新课标人教A版2020-2021学年下学期高一期末备考金卷 数学（A卷）

2020-2021学年下学期高一期末备考金卷

数  学 （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在中，，，，则的值为（    ）

A．  B．

C．  D．

2．对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（    ）

A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强

B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强

C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强

3．某学校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，，根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（    ）

A． B． C． D．

4．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（    ）

A． B． C． D．

6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．5

8．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（    ）

A．70，75 B．70，50 C．75， D．65，

9．设函数，若对于任意的，恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．

10．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．数列，，，，的前项和为（    ）

A． B． C． D．

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（    ）

A． B． C．4 D．6

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．执行如图所示的程序框图，若输出的a值大于2015，那么判断框内的条件应为________．

14．函数，，在定义域内任取一点，使的概率是_____．

15．等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足，，则使Sn取得最大值的n为________．

16．在下列命题中，正确的命题有________．(填写正确的序号)

①若，则的最小值是6；

②如果不等式的解集是，那么恒成立；

③设x，，且，则的最小值是；

④对于任意，恒成立，则t的取值范围是．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）超市购物：

购物不足250元的，无折扣；

购物满250元(含250元，下同)，不足500元的，打九五折；

购物满500元，不足1000元的，打九二折；

购物满1000元，不足2000元的，打九折；

购物满2000元及以上的，打八五折．

试画出程序框图．

18．（12分）为了让学生更有针对性地进行高三一轮复习，某校高三进行了一次模考考试结束后，高三（1）班班主任把本班学生的数学成绩（满分150分）做了统计，并制成了如下不完整的频率分布表：

已知分数在内的有2人，分数在内的有人．

（1）求，的值，并根据频率分布表估计该校高三（1）班数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；

（2）学校规定，数学成绩在内的学生都有机会进入“补差班”学习，现从高三（1）班数学成绩在内的学生中任选3名进入“补差班”学习，则这3名学生的分数都不低于90分的概率是多少？

19．（12分）设数列的前n项和为，且满足，．

（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和．

20．（12分）FEV1（一秒用力呼气容积）是肺功能的一个重要指标．为了研究某地区10～15岁男孩群体的FEV1与身高的关系，现从该地区A、B、C三个社区10～15岁男孩中随机抽取600名进行FEV1与身高数据的相关分析．

（1）若A、B、C三个社区10～15岁男孩人数比例为1：3：2，按分层抽样进行抽取，请求出三个社区应抽取的男孩人数；

（2）经过数据处理后，得到该地区10～15岁男孩身高x（cm）与FEV1y（L）对应的10组数据（i＝1，2，…，10），并作出如图散点图：经计算得：，，，，（i＝1，2，…，10）的相关系数．

①请你利用所给公式与数据建立y关于x的线性回归方程，并估计身高160 cm的男孩的FEV1的预报值y0；

②已知，若①中回归模型误差的标准差为s，则该地区身高160 cm的男孩的FEV1的实际值落在(y0-3s，y0+3s)内的概率为．现已求得，若该地区有两个身高160 cm的12岁男孩M和N，分别测得FEV1值为和，请结合概率统计知识对两个男孩的FEV1指标作出一个合理的推断与建议．

