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湖南省株洲市茶陵县九年级下学期期中数学试卷（解析版）
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这是一份湖南省株洲市茶陵县九年级下学期期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，三象限B． 第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．2的倒数是（ ）
A． 2B． ﹣2C． D． ﹣
2．已知2x=3y，则等于（ ）
A． 2B． 3C． D．
3．若函数y=的图象过点（3，﹣2），那么它一定还经过点（ ）
A． （3，2）B． （﹣3，﹣2）C． （2，﹣2）D． （﹣1，6）
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知x=﹣1是方程2x2+ax﹣5=0的一个根，则a的值是（ ）
A． ﹣3B． ﹣4C． 3D． 7
6．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣3，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二、三象限B． 第一、三象限C． 第三、四象限D． 第二、四象限
7．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A． 6米B． 8米C． 10米D． 15米
8．如图，P是△ABC的AB边上的一点，下列条件不可能是△ACP∽△ABC的是（ ）
A． ∠ACP=∠BB． AP•BC=AC•PCC． ∠APC=∠ACBD． AC2=AP•AB
9．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A． （2﹣2）cmB． （6﹣2）cmC． （﹣1）cmD． （3﹣）cm
10．据调查，2011年5月茶陵县的房价均价为2600元/m2，2013年同期将达到3200元/m2，假设这两年茶陵县房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． 2600（1+x%）2=3200B． 2600（1﹣x%）2=3200
C． 2600（1+x）2=3200D． 2600（1+x）2=3200
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．一元二次方程x（x﹣2）=x的根是 ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则x1+x2= ．
13．如果两个相似三角形的面积的比是9：4，其中较小的三角形的周长为8，那么较大的三角形的周长的是 ．
14．已知方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，则m2﹣m+2012的值为 ．
15．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=3，DB=4，则BC的长是 ．
16．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ．
17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
18．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣a+b，如3★5=32﹣3+5，若x★2=8，则实数x的值是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共46分．）共4页第2页
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2）
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．如图，孔明想利用一面长为45米的墙建羊圈，用100米的围栏围成总面积为600平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？孔明能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈吗？说说理由．
23．如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是 ．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以 P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？
2017-2018学年湖南省株洲市茶陵县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．2的倒数是（ ）
A． 2B． ﹣2C． D． ﹣
考点：倒数．
分析：直接根据倒数的定义进行解答即可．
解答：解：∵2×=1，
∴2的倒数是．
故选C．
点评：本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．已知2x=3y，则等于（ ）
A． 2B． 3C． D．
考点：比例的性质．
专题：计算题．
分析：根据比例的性质，将等积式转化为比例式，2x=3y，可得x：y=3：2．
解答：解：∵2x=3y，
∴=．
对比选项，可知D选项正确，
故选D．
点评：考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
3．若函数y=的图象过点（3，﹣2），那么它一定还经过点（ ）
A． （3，2）B． （﹣3，﹣2）C． （2，﹣2）D． （﹣1，6）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
解答：解：∵函数y=的图象过点（3，﹣2），
∴k=3×（﹣2）=﹣6，
而3×2=6，﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣2）=﹣4，﹣1×6=﹣6，
∴点（﹣1，6）在反比例函数y=﹣的图象上．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：分式的基本性质．
专题：计算题．
分析：将变形得：3（a+b）=5b，所以可以求出的值．
解答：解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b，
因此=，故选C．
点评：在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
5．已知x=﹣1是方程2x2+ax﹣5=0的一个根，则a的值是（ ）
A． ﹣3B． ﹣4C． 3D． 7
考点：一元二次方程的解．
分析：把x=﹣1代入方程计算即可求出a的值．
解答：解：把x=﹣1代入方程得：2﹣a﹣5=0，
解得：a=﹣3．
故选：A．
点评：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣3，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二、三象限B． 第一、三象限C． 第三、四象限D． 第二、四象限
考点：反比例函数的性质．
分析：先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果．
解答：解：设反比例函数的解析式为：y=，
将（﹣3，2）代入上式，得k=﹣6＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
7．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A． 6米B． 8米C． 10米D． 15米
考点：相似三角形的应用．
分析：因为孔明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
解答：解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8．如图，P是△ABC的AB边上的一点，下列条件不可能是△ACP∽△ABC的是（ ）
