专练06（填空题-压轴）（20题）-2021年中考数学考点巩固（通用版）（原卷、解析版）

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2021中考考点巩固
专练06（填空题-压轴）（20道）
1．（2020·河南郑州市·郑州七十六中九年级月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点，点为轴上一点，点为第二象限图象上的动点，过点，作直线交线段于点，连接，，若，则的坐标为______．

【答案】或
如图，过点作轴于点E，过点作轴于点F，过作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，，
设，
，
，
，
又∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
，
∵点在第二象限，
∴，
又∵点在的图象上，
∴，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，点的坐标为或，
故答案为：或．

【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数的综合、一元二次方程的应用等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和相似三角形是解题关键．
2．（2020·山东日照市·九年级二模）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是____________．

【答案】横、纵坐标的积是常数
解：
∵双曲线y＝的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°，
∴tan∠OAC＝＝，
∴OC＝OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，如图：

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，
∴△OFC△AEO，相似比＝，
∴面积比 ＝3，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线y＝图象上，
∴S△AEO＝ab＝，
∴S△OFC＝FC•OF＝，
∴设点C坐标为（x，y），
∴xy＝，
∴点C在双曲线y＝的图象上，
∴点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是横、纵坐标的积是常数，
故答案为：横、纵坐标的积是常数．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，点与坐标之间的关系，特殊角的三角函数值等知识，有一定难度，联想构造三角形相似是解题的关键．
3．（2020·广西九年级其他模拟）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝3BC，则k的值为____．

【答案】.

解：∵将直线y＝向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝x+2，
如图：分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝OD，
∵点B在直线y＝x+2上，
∴B（x，x+2），
∵点A、B在双曲线y＝，
∴，解得x＝，
∴ ．
故答案为
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可.
4．（2020·甘肃九年级其他模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．

【答案】①③④
【解析】
（1）∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴，即①正确；
（2）∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
又∵，
∴，即②错误；
（3）∵点C的坐标为，且OA=OC，
∴点A的坐标为，
把点A的坐标代入解析式得：，
∵，
∴，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为，则OA=，OB=，
∵抛物线与轴交于A、B两点，
∴是方程的两根，
∴，
∴OA·OB=.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
5．（2020·广东深圳市·九年级三模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴和x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接CF、DE．下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③AC＝BD；④tan∠BAO＝a；其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①②③④．
解：①设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是：•x＝k，
设C（m，），则E（0，），
由图象可知：m＜0，＜0，
△CEF的面积是：，
∴△CEF的面积＝△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，且它们面积相等，所以两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；
③∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
故③正确；
④由一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
易得A（﹣，0），B（0，b），
则OA＝，OB＝b，
∴tan∠BAO＝＝a，
故④正确．
正确的结论：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查反比例函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形．①中能根据反比例函数的性质设出点的坐标，从而根据点的坐标表示三角形的面积是解题关键；②中能根据面积相等证明平行是解题的关键；③中掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题关键；④中能通过一次函数一般式表示出它与坐标轴的交点坐标是解题关键．
6．（2020·福建莆田市·九年级二模）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点、，则的面积为_______．

【答案】
解：∵，，
∴
,
∵,
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．

∵
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
由待定系数法可得直线AB解析式为y′=-2x′+8，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，
联立，解得或，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质以及一次函数和反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题．
7．（2020·苏州新草桥中学九年级二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为_____．

【答案】
在△ABC中, ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8,
AB===10,
如图,连接AP,BP,

AB是直径,
∠APC＝90°,APBP,
取AC中点E,BC中点F,连接EQ，FQ，EF,
在△ACP,△BCP中，点E,F,Q为中点,
则EQ，FQ为中位线,
EQAP,FQBP,
EQFQ,∠EQF＝90°,
Q在以EF为直径的半圆上,
EF=AB=5,
Q运动的路线长为=
故答案为
【点睛】
此题考查中位线及圆的弧长计算，画出辅助线是解题关键,推理得Q在以EF为直径的半圆上是解题关键.
8．（2020·眉山市东坡区修文镇初级中学九年级一模）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF(AD>AE)，下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC>CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若，则∠FCD=30°．其中正确的结论是____________．(填写所有正确结论的序号)

【答案】①③④
解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，故①正确；
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE=∠EFC，
过点E作EH⊥FC于H，则AE=HE，

在△AEF和△HEF中，
，
∴△AEF≌△HEF（HL），
∴AF=FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC=CH，
∴AF+BC=CF，故②错误；
∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，
∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；
若，则cot∠BCE=，
∴∠BCE=30°，
∴∠DCF=∠ECF=30°，
在△CEF和△CDF中，
，
∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．
9．（2020·江门市蓬江区荷塘中学九年级二模）如图，在矩形中，，，在边上有一点，使平分．若为边上一点，且，连接并延长交的延长线于．给出以下五个结论：①点平分线段；②；③；④；⑤是正三角形，其中正确结论的序号是_________．

