高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程曲线的参数方程同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程曲线的参数方程同步达标检测题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2－1，,y＝2t＋1))(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，
该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4sec θ，,y＝3tan θ))(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0) B．(5,0)
C．(±5,0) D．(0，±5)
解析：选C 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4sec θ，,y＝3tan θ))(θ为参数)得 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝et＋e－t，,y＝et－e－t))(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：选B ∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.
且x＝et＋e－t≥2eq \r(et·e－t)＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1 B．2 C.eq \r(3) D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.
∴双曲线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sec θ，,y＝tan θ))(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(Μ0Μ))2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(Μ0Μ))2取最小值3，
此时有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(Μ0Μ))＝eq \r(3).
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2eq \r(2)y·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)sin 2θ，,y＝－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θcs θ，,y＝－sin θ＋cs θ.))消去参数，得
y2＝1＋2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2))).
答案：y2＝1＋2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)))
6．双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)tan θ，,y＝sec θ))(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－eq \f(x2,3)＝1，
此时a＝1，b＝eq \r(3)，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±eq \f(1,\r(3))＝±eq \f(\r(3),3).
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(t)))(t为参数)和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝\r(2)sin θ))(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝ \r(t)))(t为参数)得y＝eq \r(x)，
又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝\r(2)sin θ))(θ为参数)得x2＋y2＝2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,x2＋y2＝2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(sec θ，tan θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
∴当tan θ＝1，即θ＝eq \f(π,4)时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝eq \r(3).
∴|PQ|min＝eq \r(3)－1.
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，
因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．
d1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sec α－tan α)),\r(2))，d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sec α＋tan α)),\r(2))，
d1d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sec2α－tan2α)),2)＝eq \f(1,2)，
故d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8t2，,y＝8t))(t为参数)，可设M(8teq \\al(2,1)，8t1)，N(8teq \\al(2,2)，8t2)，
则kMN＝eq \f(8t2－8t1,8t\\al(2,2)－8t\\al(2,1))＝eq \f(1,t1＋t2).
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8t\\al(2,1)＋8t\\al(2,2),2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))∴kAP＝eq \f(4t1＋t2,4t\\al(2,1)＋t\\al(2,2)－1)，
由kMN＝kAP知t1t2＝－eq \f(1,8)，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4t\\al(2,1)＋t\\al(2,2)，,y＝4t1＋t2，))
则y2＝16(teq \\al(2,1)＋teq \\al(2,2)＋2t1t2)＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(1,4)))＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝8x1，,y\\al(2,2)＝8x2，))
两式相减得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2).设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝eq \f(y,x－1)，又kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(4,y)，
∴eq \f(y,x－1)＝eq \f(4,y).∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．