A． ∠ACP=∠BB． AP•BC=AC•PCC． ∠APC=∠ACBD． AC2=AP•AB
考点：相似三角形的判定．
专题：计算题．
分析：根据相似三角形的性质即可进行解答．
解答：解：∵△ACP∽△ABC，
A、∵∠ACP=∠B，两角为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误；
B、∵=，缺少一个对应角，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项正确；
C、∵∠APC=∠ACB，两角为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误；
D、=，两边为对应边且∠A为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
9．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A． （2﹣2）cmB． （6﹣2）cmC． （﹣1）cmD． （3﹣）cm
考点：黄金分割．
专题：应用题．
分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比，AC=4×=2（ ﹣1）．
解答：解：由题意知：AC=AB=4×=2（ ﹣1）=2﹣2．
故选A．
点评：本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算，难度适中．
10．据调查，2011年5月茶陵县的房价均价为2600元/m2，2013年同期将达到3200元/m2，假设这两年茶陵县房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． 2600（1+x%）2=3200B． 2600（1﹣x%）2=3200
C． 2600（1+x）2=3200D． 2600（1+x）2=3200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：2013年的房价3200=2011年的房价2600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：解：2012年的房价为2600×（1+x），
2013年的房价为2600×（1+x）（1+x）=2600×（1+x）2，
即所列的方程为2600（1+x）2=3200，
故选C．
点评：考查列一元二次方程解决实际问题；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．一元二次方程x（x﹣2）=x的根是 x1=0，x2=3 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：先观察再确定方法解方程，根据方程的特点可利用因式分解法．
解答：解：整理方程，得x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0，
解得x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则x1+x2= 1 ．
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：直接根据根与系数的关系求解．
解答：解：根据题意得x1+x2=1．
故答案为1．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
13．如果两个相似三角形的面积的比是9：4，其中较小的三角形的周长为8，那么较大的三角形的周长的是 12 ．
考点：相似三角形的性质．
分析：先求出相似三角形的相似比，再求出两三角形的周长比，代入求出即可．
解答：解：设较大的三角形的周长为x，
∵两个相似三角形的面积的比是9：4，
∴这两个相似三角形的相似比为3：2，
∴这两个三角形的周长比为3：2，
∵较小的三角形的周长为8，
∴=，
∴x=12，
故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
14．已知方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，则m2﹣m+2012的值为 2015 ．
考点：一元二次方程的解．
分析：根据方程根的定义，可得出m2﹣m=3，再把m2﹣m=3代入m2﹣m+2012，计算求值即可．
解答：解：∵方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，
∴m2﹣m=3，
∴m2﹣m+2012=3+2012=2015，
故答案为2015．
点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入，得出m2﹣m的值，整体思想的运用是解题的必经之路．
15．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=3，DB=4，则BC的长是 ．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把线段代入可求得BC．
解答：解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD=3，BD=4，
∴AB=7，
∴，
解得BC=，
故答案为：．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
16．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ﹣3 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：根据反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，即可求解．
解答：解：根据题意可知：S△MOP=|k|=3，
又反比例函数的图象位于一、三象限，k＜0，
则k=﹣3．
故答案是：﹣3．
点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，y3=，然后根据x1＜0＜x2＜x3比较y1，y2，y3的大小．
解答：解：∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，
∴y1=，y2=，y3=，
而x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
18．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣a+b，如3★5=32﹣3+5，若x★2=8，则实数x的值是 x1=﹣2，x2=3 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：新定义．
分析：根据新定理得到x2﹣x+2=8，整理得x2﹣x﹣6=0，然后利用因式分解法解方程．
解答：解：∵x★2=8，
∴x2﹣x+2=8，
即x2﹣x﹣6=0，
（x+2）（x﹣3）=0，
x+2=0或x﹣3=0，
∴x1=﹣2，x2=3．
故答案为x1=﹣2，x2=3．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
三、解答题：（本大题共5小题，共46分．）共4页第2页
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2）
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣2x=1，
x2﹣2x+1=1+1，
（x﹣1）2=2，
x﹣1=，
x1=1+，x2=1﹣；
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣1）=0，
x﹣2=0，3x﹣1=0，
x1=2，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
考点：一次函数综合题；反比例函数综合题．
专题：压轴题；待定系数法．
