高考数学一轮复习 第3章 第5节 课时分层训练21

这是一份高考数学一轮复习 第3章 第5节 课时分层训练21，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
【导学号：31222125】
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
A [因为cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.]
2.eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(,3),2)B.eq \f(\r(,2),2)
C.eq \f(1,2)D．1
C [原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(,3),2)sin 25°,cs 25°)
＝eq \f(sin30°－25°＋\f(\r(,3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2).]
3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＋4cs2eq \f(x,2)(x∈R)的最大值等于
( )
A．5B.eq \f(9,2)
C.eq \f(5,2)D．2
B [由题意知f(x)＝eq \f(3,2)sin x＋4×eq \f(1＋cs x,2)＝eq \f(3,2)sin x＋2cs x＋2≤eq \r(,\f(9,4)＋4)＋2＝eq \f(9,2)，故选B.]
4．(2016·福建师大附中月考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝( )
A．－eq \f(7,8)B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(7,8)
A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－2α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－2α))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2))＝－eq \f(7,8).]
5．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若cs α＝eq \f(1,7)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α sin β,cs α cs β))＝eq \f(3\r(,3),14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，则β等于( )
【导学号：31222126】
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
D [依题意有sin αcs β－cs αsin β＝sin(α－β)＝eq \f(3\r(,3),14)，又0＜β＜α＜eq \f(π,2)，∴0＜α－β＜eq \f(π,2)，
故cs(α－β)＝eq \r(,1－sin2α－β)＝eq \f(13,14)，
而cs α＝eq \f(1,7)，∴sin α＝eq \f(4\r(,3),7)，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(4\r(,3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(,3),14)＝eq \f(\r(,3),2).故β＝eq \f(π,3).]
二、填空题
6.eq \f(sin250°,1＋sin 10°)________.
eq \f(1,2) [eq \f(sin250°,1＋sin 10°)＝eq \f(1－cs 100°,21＋sin 10°)
＝eq \f(1－cs90°＋10°,21＋sin 10°)＝eq \f(1＋sin 10°,21＋sin 10°)＝eq \f(1,2).]
7．(2016·吉林东北师大附中等校联考)已知0＜θ＜π，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，那么sin θ＋cs θ＝________.
－eq \f(1,5) [由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝eq \f(1,7)，解得tan θ＝－eq \f(3,4)，即eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(3,4)，∴cs θ＝－eq \f(4,3)sin θ，
∴sin2θ＋cs2θ＝sin2θ＋eq \f(16,9)sin2θ＝eq \f(25,9)sin2θ＝1.
∵0＜θ＜π，∴sin θ＝eq \f(3,5)，∴cs θ＝－eq \f(4,5)，∴sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5).]
8．化简eq \r(,2＋2cs 8)＋2eq \r(,1－sin 8)＝________.
【导学号：31222127】
－2sin 4 [eq \r(,2＋2cs 8)＋2eq \r(,1－sin 8)
＝eq \r(,21＋cs 8)＋2eq \r(,1－2sin 4cs 4)
＝eq \r(,2×2cs24)＋2eq \r(,sin 4－cs 42)
＝－2cs 4＋2(cs 4－sin 4)＝－2sin 4.]
三、解答题
9．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)＝eq \f(\r(,6),2).
(1)求cs α的值；
(2)若sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求cs β的值．
[解] (1)因为sin eq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(\r(,6),2)，两边同时平方，得sin α＝eq \f(1,2).又eq \f(π,2)＜α＜π，所以cs α＝－eq \f(\r(,3),2).5分
(2)因为eq \f(π,2)＜α＜π，eq \f(π,2)＜β＜π，
所以－π＜－β＜－eq \f(π,2)，故－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).7分
又sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，得cs(α－β)＝eq \f(4,5).
cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－eq \f(\r(,3),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(4\r(,3)＋3,10).12分
10．已知函数f(x)＝eq \f(1－\r(,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))),cs x).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－eq \f(4,3)，求f(α)的值．
[解] (1)要使f(x)有意义，则需cs x≠0，
∴f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).5分
(2)f(x)＝eq \f(1－\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)sin 2x－\f(\r(,2),2)cs 2x)),cs x)
＝eq \f(1＋cs 2x－sin 2x,cs x)＝eq \f(2cs2x－2sin xcs x,cs x)
＝2(cs x－sin x).7分
由tan α＝－eq \f(4,3)，得sin α＝－eq \f(4,3)cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，且α是第四象限角，
∴cs2α＝eq \f(9,25)，则cs α＝eq \f(3,5)，sin α＝－eq \f(4,5).
故f(α)＝2(cs α－sin α)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)＋\f(4,5)))＝eq \f(14,5).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝－eq \f(\r(,2),2)，则cs α＋sin α的值为( )
【导学号：31222128】
A．－eq \f(\r(,7),2)B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(,7),2)
C [∵eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(cs2α－sin2α,\f(\r(,2),2)sin α－cs α)
＝－eq \r(,2)(sin α＋cs α)＝－eq \f(\r(,2),2)，∴sin α＋cs α＝eq \f(1,2).]
2．已知sin α＋sin β＝eq \r(,3)(cs β－cs α)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin 3α＋sin 3β＝________.
0 [由已知得：sin α＋eq \r(,3)cs α＝eq \r(,3)cs β－sin β，
即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))，
又α－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，β＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
故α－eq \f(π,6)＝β＋eq \f(π,6)，即α＝β＋eq \f(π,3).
∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]
3．已知函数f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝2sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))＝eq \r(,3)×eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(,3),2).
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.3分
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.7分
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)，1))，9分
f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1＋\f(\r(,3),2))).
故f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1＋\f(\r(,3),2))).12分