（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（3）

这是一份（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（3），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是实数集，，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ）A． B． C． D．3．将甲、乙、丙、丁、戊名护士派往、、、四家医院，每所医院至少派名护士，则不同的派法总数有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种4．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．5．某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（    ）A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或者周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都可能在周二上演6．年月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：购票人数以上门票价格元/人元/人元/人两个旅游团队计划游览该景点．若分别购票，则共需支付门票费元；若合并成个团队购票，则需支付门票费元，那么这两个旅游团队的人数之差为（    ）A． B． C． D．7．已知是边长为的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，则（    ）A． B． C． D．8．设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（    ）A．  B．C．  D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列判断正确的是（    ）A．抛物线与直线仅有一个公共点B．双曲线与直线仅有一个公共点C．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则D．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（    ）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位11．已知，均为正实数，且，则（    ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为12．甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中结论正确的为（    ）A．  B．C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知正三角形(为坐标原点)的顶点，在抛物线上，则的边长是________．14．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为，，，，，，，…，则第个括号内各数之和为________．15．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数，棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一．如图是一个面数为的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数_______．16．如图，在侧棱长为的正三棱锥中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点，且点到点的距离始终等于，则动点在三棱锥表面形成的曲线的长度为_________． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求的面积．                 18．（12分）已知等比数列满足，．（1）定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”；（2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和．                19．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年月日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)年月日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：电商平台电商平台（1）作出两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关； 销售量销售量总计电商平台   电商平台   总计   （3）生产商要从这个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率是多少？附：，．                 20．（12分）如图，在中，，，点在上，交于，交于．沿将翻折成，使平面平面；沿将翻折成，使平面平面．（1）求证：平面；（2）设，当为何值时，二面角的大小为？                21．（12分）已知函数，其中．（1）讨论函数的极值；（2）设，当时，若不等式对任意恒成立，求的最小值．                      22．（12分）如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交与，．①证明：；②记，的面积分别是．问：是否存在直线，使得?请说明理由．    
（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷数 学（三）答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】∵或，，即，，所以，所以，故选D．2．【答案】D【解析】，它为纯虚数，则，解得，故选D．3．【答案】C【解析】首先将名护士分成组，共有，再将名护士往、、、四家医院，共有种派法，故选C．4．【答案】C【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则，故选C．5．【答案】C【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C．6．【答案】B【解析】由题意，不能被整除，所以两个部门的人数之和为，（1）若，则，可得，……①由共需支付门票为元，可知，………②联立方程组，可得，（舍去）；（2）若，则，可得，……③由共需支付门票为元，可知，，可得，…④联立方程组可得，，所以两个部门的人数之差为，故选B．7．【答案】D【解析】设交于点，如图，由题意可得点为的重心，则，，，所以，故选D．8．【答案】A【解析】∵对任意的，，都有，∴在上是增函数，令，则，∴为偶函数，∴在上是减函数，且，∴，当时，，即，解得；当时，，即，解得，综上所述：的解集为，故选A． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】BD【解析】对于A，抛物线与直线方程，联立方程，消去，可得，，所以抛物线与直线有两个公共点，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行，故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确；对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确，故选BD．10．【答案】AD【解析】由函数的最大值为，可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期满足，所以，，又的图象关于点对称，所以，即，所以，，当时，，所以函数在上单调递增，故A正确；当时，，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；当时，，，故C错误；将的图象向右平移个单位可得的函数为：，故D正确，故选AD．11．【答案】AC【解析】对于A，∵，∴，当且仅当等号成立，故A正确；对于B，由已知得，∴，故B错误；对于C，由，得，当且仅当等号成立，故C正确；对于D，由已知得，当且仅当等号成立，故的最小值为，故D错误，故选AC．12．【答案】BCD【解析】∵甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，当发生时，，当不发生时，，∴事件与事件不相互独立，故C正确；对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确，故选BCD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】如图，设的边长为，则，∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为．14．【答案】【解析】括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数个数都是个，所以到第个括号时，共有个数，且第个括号里的数有个，又数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以第个括号里的第一个数是，所以第个括号里的数是，所以第个括号里的数之和为，故答案为．15．【答案】【解析】该多面体面数，由图知，顶点数，根据欧拉多面体公式，得棱数，故答案为．16．【答案】【解析】设动点在三棱锥表面形成曲线是，如图所示．则，在直角三角形中，，∴，，∴，同理，在直角三角形中，，，∴，在等边三角形中，，∴，则这条曲线的长度为，故答案为． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】条件选择见解析，的面积为或．【解析】选①由，得，又，所以．选②由，得，解得，又，所以．选③由，得，得，又，所以．又因为，所以．由，所以或．当时，，又因为，所以，，所以面积；当时，，所以，又因为，所以，所以面积．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由题意可设公比为，则，得，，得或，∴数列是“数列”．（2）设数列的公差为，易得，得，∴，得，由（1）知，若，则，∴，若，则，∴，∴①∴②①-②得，∴，∴．19．【答案】（1）茎叶图见解析，电商平台的销售更好，理由见解析；（2）列联表见解析，没有的把握认为销售量与电商平台有关；（3）．【解析】（1）由已知数据作出茎叶图如下：电商平台 电商平台                        由茎叶图可知：电商平台的销售更好，理由如下：①由茎叶图可知，电商平台销售量的中位数为，电商平台销售量的中位数为，因此电商平台的销售更好．②由茎叶图可求得电商平台销售量的平均数为，电商平台销售量的平均数为，因此电商平台的销售更好．（2）由题中数据，可得列联表如下： 销售量销售量总计电商平台电商平台总计∴，∴没有的把握认为销售量与电商平台有关．（3）由已知数据，销售量前五名的店铺，销售量分别为，，，，．设对应的店铺分别为．从其中选取三个店铺共有种情况，如下：，，，，，，，，，，其中恰好有两个店铺的销售量在以上的情况有种：，，，，，，∴其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率．20．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，平面，所以平面，因为平面平面，且，所以平面，同理，平面，所以，从而平面，所以平面平面，从而平面．（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．则，，，，，，．平面的一个法向量，平面的一个法向量．由，化简得，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题意，函数，可得（），当，即时，令，得；令，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，无极小值；当，即时，令，得；令，得或，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，在处取得极小值，且极小值为；当，即时，恒成立，单调递减，无极值；当，即时，同理可得在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故在处取得极小值，在处取得极大值，综上所述，当时，的极小值为，极大值为；当时，无极值；当时，的极小值为，极大值为；当时，的极大值为，无极小值．（2），设，，则，当时，，设，则，所以在上单调递增．又，，所以，使得，即，．当时，，；当时，，，所以函数在内单调递增，在内单调递减，所以，因为函数在内单调递增，所以，因为对任意的恒成立，又，所以的最小值是．22．【答案】（1），；（2）①证明见解析；②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．【解析】（1）由题意知，从而，又，解得，，故，的方程分别为，．（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，由，得，设，，则是上述方程的两个实根，于是，．又点的坐标为，所以，故，即．②设直线的斜率为，则直线的方程为，由，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．于是，由，得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标，于是，因此，由题意知，解得或．又由点的坐标可知，，所以．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．