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2021年上海市中考数学定心试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年上海市中考数学定心试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．B．80%C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
3．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
4．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算：（3a）2＝ ．
8．分解因式：x2﹣4x＝ ．
9．方程的解是 ．
10．不等式组的解集是 ．
11．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 ．
13．一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ ．
14．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为 ．
15．如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 ．
17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程：．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
23．（6分）如图，在▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．
（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
2021年上海市中考数学定心试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．B．80%C．D．
【分析】有理数包括分数和整数，无理数一定不是分数．
【解答】解：∵是无理数，无理数一定不是分数，
∴不是分数，
故选：A．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
【分析】直接利用整式的混合运算以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a2+3a，无法计算，故此选项错误；
B、2a2•3a＝6a3，故此选项错误；
C、2a2÷3a＝a，故此选项正确；
D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
故选：C．
3．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
【分析】解各个方程，根据解的情况得结论．
【解答】解：方程x2﹣x+1＝0的根的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，
所以方程A没有实数解；
方程x2+1＝0的根的判别式△＝0﹣4＝﹣4＜0，
故方程B没有实数解；
方程＝可变形为x2﹣1＝2x﹣2，整理得x2﹣2x+1＝0．
解得x＝1，当x＝1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；
方程＝1﹣x的解为x＝1，故方程D有实数解．
故选：D．
4．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，
所以影响鞋店决策的统计量是众数，
故选：B．
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
【分析】根据两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．进行逐一判断即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算：（3a）2＝ 9a2 ．
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（3a）2＝9a2．
故答案为：9a2．
8．分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
9．方程的解是 6 ．
【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：由原方程的两边平方，得
x+3＝9，
移项，得
x＝6；
故答案是：6．
10．不等式组的解集是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
11．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
故答案为：k＜1．
12．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】利用A、B坐标且y1＜y2和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范围是：a＞0．
13．一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ 20 ．
【分析】直接利用红球个数除以总数得出摸出红球的概率，即可得出答案．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，
∴＝0.2，
解得：n＝20．
故答案为：20．
14．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为 2﹣3 ．
【分析】利用三角形重心的性质求出，再根据三角形法则求解即可．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵＝+，
∴＝﹣，
∴＝2﹣2，
∵＝+，
∴＝2﹣2﹣＝2﹣3，
故答案为：2﹣3．
15．如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
【分析】根据正六边形的中心角为60°以及正六边形边心距的性质解直角三角形△OBG可得结论．
【解答】解：∵ABCDDEF为正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝1，
∴OG＝OB•cs∠BOG＝1×＝．
故答案为：．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 2＜r≤2 ．
【分析】连接CE，过C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，计算得出AD，AE的长，通过说明△BFC～△ADE，得出CF的长，利用勾股定理计算CE的长，因为⊙C与线段BE有两个交点，可以确定r的取值范围．
【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴．
∵CD＝2AD，
∴＝．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE＝BC＝2，
AE＝AB＝3．
∵AC＝，
CD＝2AD，
∴CD＝．
∴CE＝．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴．
∴．
∴CF＝2．
∴当r＝2时，⊙C与线段BE相切．
∵⊙C与线段BE有两个交点，
∴2＜r≤2．
故答案为：2＜r≤2．
17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 75° ．
【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．当AB＝BD时，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC为等边三角形，∠ABC＝90°，则∠ABD＝30°，结论可得；当AD＝BD时，过点D作DE⊥AB，根据等腰三角形的三线合一，BE＝AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F，根据四边形EBFD为矩形，DF＝＝CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，从而∠BAD可求．
【解答】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，
∴△CBD和△ABD为等腰三角形．
由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．
当①AB＝BD时，如下图：
∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．
∴BC＝CD＝BD．
∴△BDC为等边三角形．
∴∠DBC＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°．
当②AD＝BD时，如下图，
