全国统考2022版高考数学大一轮复习选修4—5不等式选讲1备考试题（含解析）

选修4-5　不等式选讲

练好题·考点自测 

1.[改编题]若a,b,c∈R,且满足|a-c|<b,给出下列结论:

①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.

其中错误的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2 

C.3 D.4

2.[2019浙江,16,4分]已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　. 

3.[2017 浙江,17,4分]已知a∈R,函数f(x)=|x+a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是　　　. 

4.[2020全国卷Ⅱ,23,10分][文]已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;

(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.

拓展变式

1.[2020全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)在图1中画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.

图1

2.[2018全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

3.[2019全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:

(1)≤a2+b2+c2;

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

4.[2021湖南模拟]已知函数f(x)=|x+1|+2|x-a|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≤7的解集;

(2)已知a>-1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值.

答  案

选修4-5　不等式选讲

1.A　由题意得,∴①,②都正确,③不正确.

又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|,

∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b|>|c|.④正确.故选A.

2.　f(t+2)-f(t)=[a(t+2)3-(t+2)]-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因为存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,所以≤2a(3t2+6t+4)-2≤有解.因为3t2+6t+4≥1,所以≤a≤有解,所以a≤[]max=,所以a的最大值为.

3.(-∞,]　∵x∈[1,4],∴x+∈[4,5].分类讨论:①当a≥5时,f(x)=a-x+a=2a-x,函数f(x)在区间[1,4]上的最大值为2a-4=5,∴a=,舍去;②当a≤4时,f(x)=x+a+a=x+≤5,此时符合题意;③当4<a<5时,[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},则或解得a=或a<.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,].

4.(1)当a=2时,f(x)=

因此,不等式f(x)≥4的解集为{x|x≤或x≥}.

(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.

当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

1.(1)由题设知f(x)=

y=f(x)的图象如图D 1所示.

图D 1

(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象,如图D 2所示.

图D 2

由-x-3=5(x+1)-1,解得x=,故函数y=f(x)的图象与函数y=f(x+1)的图象的交点坐标为(,).由图D 2可知当且仅当x<时,函数y=f(x)的图象在函数y=f(x+1)的图象上方.

故不等式f(x)>f(x+1)的解集为(-∞,).

2.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为(,+∞).

(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;

若a>0,|ax-1|<1的解集为(0,),所以≥1,故0<a≤2.

综上,a的取值范围为(0,2].
【易错警示】　本题的易错点有三个:一是零点分区间时,不注意端点值能否取到,导致结果出错;二是不会转化,如本题,不懂得利用x∈(0,1),把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题;三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题,导致所求的结果出错.

3.(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有

a2+b2+c2≥ab+bc+ca=.

所以≤a2+b2+c2,当且仅当a=b=c=1时“=”成立.

(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×2×2×2=24.

当且仅当a=b=c时两等号同时成立,

所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

【方法技巧】　本题考查利用基本不等式证明不等式,对于本题第(1)问,证明的关键是利用“1”的代换.在利用基本不等式时需注意取等号的条件能否成立.

4.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+2|x-1|.

当x<-1时,f(x)≤7即-3x+1≤7,解得x≥-2,故-2≤x<-1.

当-1≤x≤1时,f(x)≤7即-x+3≤7,解得x≥-4,故-1≤x≤1.

当x>1时,f(x)≤7即3x-1≤7,解得x≤,故1<x≤.

综上,f(x)≤7的解集为[-2,].

(2)因为a>-1,所以f(x)=

作出y=f(x)的大致图象,如图D 3所示.

由y=f(x)的图象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以实数a的值为2.

图D 3