分析：（1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解答：解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．
（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
点评：此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点：一元二次方程的应用．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
解答：解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
22．如图，孔明想利用一面长为45米的墙建羊圈，用100米的围栏围成总面积为600平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？孔明能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈吗？说说理由．
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）设AB=y米，则BC=（100﹣4y）米，根据羊圈的面积为640平方米列出方程y（100﹣4y）=640，即y2﹣25y+160=0，由△=（﹣25）2﹣4×160＜0，可得孔明不能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈．
解答：解：（1）设AB=x米，则BC=（100﹣4x）米，根据题意得：
x（100﹣4x）=640，
解得：x1=10，x2=15．
①当AB=10时，BC=60（不合题意舍去）；
②当AB=15时，BC=40符合题意；
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米；
（2）不能．
理由：设AB=y米，则BC=（100﹣4y）米，根据题意得：
y（100﹣4y）=640，
整理得：y2﹣25y+160=0，
∵△=（﹣25）2﹣4×160＜0，
∴孔明不能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是 15cm2 ．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以 P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？
考点：一元二次方程的应用；相似三角形的判定．
专题：几何动点问题．
分析：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．根据四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积，计算即可求解；
（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x=8，求出即可；
（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况=和第二种情况=，代入求出即可．
解答：解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．
四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积
=×6×8﹣×6×3
=24﹣9
=15（cm2）．
故答案为15cm2；
（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，
BP=6﹣x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6﹣x）×2x=8，
∴x1=2，x2=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；
（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：
①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，
解得：y=；
②若△QBP～△ABC，则有=，即=，
解得：y=．
答：经过或秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．2的倒数是（ ）
A． 2B． ﹣2C． D． ﹣
2．已知2x=3y，则等于（ ）
A． 2B． 3C． D．
3．若函数y=的图象过点（3，﹣2），那么它一定还经过点（ ）
A． （3，2）B． （﹣3，﹣2）C． （2，﹣2）D． （﹣1，6）
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知x=﹣1是方程2x2+ax﹣5=0的一个根，则a的值是（ ）
A． ﹣3B． ﹣4C． 3D． 7
6．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣3，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二、三象限B． 第一、三象限C． 第三、四象限D． 第二、四象限
7．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A． 6米B． 8米C． 10米D． 15米
8．如图，P是△ABC的AB边上的一点，下列条件不可能是△ACP∽△ABC的是（ ）
A． ∠ACP=∠BB． AP•BC=AC•PCC． ∠APC=∠ACBD． AC2=AP•AB
9．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A． （2﹣2）cmB． （6﹣2）cmC． （﹣1）cmD． （3﹣）cm
10．据调查，2011年5月茶陵县的房价均价为2600元/m2，2013年同期将达到3200元/m2，假设这两年茶陵县房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． 2600（1+x%）2=3200B． 2600（1﹣x%）2=3200
C． 2600（1+x）2=3200D． 2600（1+x）2=3200
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．一元二次方程x（x﹣2）=x的根是 ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则x1+x2= ．
13．如果两个相似三角形的面积的比是9：4，其中较小的三角形的周长为8，那么较大的三角形的周长的是 ．
14．已知方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，则m2﹣m+2012的值为 ．
15．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=3，DB=4，则BC的长是 ．
16．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ．
17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
18．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣a+b，如3★5=32﹣3+5，若x★2=8，则实数x的值是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共46分．）共4页第2页
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2）
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．如图，孔明想利用一面长为45米的墙建羊圈，用100米的围栏围成总面积为600平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？孔明能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈吗？说说理由．
