2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　）
A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉
2．（3分）一次函数y＝2x+1的图象沿y轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x﹣5 D．y＝2x+7
3．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．△ABO≌△ADO
5．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（　　）

A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
6．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：
平均数
中位数
众数
m
6
7
则下列选项正确的是（　　）
A．可能会有学生投中了8次
B．五个数据之和的最大值可能为30
C．五个数据之和的最小值可能为20
D．平均数m一定满足4.2≤m≤5.8
8．（3分）中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）已知m是方程x2﹣3x+2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为　 　．
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（π，y1）、两点，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．（3分）已知A（0，2），B（3，1），在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为　 　．
13．（3分）如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是　 　．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点．若∠ABC＝60°，则∠ACE＝　 　．

15．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为　 　．

16．（3分）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是　 　（填“老实人”或“骗子”）．
三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）
17．计算：
．
18．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
19．已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标．

四、解答题（本大题共6小题，共36.0分）
20．关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；
（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．

22．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．
a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：

b．人口数量在2≤x＜4这一组的是：
2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9
c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：

d．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：

0～14岁人口比例
15～59岁人口比例
60岁以上人口比例
第二次人口普查
40.4%
54.1%
5.5%
第五次人口普查
22.89%
66.78%
10.33%
第六次人口普查
16.6%
70.14%
13.26%
e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第　 　位．
（2）人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有　 　个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为　 　千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是　 　．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．
23．如果方程x2+px+q＝0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q＝0同族方程，并规定：满足．例如x2﹣7x+12＝0有正整数解3和4，所以x2﹣7x+12＝0属于同族方程，所以．
（1）如果同族方程x2+px+q＝0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
（2）如果同族方程x2+px+q＝0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数）；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．
24．已知，将Rt△DAE水平向右平移AD的长度得到Rt△CBF（其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应），过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系（直接写出即可）．

25．对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线y＝kx+b使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．
（1）直线l1：x＝2.5与直线l2：y＝3x﹣5的分类效果更好的是　 　；
（2）小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第　 　组点位于“成达线”的同侧；
（3）如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为　 　；
（4）这两组点的“成达线”的解析式为　 　．


2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　）
A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉
【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．
【解答】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
故选：A．

【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．
2．（3分）一次函数y＝2x+1的图象沿y轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x﹣5 D．y＝2x+7
【分析】注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：原直线的k＝2，b＝1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝1+3＝4．
∴新直线的解析式为y＝2x+4．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k值不变．
3．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．△ABO≌△ADO
【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
故A、B、C正确，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．
5．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（　　）

A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y1＝x+b的图象都在y2＝kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+3，
即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】解：
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7．（3分）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：
平均数
中位数
众数
m
6
7
则下列选项正确的是（　　）
A．可能会有学生投中了8次
B．五个数据之和的最大值可能为30
C．五个数据之和的最小值可能为20
D．平均数m一定满足4.2≤m≤5.8
【分析】根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7＝20，再根据这五个数据的平均数是m，求出另外2个数的和为5m﹣20，据此即可求解．
【解答】解：∵中位数是6，唯一众数是7，
∴最大的三个数的和是：6+7+7＝20，
∵这五个数据的平均数是m，
∴另外2个数的和是5m﹣20，
∴不可能会有学生投中了8次；五个数据之和的最大值可能为20+5+4＝29，不可能为30；五个数据之和的最小值可能为20+0+1＝21，不可能为20；
∵29÷5＝5.8，21÷5＝4.2，
∴平均数m一定满足4.2≤m≤5.8．
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
8．（3分）中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据图2可得学生与测试老师的距离的变化情况，即可作出判断．
【解答】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点B．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用观察学生与测试老师之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　x≥2　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．（3分）已知m是方程x2﹣3x+2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为　2021　．
【分析】根据m是方程x2﹣3x+2020＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+2020＝0的根，
∴m2﹣3m+2020＝0，
∴m2﹣3m＝﹣2020，
∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1+2020＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（π，y1）、两点，则y1　＜　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合π＞，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵π＞，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
12．（3分）已知A（0，2），B（3，1），在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为　（2，0）　．
【分析】“将军饮马”问题：作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则P即为所求点，求出A'坐标和直线A'B解析式，即可得到P坐标．
【解答】解：作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则P即为所求点，如图：

