（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（1）

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装分发彩色光的小灯泡且在背面用导线相邻（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为厘米，则连接导线大致需要的长度最小为（    ）

A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米

4．已知，，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木，水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从这五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数（）的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，

则的重心坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况．某人根据年月至年月每月跑步的里程（十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A．月跑步里程数逐月增加

B．月跑步里程数的最大值出现在月

C．月跑步里程的中位数为月份对应的里程数

D．月至月的月跑步里程数相对于月至月波动性更小，变化比较平稳

10．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第三天走了四十八里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第二天走的路程占全程的

D．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的倍

11．如图，在四边形中，，，，为边上一点，且，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A．当时， B．函数有个零点

C．函数的解集为 D．，，都有

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知，，则向量在向量方向上的投影为       ．

14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作．然而，在年底到年初，荆州城西门外约千米的张家山号墓出土的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年．有某高校数学系博土研究生人，现每人可以从《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《术》五部著作（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有

       种．（请用数字作答）

15．已知，则      ．

16．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长为和侧棱长都为，点在平面内，点是直线上的动点，则点到平面的距离为       ，点到直线上的距离的最大值为        ．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充至横线上．若问题中的正整数存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

已知数列中，其前项和为，且        ，是否存在正整数，使得，，构成等差数列？

18．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若，，求的最大值．

19．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）今年月至月由新型冠状病毒感染的新冠肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员人，其中岁及以上的共有人．这人中确诊患新冠肺炎的有人，其中岁以下的占．

（1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关；

（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从名确诊人员中随机抽出人继续进行血清的研究，表示被抽取的人中岁以下的人数，求的分布列以及数学期望．

参考表：

参考公式：，其中．

21．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，动点在椭圆上运动，当轴，，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）延长，，分别交椭圆于，（，不重合）两点．设，，求的最小值．

22．（12分）设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设，若在上恒成立，求实数的取值范围．

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（一）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由题意得，，