23．如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是 ．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以 P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？
2017-2018学年湖南省株洲市茶陵县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．2的倒数是（ ）
A． 2B． ﹣2C． D． ﹣
考点：倒数．
分析：直接根据倒数的定义进行解答即可．
解答：解：∵2×=1，
∴2的倒数是．
故选C．
点评：本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．已知2x=3y，则等于（ ）
A． 2B． 3C． D．
考点：比例的性质．
专题：计算题．
分析：根据比例的性质，将等积式转化为比例式，2x=3y，可得x：y=3：2．
解答：解：∵2x=3y，
∴=．
对比选项，可知D选项正确，
故选D．
点评：考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
3．若函数y=的图象过点（3，﹣2），那么它一定还经过点（ ）
A． （3，2）B． （﹣3，﹣2）C． （2，﹣2）D． （﹣1，6）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
解答：解：∵函数y=的图象过点（3，﹣2），
∴k=3×（﹣2）=﹣6，
而3×2=6，﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣2）=﹣4，﹣1×6=﹣6，
∴点（﹣1，6）在反比例函数y=﹣的图象上．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：分式的基本性质．
专题：计算题．
分析：将变形得：3（a+b）=5b，所以可以求出的值．
解答：解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b，
因此=，故选C．
点评：在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
5．已知x=﹣1是方程2x2+ax﹣5=0的一个根，则a的值是（ ）
A． ﹣3B． ﹣4C． 3D． 7
考点：一元二次方程的解．
分析：把x=﹣1代入方程计算即可求出a的值．
解答：解：把x=﹣1代入方程得：2﹣a﹣5=0，
解得：a=﹣3．
故选：A．
点评：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣3，2），则这个函数的图象位于（ ）
A． 第二、三象限B． 第一、三象限C． 第三、四象限D． 第二、四象限
考点：反比例函数的性质．
分析：先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果．
解答：解：设反比例函数的解析式为：y=，
将（﹣3，2）代入上式，得k=﹣6＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
7．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A． 6米B． 8米C． 10米D． 15米
考点：相似三角形的应用．
分析：因为孔明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
解答：解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8．如图，P是△ABC的AB边上的一点，下列条件不可能是△ACP∽△ABC的是（ ）
A． ∠ACP=∠BB． AP•BC=AC•PCC． ∠APC=∠ACBD． AC2=AP•AB
考点：相似三角形的判定．
专题：计算题．
分析：根据相似三角形的性质即可进行解答．
解答：解：∵△ACP∽△ABC，
A、∵∠ACP=∠B，两角为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误；
B、∵=，缺少一个对应角，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项正确；
C、∵∠APC=∠ACB，两角为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误；
D、=，两边为对应边且∠A为对应角，∴可判定△ACP∽△ABC，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
9．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A． （2﹣2）cmB． （6﹣2）cmC． （﹣1）cmD． （3﹣）cm
考点：黄金分割．
专题：应用题．
分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比，AC=4×=2（ ﹣1）．
解答：解：由题意知：AC=AB=4×=2（ ﹣1）=2﹣2．
故选A．
点评：本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算，难度适中．
10．据调查，2011年5月茶陵县的房价均价为2600元/m2，2013年同期将达到3200元/m2，假设这两年茶陵县房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． 2600（1+x%）2=3200B． 2600（1﹣x%）2=3200
C． 2600（1+x）2=3200D． 2600（1+x）2=3200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：2013年的房价3200=2011年的房价2600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：解：2012年的房价为2600×（1+x），
2013年的房价为2600×（1+x）（1+x）=2600×（1+x）2，
即所列的方程为2600（1+x）2=3200，
故选C．
点评：考查列一元二次方程解决实际问题；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．一元二次方程x（x﹣2）=x的根是 x1=0，x2=3 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：先观察再确定方法解方程，根据方程的特点可利用因式分解法．
解答：解：整理方程，得x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0，
解得x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则x1+x2= 1 ．
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：直接根据根与系数的关系求解．
解答：解：根据题意得x1+x2=1．
故答案为1．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
13．如果两个相似三角形的面积的比是9：4，其中较小的三角形的周长为8，那么较大的三角形的周长的是 12 ．
考点：相似三角形的性质．
分析：先求出相似三角形的相似比，再求出两三角形的周长比，代入求出即可．
解答：解：设较大的三角形的周长为x，
∵两个相似三角形的面积的比是9：4，
∴这两个相似三角形的相似比为3：2，
∴这两个三角形的周长比为3：2，
∵较小的三角形的周长为8，
∴=，
∴x=12，
故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
14．已知方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，则m2﹣m+2012的值为 2015 ．
考点：一元二次方程的解．
分析：根据方程根的定义，可得出m2﹣m=3，再把m2﹣m=3代入m2﹣m+2012，计算求值即可．
解答：解：∵方程x2﹣x﹣3=0有一根为m，