∵A（0，2），A关于x轴的对称点A'，
∴A'（0，﹣2），
设直线A'B的解析式为y＝kx+b，把A'（0，﹣2），B（3，1）代入得，
则，
解得，
∴直线A'B的解析式为：y＝x﹣2，
当y＝0时，x＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查线段和的最小值，解题的关键是熟悉“将军饮马问题”模型：作一个点的对称点，连接对称点和另一个点，连线与对称轴交点即为所求点．
13．（3分）如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是　150°　．

【分析】根据正方形的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：AD＝CD＝DE＝CE＝CB，
∴∠EDC＝60°，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝∠BEC＝75°，
∴∠AEB＝360°﹣2∠AED﹣∠DEC＝150°，
故答案为：150°
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点．若∠ABC＝60°，则∠ACE＝　30°　．

【分析】延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．
【解答】解：延长BC、AD交于F，
在△ABC和△AFC中
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴BC＝FC，
∴C为BF的中点，
∵E为BD的中点，
∴CE为△BDF的中位线，
∴CE∥AF，
∴∠ACE＝∠CAF，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACE＝∠CAF＝∠BAC＝30°，

故答案为：30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为　（﹣，）　．

【分析】过D作DF⊥x轴于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝4，设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥x轴于F，
∵点B的坐标为（4，8），
∴AO＝4，AB＝8，
根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝4，
设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝8，
∴AE＝CE＝8﹣3＝5，
∴＝＝，
即，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣4＝，
∴D的坐标为（﹣，）．
故答案是：（﹣，）．

【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
16．（3分）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是　骗子　（填“老实人”或“骗子”）．
【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．
【解答】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知：
老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，
而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，
而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．
故答案为骗子．

【点评】本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论．
三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）
17．计算：
．
【分析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．
【解答】解：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x﹣2）＝0
∴x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根．
19．已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A点坐标，设P（t，﹣t+1），根据三角形面积公式得到×1×|﹣t+1|＝2，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S△OAP＝2，
所以×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
四、解答题（本大题共6小题，共36.0分）
20．关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；
（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到a≠0且△＝4a2﹣4ac＝0，然后得到a＝c；
（2）把x＝0代入原方程得出c＝0，再将c＝0代入ax2+2ax+c＝0，解方程即可求出方程的另一根．
【解答】解：（1）根据题意得，a≠0且△＝4a2﹣4ac＝0，
∴4a（a﹣c）＝0，
∴a＝c；

（2）把x＝0代入原方程得出c＝0，
∴方程为ax2+2ax＝0，
∴ax（x+2）＝0，
∴该方程的另一个根为﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．

【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
22．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．
a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：

b．人口数量在2≤x＜4这一组的是：
2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9
c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：

d．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：

0～14岁人口比例
15～59岁人口比例
60岁以上人口比例
第二次人口普查
40.4%
54.1%
5.5%
第五次人口普查
22.89%
66.78%
10.33%
第六次人口普查
16.6%
70.14%
13.26%
e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第　6　位．
（2）人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有　2　个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为　3.8　千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是　①②　．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．
【分析】（1）观察统计图结合已知条件即可判断．
（2）观察散点图可得结论．
（3）根据题意①②说法都是合理的．
【解答】解：（1）∵人口为0≤x＜2千万人的有5的地区，
又∵人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9，北京在第一位，
∴我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．
故答案为6．

（2）由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，
故答案为2，3.8．

（3）①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．
故答案为①②．
【点评】本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如果方程x2+px+q＝0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q＝0同族方程，并规定：满足．例如x2﹣7x+12＝0有正整数解3和4，所以x2﹣7x+12＝0属于同族方程，所以．
（1）如果同族方程x2+px+q＝0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
（2）如果同族方程x2+px+q＝0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数）；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．
【分析】（1）先根据判别式得出p2＝4q，代入，即可得出结论；
（2）先判断出y﹣x＝6，进而求出q的值，再分情况求出每个方程的解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵同族方程x2+px+q＝0中有两个相同的解，
∴b2﹣4ac＝0，
∴p2﹣4q＝0，
∴p2＝4q，
∵，
∴；

