高中数学高考第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)

A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0

B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0

D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.

答案　D

2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A.充要条件    B.充分不必要条件

C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件

解析　因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.

答案　A

3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.

答案　B

4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.

因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.

答案　C

5.下列结论错误的是(　　)

A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.

答案　C

6.设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<3 1<x<2.

所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件.

答案　A

7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞)    B.(－∞，1]

C.[－1，＋∞)    D.(－∞，－3]

解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

答案　A

8.(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.

当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.

答案　B

二、填空题

9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.

解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.

答案　2

10.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.

解析　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，

即cos α＝±sin α.

由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.

∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.

答案　充分不必要

11.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.

解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}.

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴解得0<a<3.

答案　(0，3)

12.有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.

其中真命题的序号是________.

解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误.②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确.

答案　②③

13.(2016·四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)

A.必要不充分条件    B.充分不必要条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域.

故p是q的必要不充分条件.

答案　A

14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.

由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，

所以0<m<1.

因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件.

答案　B

15.已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________.

解析　A＝＝{x|－1＜x＜3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.

答案　(2，＋∞)

16.(2017·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).

①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.

解析　①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误.

对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确.

对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误.

对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，

∴log32与log23不互为相反数，故④错误.

答案　②