高三数学一轮复习： 选修4-4 第2节参数方程

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第二节　参数方程 [考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tan α(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上　　　　 B.在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上  D.在直线y＝x＋1上B　[由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．(2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①由消去t得y2＝8x.②联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.2分将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，8分解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.10分参数方程与普通方程的互化 　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，8分解得－2≤a≤2.10分[规律方法]　1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1]　在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：01772440】[解]　直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，4分所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，则3－0－a＝0，所以a＝3.10分参数方程的应用　已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数). 【导学号：01772441】(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.8分当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.10分[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[变式训练2]　(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．[解]　(1)由消去θ，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.2分又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，所以l的参数方程为即(t为参数).4分(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，8分由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.10分参数方程与极坐标方程的综合应用　(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，2分由于曲线C2的方程为ρsin＝2，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.4分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分又d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.10分[规律方法]　1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3]　(2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．[解]　(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.4分(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，8分∴t1t2＝－3，∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.10分[思想与方法]1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．[易错与防范]1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x，y的取值范围．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为(t为参数)注意以下两个结论的应用：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.