（2）根据题得10y+x﹣（10x+y）＝54，
∴9y﹣9x＝54，
∴y﹣x＝6，
∵1⩽x⩽y⩽9，
∴，，，
∴q＝39或28或17，
∴可得三个方程x2+px+39＝0，x2+px+28＝0，x2+px+17＝0，
由和谐方程定义可得x2+px+39＝0的解为x＝1或39；x＝3或13，此时p＝﹣40或﹣16；
方程x2+px+28＝0的解为x＝1或x＝28；x＝2或x＝14；x＝4或x＝7，此时p＝﹣29或﹣16或﹣11；
方程x2+px+17＝0的解为x＝1或17，此时p＝﹣18；
则和谐方程x2+px+39＝0中G的最小值为；
方程x2+px+28＝0中G的最小值为；
方程x2+px+17＝0中G的值为；
∵，
∴G的最小值为．
【点评】此题是一元二次方程的整数解，理解新定义，理解和应用新定义是解本题的关键．
24．已知，将Rt△DAE水平向右平移AD的长度得到Rt△CBF（其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应），过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系（直接写出即可）．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明即可．
（2）①结论：FC＝AM．证明△FCM是等腰直角三角形即可．
②结论：DM2+BM2＝2AM2，利用勾股定理证明即可．
【解答】解：（1）如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ABD＝45°，
∵EM⊥BD，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴MB＝ME．

（2）①结论：FC＝AM．
理由：如图所示，连接CM、FM，
∵△BEM是等腰直角三角形，
∴MB＝ME，∠ABM＝∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝∠FBM＝135°，
又∵AE＝FB，
∴△AEM≌△FBM（SAS），
∴AM＝FM，
∵AE＝BF，
∴EF＝BC＝AB，
∴△MEF≌△MBC（SAS），
∴∠EMF＝∠BMC，FM＝MC，
∴∠FMC＝90°，
∴△FCM是等腰直角三角形，
∴，
即．

②结论：DM2+BM2＝2AM2，
理由：如图，连接DE，
∵AE＝BF，
∴AE+BE＝BF+BE＝EF，
又∵DC∥AB且DC＝AB，
∴DC＝EF，DC∥EF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵，MF＝AM，
∴，
又BM＝EM，∠DME＝90°，
∴DM2+EM2＝DE2，
则DM2+BM2＝2AM2．

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线y＝kx+b使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．
（1）直线l1：x＝2.5与直线l2：y＝3x﹣5的分类效果更好的是　l2：y＝3x﹣5　；
（2）小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第　Ⅰ　组点位于“成达线”的同侧；
（3）如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为　y＝x　；
（4）这两组点的“成达线”的解析式为　y＝x　．

【分析】（1）根据题意算出距离最小值比较一下即可得出；
（2）算出小明两项花费对应的点即可；
（3）去掉P1后P2，P3，P4与 Q1，Q2，Q3关于y＝x对称，即可得出此时的“成达线”的解析式；
（4）当y＝x时，两组点到y＝x的距离最小，可得两组点的“成达线”为y＝x．
【解答】解：（1）由图可知：P1 （1.5，2），P2 （1，3），P3 （2，3），P4 （2，4），Q1 （3，1），Q2 （3，2），Q3 （4，3），
当l1：x＝2.5为分类直线时，d1＝0.5，
当l2：y＝3x﹣5为分类直线时，d2＝＞0.5，
∴l2：y＝3x﹣5分类效果更好；
（2）由题意可知，x＝y＝300，则小明两项网购花费所对应的点（3，3）与第一组点位置于“成达线”的同侧；
（3）去掉P1 后2k﹣3+b＝3k﹣2+b，
∴k＝1，
P2，P3，P4与 Q1，Q2，Q3关于y＝x对称，
∴此时“成达线”为y＝x；
（4）当y＝x时，两组点到y＝x的距离最小，
∴两组点的“成达线”为y＝x．
故答案为：（1）l2：y＝3x﹣5；（2）Ⅰ；（3）y＝x；（4）y＝x．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质与新定义结合综合题，关键是对新定义的理解和运用．