高考数学一轮复习 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图1­2­1
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(3)如果pDq，且qDp，则p是q的既不充分也不必要条件．
4．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－32，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥1B．a≤1
C．a≥－3D．a≤－3
B [条件p：x>a＋1或x2，
又q是p的充分不必要条件，
故q⇒p，pDq，所以a＋1≤2，即a≤1.]
二、填空题
8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
【导学号：31222009】
2 [由a＞bac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．
从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
9．“m＜eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
充分不必要 [x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤eq \f(1,4)，因为m＜eq \f(1,4)⇒m≤eq \f(1,4)，反之不成立．
故“m＜eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]
10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
(4，＋∞) [A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·西安调研)“sin α＝cs α”是“cs 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [cs 2α＝0等价于cs2α－sin2α＝0，即cs α＝±sin α.
由cs α＝sin α可得到cs 2α＝0，反之不成立．]
2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,y>1，))∴x＋y>2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qD⇒/p.故p是q的充分不必要条件．]
3．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
②③ [①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．]
4．已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是eq \f(1,3)＜x＜eq \f(1,2)，则实数m的取值范围是________. 【导学号：31222010】
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))) [由|x－m|＜1得－1＋m＜x＜1＋m，
由题意知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜\f(1,2))))){x|－1＋m＜x＜1＋m}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋m≤\f(1,3)，,1＋m≥\f(1,2)，))解得－eq \f(1,2)≤m≤eq \f(4,3)，
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))).]
四种命题的关系及其真假判断
充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件的应用