DE＝1米，∠BAC＝α，DE＝h米，
四边形ADEC为矩形，则DE＝AC＝1米，AD＝CE＝h米，
在Rt△ADC中，
∵tan∠BAC＝，
∴BC＝1tanα，
∴BE＝BC+CE＝（1tanα+h）米．
故选：A．
7．（4分）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+5
【分析】设小鹿第一天做了x件，则第二天比第一天多做了（x+5）件，根据“第一天工资60元，工资为75元”即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设小鹿第一天做了x件，则第二天比第一天多做了（x+5）件，
依题意得：＝．
故选：A．
8．（4分）《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（　　）

A．9 B．18 C．27 D．54
【分析】连接GF，证明△DHE∽△GHF，可得＝（）2，进而可得S4的值．
【解答】解：如图，连接GF，

∵AD＝BE，DG∥AC，EF∥BC，
∴＝＝＝，
∵∠DHE＝∠GHF，
∴△DHE∽△GHF，
∴＝（）2，
∵S2＝18，S3＝6，
∴＝，S△HGF＝S3，
∴S△DHE＝（）2×3＝27，
则S4的值为27．
故选：C．
9．（4分）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，4），（3，4），若抛物线y＝a（x﹣2）2+3与线段MN有且只有一个交点，则a的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于a的不等式，从而可以得到a的取值范围，然后即可判断哪个选项中的数据符合题意．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，3），
∵点M，N的坐标分别为（0，4），（3，4），抛物线y＝a（x﹣2）2+3与线段MN有且只有一个交点，
∴，
解得≤a＜1，
故选：B．
10．（4分）如图，E，F分别是正方形ABCD边AB，BC上的点，BE＝BF＝2．以DE，DF为边作▱DEGF，连接GE并延长交AD于点H，连接HF．若HF⊥ED，则AE的长为（　　）

A． B． C．2﹣2 D．2﹣2
【分析】先证明△AED≌△CFD，得四辺形DEGF是菱形，再征明△GFH是等腰直角三角形，作出輔助銭CQ＝AE得∠FDQ＝45，再证明△EDF≌△QDF，得到EF＝FQ＝2AE，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，延长BC至Q，使得CQ＝AE，连接EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝BC＝AD，AD∥BC，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，即AE＝CF，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠1＝∠4，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形，
∴DE∥GF，DF＝FG，
∵HF⊥ED，
∴∠HFG＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠4+∠ADF＝90°，
∴∠HDF＝∠2，
∴HF＝DF，
∴HF＝GF，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴∠G＝∠EDF＝45°，∠1＝∠4＝22.5°，
在△AED与△CDQ中，
，
∴△AED≌△CDQ（SAS），
∴DE＝DQ，∠1＝∠3＝22.5°，
∴∠FDQ＝45°，
在△EDF与△QDF中，
，
∴△EDF≌△QDF（SAS），
∴EF＝FQ＝2AE，
∵BE＝BF＝2，
∴EF＝＝2，
∴AE＝．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：a2﹣3a＝　a（a﹣3）　．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
12．（5分）不等式2x﹣1＞3的解集是　x＞2　．
【分析】移项后合并同类项得出2x＞4，不等式的两边都除以2即可求出答案．
【解答】解：2x﹣1＞3，
移项得：2x＞3+1，
合并同类项得：2x＞4，
不等式的两边都除以2得：x＞2，
故答案为：x＞2．
13．（5分）已知圆的半径为2cm，90°圆心角所对的弧长为　π　cm．
【分析】根据弧长公式l＝进行计算即可．
【解答】解：圆的半径为2cm，90°圆心角所对的弧长为：l＝＝π（cm），
故答案为：π．
14．（5分）如图，点A（2，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△BCD的面积为　　．

【分析】先运用待定系数法求出反比例函数解析式，再分别求出点B，C，D的坐标，即可求得答案．
【解答】解：将点A（2，2）代入y＝，得：2＝，
∴k＝4，
∴y＝，
∴B（1，4），C（3，），
∵D（3，4），
∴BD＝2，CD＝4﹣＝，
∴S△BCD＝BD•CD＝×2×＝，
故答案为：．

15．（5分）如图，直线l1：y＝x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，直线l2：y＝﹣x+m分别与x轴，y轴交于点C，D，直线l1，l2相交于点E，将△ABO向右平移5个单位得到△A′B'O'，若点B′恰好落在直线l2上，则DE：B'C＝　20：21　．

【分析】由平移的性质可知：B′（5，3），代入l2，从而得出l2的函数解析式，求出DE和B′C的长度．
【解答】解：因为y＝x+3，
所以B（0，3），
将B向右平移5个单位后B′（5，3），
因为B′在直线l2：y＝﹣x+m上，
所以m＝8，
所以l2：y＝﹣x+8，
所以D（0，8），C（8，0），
因为直线l1，l2相交于点E，
所以x+3＝﹣x+8得x＝，
所以y＝，
所以E（），
作EH⊥y轴于H，
由△DHE∽△COB′得，
，
所以DE：B'C＝20：21，
故答案为：20：21．

