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专练14（几何压轴大题）（30题）-2021年中考数学考点巩固（通用版）（原卷、解析版）
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1．（2021·安徽亳州市·九年级一模）已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
2．（2021·河南焦作市·九年级其他模拟）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
3．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学九年级一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；
（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；
（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．
4．（2021·安徽九年级三模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，DE＝DF（DE＞AC）．已知点D在线段BC上．
（1）如图（1），连接AE，沿直线DC向右平移△DEF，DE与△ABC的直角边交于点M．
①连接CM，设点O是线段CM的中点，连接OA，OD，求证：OA＝OD；
②当△AEM为等腰三角形时，求∠EAM的度数．
（2）如图（2），连接AD，当AD是△ABC的边BC上的高时，将△DEF以点D为旋转中心，顺时针旋转（旋转角为锐角），DF，DE与△ABC的直角边的交点分别为点G，H．求的值．
5．（2019·辽宁锦州市·九年级一模）如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级零模）已知：AB，CD都是⊙O的直径，点E为上一点，连接BE，CE，且∠BEC＝45°．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点A作AG⊥CE，垂足为点G，交EF于点H，求证：AC＝EH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若∠DGE＝∠CAG，BE＝2，求EH的长．
7．（2021·山西九年级一模）问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得，，且点E恰好在射线CD上．
独立思考：
（1）如图1，当点Р在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是__________；
探索发现
（2）当点E在正方形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：
（3）如图4，在正方形ABCD中，，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若，求的面积．
8．（2021·山东临沂市·九年级一模）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
9．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）在中，，于点，为上一点（不与，重合），
（1）如图1，若，求证：平分；
（2）如图2，若，过点作于点，交于．
①求证：；
②当时，与的数量关系是______．
10．（2021·江西九年级其他模拟）在中，，点E在射线上运动．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．
（1）如图1，点E在点B的左侧运动．
①当，时，则_________；
②猜想线段与之间的数量关系为_____________________________．
（2）如图2，点E在线段上运动时，第（1）问中线段与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
（3）点E在射线上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
11．（2021·安徽宣城市·九年级一模）如图1，在中，，，于点，为上一点，点在上，连接并延长交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，若，，判断是否为特殊三角形，并说明理由．
12．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合），交于点F，垂足为点G．
（1）求证：．
（2）连结，交于点H．
①若，求的值．
②设与的面积之差为，的面积为，求的最大值．
13．（2020·四川南充市·九年级一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边的中点，点F是AD边上一动点（不含端点），EG⊥BF于H，与直线CD交于G．
（1）求证：EG＝BF；
（2）若AF＝x，CG＝y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）求DH的最小值．
14．（2021·全国九年级专题练习）（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．
（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．
（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．
15．（2020·武汉二中广雅中学九年级二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．
①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
16．（2020·河南九年级一模）已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α （0°＜α≤90°）．
（1）观察猜想
如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系： ，位置关系： ；
（2）类比探究
如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．
17．（2020·石家庄市第四十一中学九年级其他模拟）已知在矩形中，，，与对角线相切．
（1）如图1，求的半径；
（2）如图2，点是上一个动点，连接，，交于点，若，求的度数和弧的长；
（3）如图，对角线与交于点，点是上一个动点，设点到直线的距离为，当时，请直接写出度数的取值范围．
18．（2012·北京海淀区·中考模拟）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，，于点．
如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：________；
如图②，当绕点旋转到时，中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用得到的结论）
19．（2019·辽宁葫芦岛市·九年级一模）如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）
20．（2020·江西九年级一模）（1）方法导引：
问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．
讨论：
①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．
③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．
（2）应用方法：
①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．
②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．
③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．
