高三数学一轮复习： 第10章 第7节 课时分层训练64

这是一份高三数学一轮复习： 第10章 第7节 课时分层训练64，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．某射手射击所得环数X的分布列为( )
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28
C．0.79
C [根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.]
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
C [由已知得X的所有可能取值为0,1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq \f(1,3).]
3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于eq \f(C\\al(4,7)C\\al(6,8),C\\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2) B.P(X≤2)
C．P(X＝4) D.P(X≤4)
C [X服从超几何分布，故P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,7)C\\al(10－k,8),C\\al(10,15))，k＝4.]
4．(2017·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于( )
A.eq \f(9,10) B.eq \f(7,10)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
B [由分布列的性质知，
eq \f(1,2a)＋eq \f(2,2a)＋eq \f(3,2a)＋eq \f(4,2a)＝1，
则a＝5，
∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(3,10)＋eq \f(4,10)＝eq \f(7,10).]
5．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6)
D [∵a＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝1，∴a＝eq \f(1,2).
∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).]
二、填空题
6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
eq \f(1,6) [相应的基本事件空间有36个基本事件，
其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．
所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝eq \f(1,36)＋eq \f(2,36)＋eq \f(3,36)＝eq \f(1,6).]
7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于________.
【导学号：01772413】
eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6)
8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________.
【导学号：01772414】
[X的可能取值为3,4,5.又P(X＝3)＝eq \f(1,C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(X＝5)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).
∴随机变量X的分布列为
]
三、解答题
9．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq \f(7,9).
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列.
【导学号：01772415】
[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－eq \f(C\\al(2,10－x),C\\al(2,10))＝eq \f(7,9)，得到x＝5.故白球有5个.5分
(2)X服从超几何分布，
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,5)C\\al(3－k,5),C\\al(3,10))，k＝0,1,2,3.8分
于是可得其分布列为
12分
10．(2015·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
[解] (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.4分
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq \\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,9))＝eq \f(2,3)，
P(X＝－1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,9))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝1－eq \f(1,14)－eq \f(2,3)＝eq \f(11,42).8分
所以X的分布列为
10分
则E(X)＝0×eq \f(2,3)＋(－1)×eq \f(1,14)＋1×eq \f(11,42)＝eq \f(4,21).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B.[1,2]
C．(1,2] D.(1,2)
C [由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]
2．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.
[η的所有可能值为0,1,2.
P(η＝0)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1),C\\al(1,2)C\\al(1,2))＝eq \f(1,4)，P(η＝1)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1)×2,C\\al(1,2)C\\al(1,2))＝eq \f(1,2)，
P(η＝2)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1),C\\al(1,2)C\\al(1,2))＝eq \f(1,4).
∴η的分布列为
]
3．(2017·江南名校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[解] (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40).5分
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)C\\al(3－k,7),C\\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,7),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120).8分
因此ξ的分布列为
12分
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
X
0
1
2
P
a
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,3)
2－3q
q2
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(5,12)
eq \f(5,12)
eq \f(1,12)
X
0
－1
1
P
eq \f(2,3)
eq \f(1,14)
eq \f(11,42)
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
η
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
η
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35]
(35,45]
(45,55]
(55,65]
(65,75]
(75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)