高考数学一轮复习第2章重点强化课1 函数的图象与性质

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( ) 【导学号：31222064】
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))
A [画出函数f(x)的图象，如图，
当0≤x≤eq \f(1,2)时，令f(x)＝cs πx≤eq \f(1,2)，解得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)；
当x＞eq \f(1,2)时，令f(x)＝2x－1≤eq \f(1,2)，解得eq \f(1,2)＜x≤eq \f(3,4)，
故有eq \f(1,3)≤x≤eq \f(3,4).
因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))，故f(x－1)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4))).]
[迁移探究1] 在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分
[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．
[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.12分
[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
[对点训练1] 已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
图1
(－1,0)∪(1，eq \r(2)] [由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，eq \r(2)]．]
重点2 函数性质的综合应用
eq \a\vs4\al(☞)角度1 单调性与奇偶性结合
(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝lg x
C．y＝|x|－1D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|
(2)(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－eq \r(2))，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
(1)C (2)C [(1)函数y＝eq \f(1,x)是奇函数，排除A；函数y＝lg x既不是奇函数，也不是偶函数，排除B；当x∈(0，＋∞)时，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减，排除D；函数y＝|x|－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－eq \r(2))，f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))可得2|a－1|＜eq \r(2)，即|a－1|＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 奇偶性与周期性结合
(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.
－3 [令g(x)＝asin 2x＋btan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]
[规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
重点3 函数图象与性质的综合应用
(1)(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x＞a，,x2＋5x＋2，x≤a，))函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1)B．[0,2]
C．[－2,2)D．[－1,2)
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0]B．[0,1)
C．(－∞，1)D．[0，＋∞)
(1)D (2)C [(1)由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x＞a，,x2＋3x＋2，x≤a.))
因为g(x)有三个不同的零点，
所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2.
由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，
由x≤a，得a≥－1.
综上，a的取值范围为[－1,2)．
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0))的图象如图所示，
当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数f(x)＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]
[规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．
[对点训练2] (2017·云南二次统一检测)已知f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(3＋2x)＝f(7－2x)，若f(x)＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝________.
15 [由f(3＋2x)＝f(7－2x)得函数f(x)的图象关于直线x＝5对称，则f(x)＝0的n个实根的和为5n＝75，解得n＝15.]
重点强化训练(一) 函数的图象与性质
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－eq \r(2))＝( )
【导学号：31222065】
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．2D．－2
B [因为函数f(x)是偶函数，所以f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))＝lg2eq \r(2)＝eq \f(1,2).]
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3B．－1
C．1D．3
C [用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
3．函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
C [因为函数f(x)在定义域上单调递增，
又f(－2)＝3－2－1－2＝－eq \f(26,9)＜0，
f(－1)＝3－1－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(13,6)＜0，
f(0)＝30＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝3＋eq \f(1,2)－2＝eq \f(3,2)＞0，所以f(0)f(1)＜0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1)．]
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(lg2a)＋f(lga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
【导学号：31222066】
A．[1,2] B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))D．(0,2]
C [∵f(lga)＝f(－lg2a)＝f(lg2a)，∴原不等式可化为f(lg2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤lg2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(lg2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤lg2a≤0，∴eq \f(1,2)≤a≤1.综上可知eq \f(1,2)≤a≤2.]
5．(2017·陕西质检(二))若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，则( )
A．f(3)＜f(1)＜f(－2)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(－2)＜f(1)
D [由对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＜0得函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(3)＜f(2)＝f(－2)＜f(1)，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
【导学号：31222067】
图2
0 [由题图可知，函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0.]
7．若函数y＝lg2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________．
[0,1] [设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当a＝0时，f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0＜a≤1，
所以0≤a≤1.]
8．(2017·银川质检)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x∈(1，＋∞)时，f(x－1)＜0＝f(2)的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈(－∞，1)时，f(x－1)＜0＝f(－2)的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f(x－1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x，当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解，两个解？
[解] 令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示.3分
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解.12分
10．函数f(x)＝m＋lgax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f8＝2，,f1＝－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋lga8＝2，,m＋lga1＝－1，))3分
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋lg2x.5分
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋lg2x)－[－1＋lg2(x－1)]
＝lg2eq \f(x2,x－1)－1(x＞1).7分
∵eq \f(x2,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋2≥2eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋2＝4.
9分
当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．
而函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
则lg2eq \f(x2,x－1)－1≥lg24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(fln x－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,x))))),2)＜f(1)的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))B．(0，e)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))D．(e，＋∞)
C [f(x)为R上的奇函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,x)))＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(fln x－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,x))))),2)＝eq \f(|fln x＋fln x|,2)＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，所以－1＜ln x＜1，解得eq \f(1,e)＜x＜e，故选C.]
2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．
【导学号：31222068】
0 [g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则
f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]
3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
[解] (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.3分
(2)f(x)为偶函数.4分
证明如下：令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.7分
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，
解得－15∴x的取值范围是{x|－15