∴m2﹣m=3，
∴m2﹣m+2012=3+2012=2015，
故答案为2015．
点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入，得出m2﹣m的值，整体思想的运用是解题的必经之路．
15．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=3，DB=4，则BC的长是 ．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把线段代入可求得BC．
解答：解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD=3，BD=4，
∴AB=7，
∴，
解得BC=，
故答案为：．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
16．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ﹣3 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：根据反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，即可求解．
解答：解：根据题意可知：S△MOP=|k|=3，
又反比例函数的图象位于一、三象限，k＜0，
则k=﹣3．
故答案是：﹣3．
点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，y3=，然后根据x1＜0＜x2＜x3比较y1，y2，y3的大小．
解答：解：∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是y=的图象上的点，
∴y1=，y2=，y3=，
而x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
18．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣a+b，如3★5=32﹣3+5，若x★2=8，则实数x的值是 x1=﹣2，x2=3 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：新定义．
分析：根据新定理得到x2﹣x+2=8，整理得x2﹣x﹣6=0，然后利用因式分解法解方程．
解答：解：∵x★2=8，
∴x2﹣x+2=8，
即x2﹣x﹣6=0，
（x+2）（x﹣3）=0，
x+2=0或x﹣3=0，
∴x1=﹣2，x2=3．
故答案为x1=﹣2，x2=3．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
三、解答题：（本大题共5小题，共46分．）共4页第2页
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2）
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣2x=1，
x2﹣2x+1=1+1，
（x﹣1）2=2，
x﹣1=，
x1=1+，x2=1﹣；
（2）3x（x﹣2）=（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣1）=0，
x﹣2=0，3x﹣1=0，
x1=2，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
考点：一次函数综合题；反比例函数综合题．
专题：压轴题；待定系数法．
分析：（1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解答：解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．
（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
点评：此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点：一元二次方程的应用．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
解答：解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
22．如图，孔明想利用一面长为45米的墙建羊圈，用100米的围栏围成总面积为600平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？孔明能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈吗？说说理由．
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）设AB=y米，则BC=（100﹣4y）米，根据羊圈的面积为640平方米列出方程y（100﹣4y）=640，即y2﹣25y+160=0，由△=（﹣25）2﹣4×160＜0，可得孔明不能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈．
解答：解：（1）设AB=x米，则BC=（100﹣4x）米，根据题意得：
x（100﹣4x）=640，
解得：x1=10，x2=15．
①当AB=10时，BC=60（不合题意舍去）；
②当AB=15时，BC=40符合题意；
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米；
（2）不能．
理由：设AB=y米，则BC=（100﹣4y）米，根据题意得：
y（100﹣4y）=640，
整理得：y2﹣25y+160=0，
∵△=（﹣25）2﹣4×160＜0，
∴孔明不能在原来的基础上建一个面积为640平方米的羊圈．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是 15cm2 ．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以 P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？
考点：一元二次方程的应用；相似三角形的判定．
专题：几何动点问题．
分析：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．根据四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积，计算即可求解；
（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x=8，求出即可；
（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况=和第二种情况=，代入求出即可．
解答：解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．
四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积
=×6×8﹣×6×3
=24﹣9
=15（cm2）．
故答案为15cm2；
（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，
BP=6﹣x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6﹣x）×2x=8，
∴x1=2，x2=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；
（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：
①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，
解得：y=；
②若△QBP～△ABC，则有=，即=，
解得：y=．
答：经过或秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
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