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴BE＝AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD为矩形．
∴DF＝BE＝AB．
∵AB＝CD，
∴DF＝CD．
在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，
∴∠DCF＝30°．
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝75°．
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝75°．
综上，∠BAD＝75°．
故答案为：75°．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为 2或8﹣4 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，由折叠知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′，
∴∠NDM＝∠DC′M，
∴MC′＝MD，
∴CM＝DM＝CD＝2．
如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．
∵CB＝CD，BN＝DM，
∴CN＝CM＝MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，
∴∠CBM＝∠C′CD，
∴∠C′CD＝∠DCC′，
∴C′D＝C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT＝TC＝2，
∵C′T∥CN，
∴DC′＝C′N，
∴C′T＝CN，
设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝2x，TM＝x，
∴2x+x＝2，
∴x＝4﹣2，
∴CM＝8﹣4，
综上所述，CM的值为2或8﹣4．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（10分）计算：．
【分析】利用绝对值，零指数幂、负整数指数幂，二次根式的化简的方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣1+﹣
＝﹣1﹣1+2+2﹣
＝2．
20．（10分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6+x2﹣9＝x+3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
把x＝﹣2代入得：（x+3）（x﹣3）＝﹣5≠0，
则x＝3是增根，分式方程的解为x＝﹣2．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解．
（2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵ctB＝，
在Rt△BEA中，＝，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB＝．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
【分析】由租金随租期的变化而变化，所以租期是自变量，租金是函数值，列出y与x的关系式，再根据两家租金的多少分类讨论分类讨论即可．
【解答】解：设张先生组的时间为自变量x，租金为函数值y，
∴租甲家房屋y与x的关系为：y＝3000x，
租甲家房屋y与x的关系为：y＝40000+2000x，
①当甲家费用高于乙家费用时3000x＞40000+2000x，
解得：x＞40；
②当甲家费用等于乙家费用时3000x＝40000+2000x，
解得：x＝40；
③当甲家费用低于乙家费用时3000x＜40000+2000x，
解得：x＜40，
综上所诉，①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适．
23．（6分）如图，在▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
【分析】（1）通过说明△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，利用相似三角形的性质得出比例式可得结论．
（2）由已知得出△DEF∽GED，可以推出DE2＝EF•EG，利用（1）的结论可得DE＝AE，进而说明△AEB≌△DEG，结论可得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴△ABE∽△FDE．
∴．
∴ADE∽△GBE．
∴．
∴．
∴AE2＝EF•EG．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠CDB＝∠AGD．
∵∠DEF＝∠GED，
∴△DEF∽GED．
∴．
∴DE2＝EF•EG．
由（1）知：AE2＝EF•EG．
∴DE＝AE．
在△ABE和△DEG中，
．
∴△ABE≌△DEG（AAS）．
∴AB＝DG．
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；
（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件a﹣1＜3，即可求a的取值范围为0＜a＜4；
（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．
【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）A为抛物线与y轴的交点，
∴A点坐标为（0，a﹣1），
线段OA上的整点个数小于4，
则可知a﹣1＜4，a＜5，
故a的取值范围为0＜a＜5；
（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）
由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，
故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），
∴f（4）＞0，
∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，
得a＞，
f（3）≤0，
得9a﹣6a+a﹣1≤0，
得a≤，
取a＝，
f（x）＝x2﹣x﹣，
∴a的取值范围为＜a≤．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．
（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
【分析】（1）在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），进而求解；
（3）当点M在点B的右侧时，在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，则MN＝＝r，进而求解；当点M在BC的左侧时，同理可解．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，AC＝5，设∠A＝α，
则BC＝3，AB＝4＝BM，sinA＝＝sinα，csA＝＝csα，
（1）如图1，∵MC＝MA＝5，
过点M作MN⊥CD于点N，
∵MC＝MD，则CN＝CD，
在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，
则CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，
则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，
在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，
即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），
则MN＝＝（x+4）；
则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；
∵m＝（4x﹣9）＞0，
∴x＞；
（3）①当点M在点B的右侧时，
如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，
设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanA＝＝，解得r＝3，
则BM＝＝＝6；
②当点M在BC的左侧时，
如图3，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，
设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
则CP＝r﹣MP＝r+r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanCAB＝＝＝，
解得r＝，
则BM＝＝；
综上，MB为6或．