21．（2020·广东九年级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；
（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．
22．（2020·河南九年级一模）（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段之间的数量关系为________；②_________°．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段之间的数量关系及的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，，点D在边上，于点E，．将绕点A旋转，当所在直线经过点B时，点C到直线的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）
23．（2020·内蒙古九年级三模）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；
24．（2020·湖北武汉市·九年级一模）矩形ABCD中，动点E、F分别在边AB、AD上，FG⊥DE于H交直线BC于G．
（1） 如图1，求证：；
（2） 如图2，若AB＝6，AD＝9，点E为AB中点，当tan∠HEG＝1时，求AF的长；
（3） 如图3，若AB＝4，AD＝6，AB＝4BE，当tan∠HEG＝时，直接写出AF的长．
25．（2020·浙江）如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．
（1）如图1，AB＝10，csA＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是 ．
（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．
（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cs∠PDE的值．
26．（2019·南阳市宛城区新店三中九年级三模）如图1，已知直角三角形，，，点是边上一点，过作于点，连接，点是中点，连接，．
（1）发现问题：
线段，之间的数量关系为______；的度数为______；
（2）拓展与探究：
若将绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展与运用：
如图3所示，若绕点旋转的过程中，当点落到边上时，边上另有一点，，，连接，请直接写出的长度．
27．（2020·河南九年级二模）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，点在边上，且，点为的中点，过点作交于点，点为的中点将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接．
（1）问题发现
当时，______；直线与直线相交所成的较小夹角的度数为______．
（2）类比探究
当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用．
若，直线和直线交于点，在旋转的过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
28．（2020·湖北武汉市·九年级二模）在中，是边上一点，连．
（1）如图l，当时，过作与的外角平分线CE于点．求证：．
（2）如图2，当时，为外一点．且，求的值．
（3）在（2）的条件下，是线段上一点，，请直接写出的值．
29．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆的直径，点为弧上一点，联结，点为劣弧上一点(点不与点、重合），联结交于点
如图，当时，求的长；
当点为劣弧的中点，且与相似时，求的度数；
当，且为直角三角形时．求四边形的面积．
30．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级其他模拟）如图1，直角三角形中，，为边上的高，点在线段上，连接交于点．
（1）若平分．
①求证：．
②如图2，过作交于，，求的值．
（2）如图3，，，过作交于，当时，请猜想，之间的数量关系，并证明．
1．（2021·安徽亳州市·九年级一模）已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
2．（2021·河南焦作市·九年级其他模拟）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
3．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学九年级一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；
（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；
（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．
4．（2021·安徽九年级三模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，DE＝DF（DE＞AC）．已知点D在线段BC上．
（1）如图（1），连接AE，沿直线DC向右平移△DEF，DE与△ABC的直角边交于点M．
①连接CM，设点O是线段CM的中点，连接OA，OD，求证：OA＝OD；
②当△AEM为等腰三角形时，求∠EAM的度数．
（2）如图（2），连接AD，当AD是△ABC的边BC上的高时，将△DEF以点D为旋转中心，顺时针旋转（旋转角为锐角），DF，DE与△ABC的直角边的交点分别为点G，H．求的值．
5．（2019·辽宁锦州市·九年级一模）如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级零模）已知：AB，CD都是⊙O的直径，点E为上一点，连接BE，CE，且∠BEC＝45°．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点A作AG⊥CE，垂足为点G，交EF于点H，求证：AC＝EH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若∠DGE＝∠CAG，BE＝2，求EH的长．
7．（2021·山西九年级一模）问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得，，且点E恰好在射线CD上．
独立思考：
（1）如图1，当点Р在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是__________；
探索发现
（2）当点E在正方形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：
（3）如图4，在正方形ABCD中，，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若，求的面积．
8．（2021·山东临沂市·九年级一模）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
9．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）在中，，于点，为上一点（不与，重合），
（1）如图1，若，求证：平分；
（2）如图2，若，过点作于点，交于．
①求证：；
②当时，与的数量关系是______．
10．（2021·江西九年级其他模拟）在中，，点E在射线上运动．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．
（1）如图1，点E在点B的左侧运动．
①当，时，则_________；
②猜想线段与之间的数量关系为_____________________________．
（2）如图2，点E在线段上运动时，第（1）问中线段与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
（3）点E在射线上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