16．（5分）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝70cm，BC＝25cm，CP＝30cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为　10　cm；现将BH调整为25cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于　21　cm．

【分析】如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，z则四边形BCTH是矩形．利用勾股定理求出CT．如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．求出sin∠BCB′，再证明∠GCG′＝∠BCB′，求出GJ，可得结论．
【解答】解：如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，z则四边形BCTH是矩形．
∵CG＝CH＝CD＝35cm，HT＝BC＝25cm，
∴BH＝CT＝＝＝10（cm），
如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．
∵∠HMB′＝∠B′NC＝∠CB′H＝90°，
∴∠B′HM+∠HB′M＝90°，∠HB′M+∠CB′N＝90°，
∴∠B′HM＝∠CB′N，
在△B′MH和△CNB′中，
，
∴△B′MH≌△CNB′（AAS），
∴MH＝NB′，MB′＝CN，
∵CH＝25cm，CG＝35，
∴HG＝＝＝5，
设HM＝x，则CN＝MB′＝x+5，
在Rt△MHB′中，则有x2+（x+5）2＝252，
∴x＝15，
∴CN＝20（cm），NB′＝15（cm），
∴sin∠BCB′＝＝，
∵∠B′CG′＝∠BCG＝90°，
∴∠GCG′＝∠BCB′，
∴sin∠GCG′＝，
∴GJ＝C•sin∠GCG′＝35×＝21（cm），
∴可完全放入下方内桶的球体的直径不大于21cm，
故答案为：10，21．

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（5分）计算：2sin30°+﹣20210．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，算术平方根性质，以及零指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×+3﹣1
＝1+3﹣1
＝3．
18．（5分）化简：（a﹣1）2﹣a（a+2）．
【分析】分别根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
【解答】解：（a﹣1）2﹣a（a+2）
＝a2﹣2a+1﹣a2﹣2a
＝1﹣4a．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上（BD＜BE），BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠ADE＝2∠B，BD＝2，求AE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B＝∠C，然后根据SAS证明△ABD和△ACE全等即可；
（2）证得∠B＝∠BAD，得出BD＝AD＝2，由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠ADE＝2∠B，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝2，
∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝AD＝2．
20．（8分）某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级
服装统一
动作整齐
动作标准
901班
85
70
85
902班
75
85
80
903班
90
85
95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩．
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，
它们在总分中所占的比例分别为10%，a%，b%．请你设计一组符合要求的a，b值，并直接给出三个班级的排名顺序．
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式求解即可；
（2）答案不唯一，可取a＝40、b＝50，根据加权平均数的定义列式求出三个班级的平均分，从而得出答案．
【解答】解：（1）901班平均成绩为（85+70+85）÷3＝80（分），
902班平均成绩为（75+85+80）÷3＝80（分），
903班平均成绩为（90+85+95）÷3＝90（分）；
（2）取a＝40，b＝50，
901班平均成绩为85×10%+70×40%+85×50%＝79（分），
902班平均成绩为75×10%+85×40%+80×50%＝81.5（分），
903班平均成绩为90×10%+85×40%+95×50%＝90.5（分），
所以903第一名，902第二名，901第三名．
21．（8分）如图，将一个长为8，宽为6的大矩形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．请按下列要求分别作出格点三角形和格点四边形．
（1）在图1中画出一个等腰△PCD，使点A，B在△PCD内部（不包括在△PCD边上）．
（2）在图2中画出一个矩形QEFG，使点A，B在矩形QEFG内部（不包括在矩形QEFG边上）．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
【解答】解：（1）如图，△PCD即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，矩形QEFG即为所求作（答案不唯一）．

22．（10分）如图，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+9交x轴于A，B两点，点A在点B左侧，点C的坐标为（6，0），AC＜BC，过点C作CD⊥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥CD交抛物线于点E．
（1）若点A的坐标为（4，0），求DE的长．
（2）当DE＝AB时，求m的值．

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝﹣（x﹣m）2+9中求得m＝1或m＝7，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求DE的长；
（2）通过解方程﹣（x﹣m）2+9＝0得A（m﹣3，0），B（m+3，0），则AB＝6，所以DE＝3，利用抛物线的对称性得到2（m﹣6）＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+9得﹣（4﹣m）2+9＝0，解得m＝1或m＝7，
∵点A在点B左侧，
∴m＝7，
即抛物线的对称轴为直线x＝7，
∵CD⊥x轴，DE⊥CD，
∴点E与点D关于直线x＝7对称，
而D点的横坐标为6，
∴DE＝2×（7﹣6）＝2；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣m）2+9＝0，解得x1＝m﹣3，x2＝m+3，
∴A（m﹣3，0），B（m+3，0），
∴AB＝m+3﹣（m﹣3）＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵D点的横坐标为6，
∴2（m﹣6）＝3，
∴m＝．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D为的中点，连接AD，作DE⊥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE＝EB．
（2）连接DO并延长交BC于点F．若CF＝2CE，BD＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠DBC＝∠A，再利用等角的余角相等可得∠DBC＝∠EDB，进而可得结论；
（2）设CE＝x，CF＝BF＝2x，利用勾股定理可得DF＝4x，在Rt△DFB中由勾股定理可得DF的长，再根据∠A＝∠EDB＝∠DBF利用三角函数可得半径．
【解答】（1）证明：∵点D为的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠DBA＝∠EDB+∠DBA＝90°，
∴∠A＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠EDB，
∴DE＝EB；
（2）如图：