尺寸（码）
35
36
37
38
39
销售量（双）
2
4
11
7
3
尺寸（码）
35
36
37
38
39
销售量（双）
2
4
11
7
3
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．B．80%C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
3．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
4．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算：（3a）2＝ ．
8．分解因式：x2﹣4x＝ ．
9．方程的解是 ．
10．不等式组的解集是 ．
11．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 ．
13．一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ ．
14．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为 ．
15．如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 ．
17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程：．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
23．（6分）如图，在▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．
（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
2021年上海市中考数学定心试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．B．80%C．D．
【分析】有理数包括分数和整数，无理数一定不是分数．
【解答】解：∵是无理数，无理数一定不是分数，
∴不是分数，
故选：A．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
【分析】直接利用整式的混合运算以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a2+3a，无法计算，故此选项错误；
B、2a2•3a＝6a3，故此选项错误；
C、2a2÷3a＝a，故此选项正确；
D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
故选：C．
3．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
【分析】解各个方程，根据解的情况得结论．
【解答】解：方程x2﹣x+1＝0的根的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，
所以方程A没有实数解；
方程x2+1＝0的根的判别式△＝0﹣4＝﹣4＜0，
故方程B没有实数解；
方程＝可变形为x2﹣1＝2x﹣2，整理得x2﹣2x+1＝0．
解得x＝1，当x＝1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；
方程＝1﹣x的解为x＝1，故方程D有实数解．
故选：D．
4．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，
所以影响鞋店决策的统计量是众数，
故选：B．
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
【分析】根据两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．进行逐一判断即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算：（3a）2＝ 9a2 ．
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（3a）2＝9a2．
故答案为：9a2．
8．分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
9．方程的解是 6 ．
【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：由原方程的两边平方，得
x+3＝9，
移项，得
x＝6；
故答案是：6．
10．不等式组的解集是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
11．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
故答案为：k＜1．
12．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】利用A、B坐标且y1＜y2和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范围是：a＞0．
13．一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ 20 ．
【分析】直接利用红球个数除以总数得出摸出红球的概率，即可得出答案．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，
∴＝0.2，
解得：n＝20．
故答案为：20．
14．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为 2﹣3 ．
【分析】利用三角形重心的性质求出，再根据三角形法则求解即可．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵＝+，
∴＝﹣，
∴＝2﹣2，
∵＝+，
∴＝2﹣2﹣＝2﹣3，
故答案为：2﹣3．
15．如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
【分析】根据正六边形的中心角为60°以及正六边形边心距的性质解直角三角形△OBG可得结论．
【解答】解：∵ABCDDEF为正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝1，
∴OG＝OB•cs∠BOG＝1×＝．
故答案为：．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 2＜r≤2 ．
【分析】连接CE，过C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，计算得出AD，AE的长，通过说明△BFC～△ADE，得出CF的长，利用勾股定理计算CE的长，因为⊙C与线段BE有两个交点，可以确定r的取值范围．
【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴．
∵CD＝2AD，
∴＝．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE＝BC＝2，
AE＝AB＝3．
∵AC＝，
CD＝2AD，
∴CD＝．
∴CE＝．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴．
∴．
∴CF＝2．
∴当r＝2时，⊙C与线段BE相切．
∵⊙C与线段BE有两个交点，
∴2＜r≤2．
故答案为：2＜r≤2．
17．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 75° ．
【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．当AB＝BD时，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC为等边三角形，∠ABC＝90°，则∠ABD＝30°，结论可得；当AD＝BD时，过点D作DE⊥AB，根据等腰三角形的三线合一，BE＝AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F，根据四边形EBFD为矩形，DF＝＝CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，从而∠BAD可求．
【解答】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，
∴△CBD和△ABD为等腰三角形．
由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．
当①AB＝BD时，如下图：
∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．
∴BC＝CD＝BD．
∴△BDC为等边三角形．
∴∠DBC＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°．
当②AD＝BD时，如下图，