【答案】①②③⑤
【分析】
由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB=∠ABE，可求得AE=AB=2，在Rt△ADE中可求得DE=1，则EC=1，又可证明△PEC∽△PBF，可求得BF=2，可判定①；在Rt△PBF中可求得PF，可判定②；在Rt△BCE中可求得BE=2，可得∠BEF=∠F，可判定③；容易计算出S矩形ABCD和S△BPF；可判定④；由AE=AB=BE可判定⑤；可得出答案．
【详解】
在矩形中，则，，
平分，，，，
在中，，，由勾股定理得，
，
由题可知：，则，
，
点平分线段，故①正确；
，，
在中，，，
，，故②正确；
在中，，，由勾股定理得：，
，，故③正确；
，，
，
，，
，，
，故④错误；
由上述可知：，
是正三角形，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定等知识点的综合应用．根据条件求得AE=AB，求得DE的长是解题的关键，从而可求得BF、PF、BE等线段的长，本题知识点较多，综合性较强，难度较大，在解题时注意勾股定理的灵活运用．
10．（2020·浙江宁波市·九年级其他模拟）如图，在△ABC中，tan∠ABC＝，BC＝5，∠CAB＜90°，D为边AB上一动点，以CD为一边作等腰Rt△CDE，且∠EDC＝90°，连接BE，当S△BDE＝时，则BD的长度为_____．

【答案】
解：如图，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于H，过点C作CG⊥BA于G，交BA的延长线于G，

∵∠EDC＝90°，
∴∠EDH+∠CDG＝90°，
∵EH⊥BA，CG⊥BA，
∴∠EHD＝∠CGD＝90°，
∴∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠CDG＝∠DEH，
又∵DE＝DC，
∴△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG，
∵S△BDE＝BD×EH＝，
∴EH＝＝DG，
∵tan∠ABC＝＝，
∴BG＝2CG，
∵BG2+CG2＝BC2＝25，
∴CG＝，BG＝，
∵BD+DG＝BG，
∴BD+＝，
∴BD＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定与性质及三角函数，熟练掌握三角形全等的判定条件及利用三角函数进行求解问题是解题的关键．
11．（2020·河南）如图是二次函数的图象，其对称轴是直线，有下列5个结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤当时，随的增大而增大，其中正确的有______．（填序号）．

【答案】③④
∵二次函数的图象开口朝下
∴
∵对称轴是直线
∴
∴
∴
∵时，
∴
∴，故①错误；
∵时，
∴
∴
∴
∴
当时，
∴
从二次函数的图象得：

∴
∵
∴，故②错误；
∵
∴，故③正确；
∵
∴
∵
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
故⑤错误；
故正确答案为：③④．
【点睛】
本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程判别式和公式法解方程的性质，从而完成求解．
12．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）如图，为矩形边上一点，将沿折叠得到，交边于点，，连接交于点．已知，则______．

【答案】
解∵折叠
∴BC=B1C，BP=B1P，∠BCP=∠B1CP，
∴CP垂直平分BB1，
∴∠B1BC+∠BCP=90°，
∵BC=B1C，
∴∠B1BC=∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B=90°
∴∠PB1B=∠PCB，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠B1BC=∠B1QF，
∴∠B1QF=∠BB1C，
∴QF=B1F
∵EQ：QF=8：5，
∴设EQ=8k，QF=5k，
∴B1F=5k，EF=EQ+QF=13k，
在Rt△B1EF中，,
如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H，

又∵∠PB1C=90°，
∴HQ∥B1F
∴△EHQ∽△EB1F，
∴,
∴，
∴，
∴
∴tan∠PCB==tan∠PB1B=．
故答案为：．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13．（2020·四川省成都列五中学九年级三模）如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为_____．

【答案】7
解：如图，连接BQ，取BC的中点T，连接TQ．

∵BM是直径，
∴∠BQM＝∠BQC＝90°，
∵BT＝CT＝3，
∴QT＝BC＝3，
∴当P，Q，T共线时，PQ的长最小，
要使得PQ+PD的值最小，只要PT+PD的值最小即可，
作点T关于直线AB的对称点T′，连接DT′交AB于P′，连接P′T交⊙T于Q′，此时P′T+P′D的值最小，最小值＝DT′的长，
过点D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB＝6，AD＝BH＝5，
∴HT′＝3+5＝8，
∴，
∴P′D+P′T的最小值为10，
∴P′D+P′Q′的最小值＝10﹣3＝7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2020·山东九年级二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）