∵D为的中点，
∴DF⊥BC，CF＝BF，
∵CF＝2CE，
设CE＝x，CF＝BF＝2x，则DE＝EB＝5x，DF＝4x，
在Rt△DFB中，
DF2+BF2＝BD2，
即4x2+2x2＝52，解得：x＝，
∴BF＝，DF＝2，，
∵∠A＝∠EDB＝∠DBF，
∴sinA＝sin，
∴，
∴．
答：半径是．
24．（12分）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况．
销售情况
销售数量（单位：杯）
销售收入
（单位：元）
小杯
大杯
第一天
20
30
460
第二天
25
25
450
（1）问这款奶茶小杯和大杯的销售单价各是多少元？
（2）已知这款奶茶小杯成本4元/杯，大杯成本5元/杯，奶茶店每天只能供应80杯该款奶茶，其中小杯不少于10杯，求该款奶茶一天的最大利润．（销售利润＝销售收入﹣成本）
（3）为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完杯型后可以自主选择加料或者不加料．小明恰好用了208元购买该款奶茶，其中小杯不加料的数量是总杯数的，则小明这款奶茶大杯加料的买了　6　杯．
【分析】（1）设小杯奶茶销售单价为a元，大杯奶茶销售单价为b元，根据题意列方程组解答即可；
（2）设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元，根据题意求出w与m的关系式，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯加料奶茶共q杯，则大杯加料奶茶为（2p﹣q）杯，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）设小杯奶茶销售单价为a元，大杯奶茶销售单价为b元，
根据题意，得，
解得，
答：小杯奶茶销售单价为8元，大杯奶茶销售单价为10元；
（2）设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元，
则w＝4m+5（80﹣m）＝﹣m+400，
∵m≥10，k＝﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝10时，w的最小值为390元；
（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料和大杯不加料共q杯，则大杯加料奶茶为（2p﹣q）杯，
根据题意，得：8p+10q+12（2p﹣q）＝208，
整理，得：16p﹣q＝104，
解得，
∴2p﹣q＝6，
即小明这款奶茶大杯加料的买了6杯．
故答案为：6．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2，过对角线BD上一点P作AB的垂线交AB于点F，交CD于点E，过点E作EG∥BD交BC于点G，连接FG交BD于点H，连接DF．
（1）求的值．
（2）当四边形DFGE有一组邻边相等时，求BG的长．
（3）点B关于FG的对称点记为B'，若B'落在△EFG内部（不包含边界），求DP长度的取值范围．

【分析】（1）运用矩形性质可证得EF∥BC，进而可证四边形EPBG是平行四边形，运用平行四边形性质可得EP＝BG，利用三角函数定义可得答案；
（2）四边形DFGE有一组邻边相等，分四种情况讨论：①DE＝EG，②DE＝EG，③DF＝GF，④DF＝DE（不存在），分别运用勾股定理和全等三角形性质建立方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当点B′落在边EG上时，②当点B′落在边EF上，分别运用相似三角形性质建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠ABC＝∠AFE，
∴EF∥BC，
∵EG∥BD，
∴四边形EPBG是平行四边形，
∴EP＝BG，
∴tan∠EDP＝＝＝，
∴＝2；
（2）①如图1，当DE＝EG时，
设BG＝x，则DE＝EG＝2x，CE＝2﹣2x，CG＝1﹣x，
在Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，
∴（2﹣2x）2+（1﹣x）2＝（2x）2，
解得：x＝5﹣2，
∴BG＝5﹣2；
②如图1，当EG＝GF时，
∵CE＝BF，∠C＝∠ABC＝90°，
∴Rt△ECG≌Rt△FBG（HL），
∴BG＝CG＝CB＝，
③如图1，当DF＝GF时，
设BG＝x，则AF＝DE＝2x，
∵DF2＝GF2，
∴DA2+AF2+BG2+BF2，
∴12+（2x）2＝（2﹣2x）2+x2，
解得：x＝4±，
∵BG＜1，
∴BG＝4﹣；
④∵∠DEF＝90°，
∴DF＞DE，即DF＝DE不存在；
综上所述，BG的长为：5﹣2或或4﹣；
（3）当点B′落在边EG上时，如图2，
设BG＝x，B′F＝BF＝CE＝2﹣2x，
∵∠FB′G＝∠FBG＝90°，
∴∠EFB′＝∠CEG＝∠CDB，∠C＝∠EB′F＝90°，
∴△EFB′∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝1﹣，
∴DP＝EP＝﹣1；
当点B′落在边EF上，如图3，
∵BG＝B′G＝CE，
∴x＝2﹣2x，
解得：x＝，
∴DP＝x＝，
综上所述，﹣1＜DP＜．



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日期：2021/8/10 22:45:43；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298