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴BE＝AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD为矩形．
∴DF＝BE＝AB．
∵AB＝CD，
∴DF＝CD．
在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，
∴∠DCF＝30°．
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝75°．
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝75°．
综上，∠BAD＝75°．
故答案为：75°．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为 2或8﹣4 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，由折叠知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′，
∴∠NDM＝∠DC′M，
∴MC′＝MD，
∴CM＝DM＝CD＝2．
如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．
∵CB＝CD，BN＝DM，
∴CN＝CM＝MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，
∴∠CBM＝∠C′CD，
∴∠C′CD＝∠DCC′，
∴C′D＝C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT＝TC＝2，
∵C′T∥CN，
∴DC′＝C′N，
∴C′T＝CN，
设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝2x，TM＝x，
∴2x+x＝2，
∴x＝4﹣2，
∴CM＝8﹣4，
综上所述，CM的值为2或8﹣4．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（10分）计算：．
【分析】利用绝对值，零指数幂、负整数指数幂，二次根式的化简的方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣1+﹣
＝﹣1﹣1+2+2﹣
＝2．
20．（10分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6+x2﹣9＝x+3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
把x＝﹣2代入得：（x+3）（x﹣3）＝﹣5≠0，
则x＝3是增根，分式方程的解为x＝﹣2．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解．
（2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵ctB＝，
在Rt△BEA中，＝，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB＝．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
【分析】由租金随租期的变化而变化，所以租期是自变量，租金是函数值，列出y与x的关系式，再根据两家租金的多少分类讨论分类讨论即可．
【解答】解：设张先生组的时间为自变量x，租金为函数值y，
∴租甲家房屋y与x的关系为：y＝3000x，
租甲家房屋y与x的关系为：y＝40000+2000x，
①当甲家费用高于乙家费用时3000x＞40000+2000x，
解得：x＞40；
②当甲家费用等于乙家费用时3000x＝40000+2000x，
解得：x＝40；
③当甲家费用低于乙家费用时3000x＜40000+2000x，
解得：x＜40，
综上所诉，①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适．
23．（6分）如图，在▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
【分析】（1）通过说明△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，利用相似三角形的性质得出比例式可得结论．
（2）由已知得出△DEF∽GED，可以推出DE2＝EF•EG，利用（1）的结论可得DE＝AE，进而说明△AEB≌△DEG，结论可得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴△ABE∽△FDE．
∴．
∴ADE∽△GBE．
∴．
∴．
∴AE2＝EF•EG．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠CDB＝∠AGD．
∵∠DEF＝∠GED，
∴△DEF∽GED．
∴．
∴DE2＝EF•EG．
由（1）知：AE2＝EF•EG．
∴DE＝AE．
在△ABE和△DEG中，
．
∴△ABE≌△DEG（AAS）．
∴AB＝DG．
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；
（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件a﹣1＜3，即可求a的取值范围为0＜a＜4；
（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．
【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）A为抛物线与y轴的交点，
∴A点坐标为（0，a﹣1），
线段OA上的整点个数小于4，
则可知a﹣1＜4，a＜5，
故a的取值范围为0＜a＜5；
（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）
由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，
故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），
∴f（4）＞0，
∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，
得a＞，
f（3）≤0，
得9a﹣6a+a﹣1≤0，
得a≤，
取a＝，
f（x）＝x2﹣x﹣，
∴a的取值范围为＜a≤．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．
（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
【分析】（1）在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），进而求解；
（3）当点M在点B的右侧时，在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，则MN＝＝r，进而求解；当点M在BC的左侧时，同理可解．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，AC＝5，设∠A＝α，
则BC＝3，AB＝4＝BM，sinA＝＝sinα，csA＝＝csα，
（1）如图1，∵MC＝MA＝5，
过点M作MN⊥CD于点N，
∵MC＝MD，则CN＝CD，
在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，
则CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，
则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，
在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，
即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），
则MN＝＝（x+4）；
则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；
∵m＝（4x﹣9）＞0，
∴x＞；
（3）①当点M在点B的右侧时，
如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，
设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanA＝＝，解得r＝3，
则BM＝＝＝6；
②当点M在BC的左侧时，
如图3，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，
设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
则CP＝r﹣MP＝r+r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanCAB＝＝＝，
解得r＝，
则BM＝＝；
综上，MB为6或．
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