11．（2021·安徽宣城市·九年级一模）如图1，在中，，，于点，为上一点，点在上，连接并延长交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，若，，判断是否为特殊三角形，并说明理由．
12．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合），交于点F，垂足为点G．
（1）求证：．
（2）连结，交于点H．
①若，求的值．
②设与的面积之差为，的面积为，求的最大值．
13．（2020·四川南充市·九年级一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边的中点，点F是AD边上一动点（不含端点），EG⊥BF于H，与直线CD交于G．
（1）求证：EG＝BF；
（2）若AF＝x，CG＝y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）求DH的最小值．
14．（2021·全国九年级专题练习）（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．
（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．
（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．
15．（2020·武汉二中广雅中学九年级二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．
①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
16．（2020·河南九年级一模）已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α （0°＜α≤90°）．
（1）观察猜想
如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系： ，位置关系： ；
（2）类比探究
如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．
17．（2020·石家庄市第四十一中学九年级其他模拟）已知在矩形中，，，与对角线相切．
（1）如图1，求的半径；
（2）如图2，点是上一个动点，连接，，交于点，若，求的度数和弧的长；
（3）如图，对角线与交于点，点是上一个动点，设点到直线的距离为，当时，请直接写出度数的取值范围．
18．（2012·北京海淀区·中考模拟）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，，于点．
如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：________；
如图②，当绕点旋转到时，中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用得到的结论）
19．（2019·辽宁葫芦岛市·九年级一模）如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）
20．（2020·江西九年级一模）（1）方法导引：
问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．
讨论：
①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．
③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．
（2）应用方法：
①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．
②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．
③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．
21．（2020·广东九年级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；
（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．
22．（2020·河南九年级一模）（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段之间的数量关系为________；②_________°．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段之间的数量关系及的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，，点D在边上，于点E，．将绕点A旋转，当所在直线经过点B时，点C到直线的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）
23．（2020·内蒙古九年级三模）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；
24．（2020·湖北武汉市·九年级一模）矩形ABCD中，动点E、F分别在边AB、AD上，FG⊥DE于H交直线BC于G．
（1） 如图1，求证：；
（2） 如图2，若AB＝6，AD＝9，点E为AB中点，当tan∠HEG＝1时，求AF的长；
（3） 如图3，若AB＝4，AD＝6，AB＝4BE，当tan∠HEG＝时，直接写出AF的长．
25．（2020·浙江）如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．
（1）如图1，AB＝10，csA＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是 ．
（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．
（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cs∠PDE的值．
26．（2019·南阳市宛城区新店三中九年级三模）如图1，已知直角三角形，，，点是边上一点，过作于点，连接，点是中点，连接，．
（1）发现问题：
线段，之间的数量关系为______；的度数为______；
（2）拓展与探究：
若将绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展与运用：
如图3所示，若绕点旋转的过程中，当点落到边上时，边上另有一点，，，连接，请直接写出的长度．
27．（2020·河南九年级二模）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，点在边上，且，点为的中点，过点作交于点，点为的中点将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接．
（1）问题发现
当时，______；直线与直线相交所成的较小夹角的度数为______．
（2）类比探究
当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用．
若，直线和直线交于点，在旋转的过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
28．（2020·湖北武汉市·九年级二模）在中，是边上一点，连．
（1）如图l，当时，过作与的外角平分线CE于点．求证：．
（2）如图2，当时，为外一点．且，求的值．
（3）在（2）的条件下，是线段上一点，，请直接写出的值．
29．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆的直径，点为弧上一点，联结，点为劣弧上一点(点不与点、重合），联结交于点
如图，当时，求的长；
当点为劣弧的中点，且与相似时，求的度数；
当，且为直角三角形时．求四边形的面积．
30．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级其他模拟）如图1，直角三角形中，，为边上的高，点在线段上，连接交于点．
（1）若平分．
①求证：．
②如图2，过作交于，，求的值．
（2）如图3，，，过作交于，当时，请猜想，之间的数量关系，并证明．
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