【答案】①②③④
将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，

∴∠M′AD=∠MAB，AM′=AM，BM=DM′，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
∴∠M′AN=∠DAN+∠M′AD=∠DAN+∠MAB=45°，
在△AMN和△AM′N中，
，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正确；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBM=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EBM=∠MAN=45°，
∵∠AEF =∠BEM，
∴△AEF∽△BEM，故②正确；
∴，即，
∵∠AEB=∠MEF，
∴△AEB∽△FEM，
∴∠EMF=∠ABE=45°，
∵∠MAN=45°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴，故③正确；
在△ADF与△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
∵AF=MF，
∴FM=FC，
∴△FMC是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2020·四川南充市·九年级二模）如图，正方形中，分别是的中点，连接，过点作于，连接并延长交于点，连接.下列结论，①；②；③；④.其中正确结论有_________.（填序号）

【答案】①，②，③


①连接，则是平行四边形，
，
，
，
，

∴垂直平分，故①正确；
②由①知：，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，

而，
，故②正确；
③延长交于，
由②知：，且是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，可得，
∴
，故③正确；

④由③可得：，且，
∴，
∴，
，故④错误；

故填：①②③．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质和判定，综合性很强，难度较大．
16．（2020·辽宁鞍山市·九年级三模）如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点，给出如下几个结论：①；②的大小为定值；③；④若，则．其中正确结论的序号为_____．

【答案】①②④
解：①∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵，
∴∠A=∠BCD==60°．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，AD=BD．
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB，正确；
②∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，正确．
③∵∠BGE=60°，
∴∠BGD =120°，
∴∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BCG=∠BDG，
∵∠BHC=∠GHD，
∴△GHD∽△BHC，
∴，故③错误；
④过点F作FP//AE于P点．

∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=AF，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，
∴BF=7GF，正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】
此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，以及圆的知识，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．
17．（2020·珠海市第九中学九年级二模）如图，在矩形中，，，点在上，将沿直线折叠，使点恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点．给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③；④其中正确的结论序号是__________．

【答案】①③
解：对于①，∵折叠，∴AE=FE，AD=FD，
又刚好F点落在DC上，
∴∠DAE=∠DFE=∠ADF=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴AE=AD，
∴△ADE是等腰直角三角形，故①正确；
对于②：∵MEAD，∴∠MEB=∠DAB，且∠DBA=∠MBE，
∴△BEM∽BAD，且BE=2，
∴，故②错误；
对于③：∵MEAD，∴∠MEB=∠DAB，且∠DBA=∠MBE
∴△BEM∽△BAD，
∴，代入数据：，∴，
同理可证明：△CFG∽△CDA，
∴，代入数据：，∴，
∴，
∴，故③正确；
对于④：过B点作BH⊥DE于H，如下图所示：

∵∠DEA=∠BEH=45°，
∴△EBH为等腰直角三角形，
∴，
且，
∴在Rt△DBH中，，故④错误；
故答案为①③．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定、三角函数求解等，熟练掌握基本图形的性质是解决本题的关键．
18．（2020·长沙市长郡双语实验中学九年级一模）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．

【答案】①②③④
解：如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴AM＝MN，故①正确；

∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°，
∴∠HAM＝∠PMN，
∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS），
∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确；
如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，
则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°，
∴R、B、N三点在同一直线上，
∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°，
∴∠RAN=∠QAN=45°，
又∵AN=AN，
∴△RAN≌△QAN（SAS），
∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确；

如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，
∵点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，
∵∠AMN=∠SMW=90°，
∴∠AMS=∠NMW，
又∵∠ASM=∠NWM=90°，
∴△AMS≌△NMW（ASA），
∴AS＝NW，
∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW，
∵BW：BM＝1∶，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．

【点睛】
本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．
19．（2020·辽宁鞍山市·九年级二模）如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交CD于F，垂足为G，连接，下列说法：①;②;③点G运动的路径长为；④CG的最小值为；其中正确的是____________．

【答案】②④
解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，

∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
圆弧的长=π×2=，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值为OCOG=，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，此题求运动轨迹有一定的难度．
20．（2020·辽宁鞍山市·九年级二模）如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是____________

①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝
【答案】①②③
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°，
∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正确，
∵DA=DC=DE，
在以为圆心，为半径的圆上，
∴∠AEC=∠ADC=45°（圆周角定理），
∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，
∵∠ADC=∠MDF=90°，
∴∠ADM=∠CDF，
∵∠DMF=45°，
∴∠DMF=∠DFM=45°，
∴DM=DF，
∵DA=DC，
∴△ADM≌△CDF（SAS），
∴AM=CF，
∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，
∴ ，故③正确，


MH=2，
AH=MH=HE=2，AM=EM=
在Rt△ADH中，DH=
∴DM=3，AM+CM=
∴CM=CE=
∴S△DCM=S△DCE，
故④错误．
故答案①②③．

【点睛】
本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．