附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数r，

其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，．

21．（12分）已知为的三个内角，且其对边分别为，若

．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

22．（12分）已知二次函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．

1．【答案】A

【解析】由余弦定理可得，，

故选A．

2．【答案】C

【解析】由线性相关系数知与正相关，

由线性相关系数知与负相关，

又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，故选C．

3．【答案】C

【解析】由题意得，自习时间不少于小时的频率为，

故自习时间不少于小时的人数为，故选C．

4．【答案】C

【解析】由题意，，

故，

当且仅当，即，时等号成立，

故选C．

5．【答案】B

【解析】由已知条件可得，解得或，

设等比数列的公比为，

①当，时，由，解得，

，解得；

②当，时，由，解得，

，解得，

综上所述，，故选B．

6．【答案】C

【解析】∵不等式的解集为，

∴，∴，

，图象开口向下，两个零点为，

故选C．

7．【答案】C

【解析】∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，

∴，故选C．

8．【答案】B

【解析】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，

设更正后的方差为s2，

由题意得，

而更正前有，

化简整理得，故选B．

9．【答案】D

【解析】若对于任意的，恒成立，

即可知：在上恒成立，

令，对称轴为，

当时，恒成立；

当时，有开口向下且在上单调递减，

∴在上，，得，故有；

当时，有开口向上且在上单调递增，

∴在上，，得，

综上，实数m的取值范围为，故选D．

10．【答案】D

【解析】在中，根据正弦定理得，

由，所以，

所以，所以，则，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以，故选D．

11．【答案】B

【解析】根据得出数列的求和公式，可得，

即所求数列的通项公式为，

所以所求数列的前项和为：，

故选B．

12．【答案】A

【解析】在△ABC中，，

由正弦定理可得，

可得，

即，

由于sinA≠0，所以，

由，可得，

设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，

在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，

可得，，，

由于，可得，

再根据，可得，

所以，

根据基本不等式可得，所以，当且仅当，时等号成立，

所以△ABC的面积，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出，

故判断框内的条件应为，即答案为．

14．【答案】

【解析】由，得，解得，

因此，在定义域内任取一点，使的概率是，

故答案为．

15．【答案】10

【解析】由，，可知{an}为递减的等差数列，

设其公差为d，则d<0，

由，，

得，，所以，，

所以使Sn取得最大值的n为10，故答案为10．

16．【答案】②③④

【解析】选项①．，

当且仅当，

即时取等号，很显然不成立，即的最小值不是6，

所以不①正确；

选项②．不等式的解集是，则是方程的两个实数根，

所以，，解得，所以，所以②正确；

选项③．由，则，

当且仅当时取等号，故③正确；

选项④．任意，恒成立，即，

设，即在上时恒有成立．

在上是一次函数或常数函数，其图象为一条线段．

要使得，则，即，解得或，

所以正确④，

故答案为②③④．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】见解析．

【解析】程序框图如图所示．

18．【答案】（1），，；（2）．

【解析】（1）由，解得，

由，解得，

．

（2）由题意得分数在内的学生有2名，分别设为，，

分数在内的学生有4名，分别设为，，，，

现从高三（1）班数学成绩在内的学生中任选3名进入“补差班”学习，

基本事件总数，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

这3名学生的分数都不低于90分包含的基本事件有4个，分别为，，，，

则这3名学生的分数都不低于90分的概率是．

19．【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】（1）当时，，，

当时，，与已知式作差得，即，

又，∴，∴，

故数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以．

（2）由（1）知，∴，

若，；

若，，

∴．

20．【答案】（1）A：100人，B：300人，C：200人；（2）①，；②答案见解析．

【解析】（1）A社区抽取人数：人；B社区抽取人数：人；

C社区抽取人数：人．

（2）①对比b与r的公式，得：

，

∴，

∴所求的线性回归方程为，

而当时，预计．

②∵，则，．

∴该地区身高160cm的男孩的FEV1的实际值落在区间内的概率为，即该地区身高160 cm的男孩的EFV1值不在这个区间内的概率极小，仅有，M的EFV1值落在这个区间内，我们推断他的EFV1是正常的，N的EFV1值低于该区间的下限，我们推断他的EFV1是不正常的，建议他去找一下不正常的原因．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，

∴由正弦定理可得，

整理得，即，

所以，

∵，∴，

∵，∴．

（2）由，，

由余弦定理得，∴，

即有，∴，

∴的面积为．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

即，即，解得，

故不等式的解集为．

（2）原不等式为在上有解，

即在上有解，

记，，则，

又在上单调递增，

所以，所以