高考数学一轮复习 第2章 第12节 课时分层训练15

这是一份高考数学一轮复习 第2章 第12节 课时分层训练15，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－xD．y＝x＋eq \f(2,x)
D [由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于( )
【导学号：31222089】
A.eq \f(1,ln 2)B．－eq \f(1,ln 2)
C．－ln 2D．ln 2
B [令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，
∴x＝－eq \f(1,ln 2).
经验证，－eq \f(1,ln 2)为函数y＝x·2x的极小值点．]
3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
C [函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．
又y′＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1.]
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
【导学号：31222090】
A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，
∴a＞6或a＜－3.]
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
A B C D
D [因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]
二、填空题
6．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________.
【导学号：31222091】
－eq \f(17,3) [f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－eq \f(17,3)，f(2)＝－eq \f(10,3)，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－eq \f(17,3).]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
30 23 000 [设该商品的利润为y元，由题意知，
y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
则y′＝－3p2－300p＋11 700，
令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，
当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，
因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；
(2)当a0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．
[解] (1)设点C受A污染源污染程度为eq \f(ka,x2)，点C受B污染源污染程度为eq \f(kb,18－x2)，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝eq \f(ka,x2)＋eq \f(kb,18－x2).5分
(2)因为a＝1，所以y＝eq \f(k,x2)＋eq \f(kb,18－x2)，
y′＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,x3)＋\f(2b,18－x3)))，8分
令y′＝0，得x＝eq \f(18,1＋\r(3,b))，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，
所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·石家庄一模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为eq \f(1,2)，则m的值为( )
【导学号：31222092】
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
D [由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0 ①，且f′(m)＝3m2＋2am＋b＝0 ②，①－②化简得m＝－eq \f(a,2)，f′(x)＝3x2＋2ax＋b的两根为－eq \f(a,2)和－eq \f(a,6)，则b＝eq \f(a2,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,6)))＝eq \f(1,2)，解得a＝－3，m＝eq \f(3,2)，故选D.]
2．(2016·北京高考改编)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－3x，x≤0，,－2x，x＞0，))则f(x)的最大值为________．
2 [当x＞0时，f(x)＝－2x＜0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.]
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b.2分
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′2＝0，,f2＝c－16，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a＋b＝0，,8a＋2b＋c＝c－16，))
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a＋b＝0，,4a＋b＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－12.))5分
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；7分
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－2,2)上为减函数；8分
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，
f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.10分
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.12分