∴，，，，

故A，B，D选项错误，C选项正确，

故选C．

2．【答案】C

【解析】∵，∴，

∴，故选C．

3．【答案】B

【解析】因为在弧长比较短的情况下分成等份，每部分的弦长和弧长相差很小，

所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为（厘米），故选B．

4．【答案】A

【解析】方法一：对，，有，当且仅当时，等号成立，

∴．

∵，∴，∴，∴“”是“”的充分条件；

反之，若，如，，，

∴“”不是“”的必要条件，故选A．

方法二：在平面直角坐标系中作出直线和曲线，，，如图．

则表示的平面区域为曲线在第一象限右上方的部分，

表示的平面区域为直线在第一象限右上方的部分．

∴表示的平面区域是表示的平面区域的真子集，即为充分不必要条件，

故选A．

5．【答案】D

【解析】从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土，共种结果，

所以两类元素相生的概率为，故选D．

6．【答案】B

【解析】由题意，知，是偶函数，排除D选项；

当时，，所以在上单调递增，排除A，C选项，

故选B．

7．【答案】D

【解析】，，

令，，且当时，，

令，得或．

由可知，当时，，结合的图像（图略），

当时，，∴，∴．故选D．

8．【答案】C

【解析】设，，，

则，得①，

同理②，③．

①②③，得．

再与①②③结合，解得，，，

∴，，，则，

故所求重心的坐标为，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】BCD

【解析】根据折线图可知，月跑步里程数比月小，月跑步里程数比月小，月跑步里程数比月小，A选项错误；

根据折线图可知，月的跑步里程数最大，B选项正确；

一共个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为月份对应的里程数，C选项正确；

根据折线图可知D选项正确，

故选BCD．

10．【答案】ABD

【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比的等比数列．

所以，解得，

则，所以A正确；

易得，而，所以B正确；

，而，所以C不正确；

，

则，而，所以D正确，

故选ABD．

11．【答案】ABC

【解析】∵，∴A正确；

∵

，∴B正确；

∵，∴C正确；

∵，D不正确，

故选ABC．

12．【答案】BCD

【解析】∵函数是定义在上的奇函数，当时，，

∴当时，，则，∴．

当时，，∴．

令，可得或或，∴函数有三个零点，，．

因此A不正确，B正确；

当时，，，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

且在时，函数取得极小值．

根据奇函数图像的对称性作出函数的图像，如图．

结合图像可得，函数的解集为．

，，都有，因此C，D正确，

故选BCD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】向量在向量方向上的投影为．

14．【答案】

【解析】方法一：由题意得，恰有两部没有任何人选择的情况共有（种）．

方法二：根据题意，得从五部著作中选择三部著作的情况有种，

然后每个人有放回地依次选择一部，则有种情况．

但其中他们选择同一部著作的情况有种，恰好选择两部著作的情况有种，

所以恰有两部没有任何人选择的情况共有（种）．

15．【答案】

【解析】令，得，

令，得，所以．

16．【答案】，

【解析】由题意可知，三棱锥为正四面体，的边长为，

则任一边的中线长为，点到平面的距离为．

易知点是以为直径的球面上的点，则点到直线的距离是以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间的距离加球的半径．

如图，在三棱锥中，分别取，的中点，，

连接，，，则，∴，

同理可得，分别过点，作，，直线，确定平面，

直线，确定平面，

则，，∴，

同理可证，∴，的长为两平行平面间的距离．

∵，∴，

∴点到直线的最大距离为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】见解析．

【解析】若选择条件①，则．

两式相除得到，

所以数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列．

因为，所以．

因为，所以，因此，，成等比数列．

故数列是等比数列，且公比为，所以，

所以，则，，．

若，，构成等差数列，则，

整理得，此方程无解，

所以不存在正整数，使得，，构成等差数列．

若选择条件②．

因为，所以，则，所以，

当时，．

两式相减，得，于是，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此，．

若，，构成等差数列，则．

整理，得，此方程无解，

所以不存在正整数，使得，，构成等差数列．

若选择条件③．

因为，所以，则，因此．

当时，．

两式相减，得，

于是，所以．

当时，，成立．于是数列是等差数列，且．

若，，构成等差数列，则，此方程无解，

所以不存在正整数，使得，，构成等差数列．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，

根据正弦定理，得，即，

根据余弦定理，得，

又，∴．

（2）由可知，是的中点，如图．

在中，，

即．

在中，，

即．

又，∴，∴．

由（1）及，得，当且仅当时，等号成立．

∴，则．∴的最大值为．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）∵四边形为正方形，∴，

∵平面，平面，∴，

∵，平面，且，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）取的中点，连接，，易知，，两两垂直，

如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，

建立空间直角坐标系．

在中，∵，，∴，

∴，，，．

设平面的法向量为，，，

由，得，取；

设平面的法向量为，，，

由，得，取，

∴．

∵二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）补充完整的列联表如下：

．

所以有的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关．

（2）根据题意，的所有可能取值为，，，．

，，

，，

故的分布列为

故．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知，，，所以点在椭圆上，

所以，所以，解得，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意得，点不在轴上，从而．

设，，

由，得，所以，，

由，得①，而②，

联立①②消去，得，即，

由题意知，所以，，

同理可得，所以．

故当时，取最小值．

22．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）的定义域为，．

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时，令，得或（舍去）．

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题意，得在上恒成立．

①若时，∵，∴，∴．

令，，则，．

∵，∴，∴，

∴在上单调递增，∴恒成立，

故时，恒成立；

②若，令，则，

∴在上单调递增，∴，即，

∴，即．要使成立，必有成立．

由（1）可知，当时，．

又，则必有，即．

此时，．

令，

则

，

即恒成立，故在上单调递增，

∴，

故时，恒成立，

综上所述，实数的取值范围是．