小五数学第6讲：组合（教师版）

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组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作.
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数可以分两步求得：
第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有种方法；
第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有种排法.
故由乘法原理得到：＝·，因此这就是组合数公式.
一般地，组合数有下面的重要性质：＝（m≤n）
规定＝1，＝1.
教学重点: 掌握组合应用题
教学难点：正确利用加法原理、乘法原理，计算出所要求的组合钟数

1． 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？
分析：这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有种排法，所以，由乘法原理得到.故有：＝（3×2）÷2＝3种价格.
答案：3种。
2. 计算：

解析：组合计算
解：
3 计算：①； ②；
解析：组合计算
解： =1540
4 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：
①有多少个不同的乘积？
②有多少个不同的乘法算式？
分析 ①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.
解：①由组合数公式，共有个不同的乘积.
②由排列数公式，共有＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.
5 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②三角形，③四边形？
分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.
解：由组合数公式.
①
②
③
6 如下图，问：
①下左图中，共有多少条线段？
②下右图中，共有多少个角？
分析 ①中，在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C27表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C27条线段.
②中，从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.
解：①由组合数公式知，共有条不同的线段；
②由组合数公式知，共有
A
1.计算：
①； ②；
答案：①455； ②1998000；
2.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：
①有多少种不同的和？
②有多少个不同的加法算式？
答案：① 28； ②56.
3.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？
答案： 45.
4.在圆周上有12个点.
①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？
②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？
答案：① 66； ②220.
5. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为多少种？
答案：240种
B
1. 计算：
答案：4948； 230
2．有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
答案：
3. 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
答案：
4. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
答案：共有72种。.
5. 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
答案:3600
C
1. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。
解析：，
答案：140
2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
答案36
3． 某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？
答案： 由组合数公式知，共需进行场比赛.
4． 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？
答案： 68880
5、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
答案：（1）300(2)156 (3)21 (4)112
1 由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
答案：27个
2. 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？
答案：110场
3 在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个
①三角形？
②四边形？
答案：①210个 ②420个
4. 如下图，问
①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？
②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？
答案：①左图中共有210个长方形.
②右图中共有900个长方体.
5．甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问：
①甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
解： ①6 ②8 ③23 ④9




1．计算：；
答案：224； 28.
2.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数？
②没有重复数字的三位数？
③没有重复数字的三位偶数？
④小于1000的自然数？
答案：①100； ②48； ③30； ④124.
3. 将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
答案：
4. 从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？
①某两人必须入选；
②某两人中至少有一人入选；
③某三人中恰入选一人；
④某三人不能同时都入选.
答案：① 286； ②1716； ③1485； ④2937.
5.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？
答案：60.
6.计算下左图中有多少个梯形？
答案：×＝225；
7.计算下右图中有多少个长方体？
答案××＝1500.
8.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？
①七个人排成一排；
②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；
③七个人排成一排，某两人必须站在两头；
④七个人排成一排，某两人不能站在两头；
⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.
答案：①5040；②1440；③240；④ 2400；⑤ 2880.