高考数学一轮复习讲义第9章第6节双曲线

这是一份高考数学一轮复习讲义第9章第6节双曲线，共18页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( √ )
(5)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
1．(教材改编)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5)B．5
C.eq \r(2)D．2
答案 A
解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2)B．2eq \r(2)C．4D．8
答案 C
解析 设C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1和x＝－4，得A(－4，eq \r(16－a2))，B(－4，－eq \r(16－a2))，
∴|AB|＝2eq \r(16－a2)＝4eq \r(3)，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(y2,4)－x2＝1D．y2－eq \f(x2,4)＝1
答案 C
解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，只有C符合，故选C.
4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1的焦距是________．
答案 2eq \r(10)
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2eq \r(10).
5．双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，
一条渐近线方程是y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0，
则顶点到渐近线的距离d＝eq \f(|2－0|,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
例1 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)．
解 (1)设双曲线的标准方程为
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4).
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,144)－eq \f(x2,25)＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
例3 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|
＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
则cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
引申探究
1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(1,2)，所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝2eq \r(3).
2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
由于eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
(1)已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.eq \r(37)＋4B.eq \r(37)－4
C.eq \r(37)－2eq \r(5)D.eq \r(37)＋2eq \r(5)
(2)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(4,3)B.eq \f(5,3)
C.eq \f(9,4)D．3
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，
要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝eq \r(37)，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝eq \r(37)－2eq \r(5).
故选C.
(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(\f(b,a)2＋1)eq \r(\f(4,3)2＋1)＝eq \f(5,3)，故选B.
题型二 双曲线的几何性质
例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C1：eq \f(x2,m2)＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：eq \f(x2,n2)－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1
(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案 (1)A (2)eq \f(3,2)
解析 (1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵eeq \\al(2,1)·eeq \\al(2,2)＝eq \f(m2－1,m2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n2＋1,n2＋2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq \f(1,n4＋2n2)＞1，∴e1·e2＞1.
(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝eq \f(b,a)x，直线OB的方程为y＝－eq \f(b,a)x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＝2py，))得x2＝2p·eq \f(b,a)x，
∴x＝eq \f(2pb,a)，y＝eq \f(2pb2,a2)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2))).
设抛物线C2的焦点为F，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，
∴kAF＝eq \f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a)).
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴eq \f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＝－1，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4).
设C1的离心率为e，则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4).
∴e＝eq \f(3,2).
思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)满足关系式e2＝1＋k2.
(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)B.eq \f(3,2)C.eq \r(3)D．2
答案 A
解析 离心率e＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)，由正弦定理得e＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq \f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2).故选A.
题型三 直线与双曲线的综合问题
例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2>0，))
∴k2≠eq \f(1,3)且k22，得x1x2＋y1y2>2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)>0，
解得eq \f(1,3)1，,－\r(2)0)的一个焦点是F2(2,0)，且b＝eq \r(3)a.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x－1)2－y2＝3上；
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)c＝2，c2＝a2＋b2，
∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)l：m(x－2)＋y＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－mx＋2m，,x2－\f(y2,3)＝1，))
得(3－m2)x2＋4m2x－4m2－3＝0.
由Δ>0，得4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0，
12m2＋9－3m2>0，即m2＋1>0恒成立．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4m2,m2－3)，x1x2＝eq \f(4m2＋3,m2－3).
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2>0，,x1·x2>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4m2,m2－3)>0，,\f(4m2＋3,m2－3)>0，))
∴m2>3，∴m∈(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)．
∵eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2m2,m2－3)，eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(2m3,m2－3)＋2m＝－eq \f(6m,m2－3)，
∴AB的中点M(eq \f(2m2,m2－3)，－eq \f(6m,m2－3))，
∵3(eq \f(2m2,m2－3)－1)2－eq \f(36m2,m2－32)
＝3×eq \f(m2＋32,m2－32)－eq \f(36m2,m2－32)
＝3×eq \f(m4＋6m2＋9－12m2,m2－32)＝3，
∴M在曲线3(x－1)2－y2＝3上．
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
假设存在实数m，使∠AOB为锐角，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>0，
∴x1x2＋y1y2>0.
∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)
＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，
∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，
∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，
即7m2＋3－12m2>0，∴m23矛盾，∴不存在实数m，使得∠AOB为锐角．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)