高三数学一轮复习： 重点强化课2 平面向量

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(1) (2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AM,\s\up13(→))＋μeq \(BD,\s\up13(→))，则λ＋μ＝( )
图1
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8) D.2
(2)在▱ABCD中，AB＝a，eq \(AD,\s\up13(→))＝b,3eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \(NC,\s\up13(→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up13(→))＝________.(用a，b表示)
【导学号：01772163】
(1)B (2)－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b [(1)因为eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AM,\s\up13(→))＋μeq \(BD,\s\up13(→))＝λ(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BM,\s\up13(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up13(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up13(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up13(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.
(2)如图所示，eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(MC,\s\up13(→))＋eq \(CN,\s\up13(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up13(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \(DA,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→)))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a－eq \f(3,4)b＝－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b.]
[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．O在AB外，A，B，C三点共线，且eq \(OA,\s\up13(→))＝λeq \(OB,\s\up13(→))＋μeq \(OC,\s\up13(→))，则有λ＋μ＝1.
[对点训练1] 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→))＋2eq \(OC,\s\up13(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
【导学号：01772164】
A．3 B.4
C.5 D.6
B [因为D为AB的中点，
则eq \(OD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→)))，
又eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→))＋2eq \(OC,\s\up13(→))＝0，
所以eq \(OD,\s\up13(→))＝－eq \(OC,\s\up13(→))，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
则eq \f(S△ABC,SAOC)＝4.]
重点2 平面向量数量积的综合应用
(2016·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up13(→))|＝2|eq \(PN,\s\up13(→))|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))，求f(a)的取值范围．
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则eq \(PM,\s\up13(→))＝(4－x，－y)，eq \(PN,\s\up13(→))＝(1－x，－y)．
∵动点P满足|eq \(PM,\s\up13(→))|＝2|eq \(PN,\s\up13(→))|，
∴eq \r(4－x2＋y2)＝2eq \r(1－x2＋y2)，
整理得x2＋y2＝4.4分
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，eq \r(4－a2))，B(a，－eq \r(4－a2))，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))＝(0，eq \r(4－a2))·(0，－eq \r(4－a2))＝a2－4；6分
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq \f(k2a2－4,1＋k2)，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分
∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，
∴－2∴－4≤a2－4<0，∴f(a)的取值范围是[－4,0).12分
[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．
2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．
[对点训练2] (1)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(2)
C.eq \r(2)＋1 D.eq \r(2)＋2
(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝eq \f(π,3)，点P满足AP＝λeq \(AB,\s\up13(→))，λ∈R，若eq \(BD,\s\up13(→))·eq \(CP,\s\up13(→))＝－3，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.－eq \f(1,3)
(1)C (2)A [(1)∵a，b是单位向量，且a·b＝0，
∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
∴|a＋b|＝eq \r(2).又|c－a－b|＝1，
∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1.
从而|c|≤|a＋b|＋1＝eq \r(2)＋1，∴|c|的最大值为eq \r(2)＋1.
(2)法一：由题意可得eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))＝2×2cs 60°＝2，
eq \(BD,\s\up13(→))·eq \(CP,\s\up13(→))＝(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→)))·(eq \(BP,\s\up13(→))－eq \(BC,\s\up13(→)))
＝(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→)))·[(eq \(AP,\s\up13(→))－eq \(AB,\s\up13(→)))－eq \(BC,\s\up13(→))]
＝(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→)))·[(λ－1)·eq \(AB,\s\up13(→))－eq \(BC,\s\up13(→))]
＝(1－λ)eq \(BA,\s\up13(→))2－eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))＋(1－λ)eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))－eq \(BC,\s\up13(→))2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，
∴λ＝eq \f(1,2)，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq \r(3))，D(－1，eq \r(3))．
令P(x,0)，由BD·eq \(CP,\s\up13(→))＝(－3，eq \r(3))·(x－1，－eq \r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，得x＝1.
∵eq \(AP,\s\up13(→))＝λeq \(AB,\s\up13(→))，∴λ＝eq \f(1,2).故选A.]
重点3 平面向量与三角函数的综合应用
(2017·合肥二次质检)已知m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，1))，n＝(cs x,1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调增区间．
[解] (1)由m∥n得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－cs x＝0，3分
展开变形可得sin x＝eq \r(3)cs x，即tan x＝eq \r(3).5分
(2)f(x)＝m·n＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(3,4)，7分
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得
－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.10分
又因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).12分
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[对点训练3] 已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up13(→))＝(3sin α，cs α)，eq \(OB,\s\up13(→))＝(2sin α，5sin α－4cs α)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且eq \(OA,\s\up13(→))⊥eq \(OB,\s\up13(→))，则tan α的值为( )
【导学号：01772165】
A．－eq \f(4,3) B.－eq \f(4,5)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
A [由题意知6sin2α＋cs α·(5sin α－4cs α)＝0，即6sin2α＋5sin αcs α－4cs2α＝0，上述等式两边同时除以cs2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
则tan α<0，解得tan α＝－eq \f(4,3)，故选A.]