高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性学案，共11页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第三节　函数的奇偶性与周期性
考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．
2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称


1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数．
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
3．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．
4．对称性与周期的关系
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．

周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
5．常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0． (　×　)
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． (　√　)
(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数． (　√　)
(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期． (　×　)
2．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
C　解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．
3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f 等于(　　)
A． B． C． D．1
B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．
5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
BD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．
对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．


考点1　函数的奇偶性——基础性

1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(g(x))是偶函数
B．函数g(f(x))是偶函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
ABC　解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
D　解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．
3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x B．(ex＋e－x)
C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)
D　解析：因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．
4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．
奇函数　解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．
(2)有些题目，如第1题利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．

考点2　函数的周期性——综合性

(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．
7　2x＋9　解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．
当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．
1　解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，
则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．
(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．
则f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝__________．
－1　解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．
所以f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝f ＋0＋f ＋f(0)＋f ＝f －f ＋f(0)＋f ＝f ＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．

函数周期性有关问题的求解策略
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T．
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论．若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期．

1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
B　解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．
2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．f(x＋2)＝f(x)
C．f(3－x)＝f(x－1)
D．f(x－2)＝f(x)
ABD　解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
6　解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．

考点3　函数性质的综合应用——应用性

考向1　函数的单调性与奇偶性综合
(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b C　解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
D　解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．
又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．
因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．

单调性与奇偶性综合的解题策略
1．利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．
2．注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
考向2　函数的奇偶性与周期性结合
(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．
－1　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．
(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．

若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．
f(x)＝x2－6x＋8　解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．

函数周期性有关问题的求解方法
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
考向3　函数的单调性、奇偶性与周期性结合
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
D　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．

1．解决这类问题一定要充分利用数形结合思想，使问题变得直观、形象，进而顺利求解．
2．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
C　解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．
3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．
2　解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．
又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．
所以f(x)的最小正周期是12．
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．
4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：
①8是函数f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是________．
①②③　解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，
得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．