2021年中考数学 三轮专题冲刺：与圆相关的计算（含答案）

2021中考数学 三轮专题冲刺：与圆相关的计算

一、选择题

1. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长是(　　)

A.  　　　 B. π 　　　 C. π 　　　 D. π

2. （2020·毕节）如图，己知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．     B．     C．     D． ＋

3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(　　)

A．8－π        B．16－2π

C．8－2π        D．8－π

4. (2020·南充）如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

5. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为(　　)

A.     B．2     C.     D．1

6. 如图，在△AOC中，OA＝3 cm，OC＝1 cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(　　)

A. cm2        B．2π cm2  

C. cm2        D. cm2

7. （2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（    ）

A.  B. 6 C.  D.

8. 2017·衢州 运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是(　　)

图A.π         B．10π 

C．24＋4π        D．24＋5π

二、填空题

9. 将一块含30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点C落在以AB为直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若AB=2，则的长为　　　　(结果保留π). 

10. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧，交AB于点A，C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为　　　　. 

11. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．

12. （2020·福建）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______.（结果保留）

13. （2020·江苏徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于           .

14. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．

15. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为　　　　. 

三、解答题

17. 如图，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.

(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数;

(2)若AB=AC，CE=2，求☉O的半径长.

18. 如图，点A，B，C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D，连接BC，且∠BCA=∠OAC=30°.

(1)求证:BD是☉O的切线;

(2)求图中阴影部分的面积.

19. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.

(1)求证：DF⊥AC；

(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求的长．(结果保留π)

20. （2020•丽水）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．

（1）求弦AB的长．

（2）求的长．

21. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.

(1)判断DH与☉O的位置关系，并说明理由;

(2)求证:点H为CE的中点.

2021中考数学 三轮专题冲刺：与圆相关的计算-答案

一、选择题

1. 【答案】B　【解析】连接OB、OC.

⇒劣弧BC⌒的长＝＝π.

2. 【答案】A，

【解析】本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积 ．

解：∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，

∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°．

∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形．

∴∠CDO＝60°．

∴CD∥AB．

∴S△COD＝S△CAD．

∵弧CD的长为π

∴π＝．∴r＝1．

∴S阴影＝扇形COD＝＝．

故选A．

3. 【答案】C　[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝AD·AB＝8，S扇形BAE＝＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.

故选C.

4. 【答案】D

【解析】∵AB是直接，∠AOD：∠ DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴. ∴.故选D.

5. 【答案】A　[解析] 如图所示，连接OA，OE.

∵AB是小圆的切线，

∴OE⊥AB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AE＝OE.

在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2，

∴OE＝.故选A.

6. 【答案】B　[解析] 如图，AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S阴影＝S△OCA＋S扇形OAB－S扇形OCD－S△ODB.由旋转知△OCA≌△ODB，∴S△OCA＝S△ODB，∴S阴影＝S扇形OAB－S扇形OCD＝－＝2π(cm2)．故选B.

7. 【答案】D

【解析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.

由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.

由旋转的性质，得A1C=AC=4.

在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.

∴∠ACA1=60°.

∴扇形ACA1的面积为=.

即线段CA扫过的图形的面积为.

故选：D

8. 【答案】A　[解析] 如图作直径CG，连接OD，OE，OF，DG.

∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝＝8.

又∵EF＝8，∴DG＝EF，

∴＝，

∴S扇形ODG＝S扇形OEF.

∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，

∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π.

二、填空题

9. 【答案】

10. 【答案】π　[解析]连接OC，过点C作CN⊥AO于点N，CM⊥OB于点M，∵∠AOB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵OA=3，∴CN=，CM=ON=，

∴S扇形AOC=π，S△AOC=，

在Rt△AOB中，OB=OA=3，S△OCB=，

∠COD=30°，S扇形COD=π，

∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC+S△OCB-S扇形COD=π.

11. 【答案】　[解析] 设这个圆锥底面圆的半径是r.

∵∠BOC＝2∠AOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，

∴∠AOC＝60°.

又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，

∴OA＝OC＝AC＝3，∴l＝＝2πr，

解得r＝，

∴这个圆锥底面圆的半径是.

12. 【答案】

【解析】本题考查了扇形面积的计算，S==．

13. 【答案】

【解析】根据圆锥的侧面公式来进行计算，由于底面圆的周长=，母线长=，∴圆锥的侧面积=.

14. 【答案】3或4 　[解析] 如图①，当⊙P与CD边相切时，设PC＝PM＝x.

在Rt△PBM中，

∵PM2＝BM2＋BP2，

∴x2＝42＋(8－x)2，

∴x＝5，∴PC＝5，

∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.

如图②，当⊙P与AD边相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，

∴PM＝PK＝CD＝2BM，

∴BM＝4，PM＝8，

在Rt△PBM中，BP＝＝4 .

综上所述，BP的长为3或4 .

15. 【答案】π　[解析] 如图，连接OC，过点C作CN⊥AO于点N，CM⊥OB于点M.∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.

∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC＝60°，AC＝OA.

∵OA＝3，∴AC＝OA＝3.

∵CN⊥OA，∴AN＝ON＝OA＝，

∴CN＝ ，∴S△AOC＝OA·CN＝ .

∵∠AOB＝90°，CN⊥OA，CM⊥OB，

∴四边形CNOM为矩形，

∴CM＝ON＝.

在Rt△AOB中，∠B＝30°，OA＝3，

∴AB＝2OA＝6，

∴OB＝3 ，

∴S△OCB＝OB·CM＝ .

∵∠AOC＝60°，OA＝3，

∴S扇形OAC＝＝π.

∵∠COD＝90°－60°＝30°，

∴S扇形OCD＝＝π，

∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＋S△OCB－S扇形OCD＝π.

16. 【答案】　[解析]先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△AED≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD==.

三、解答题

17. 【答案】

解:(1)如图，连接OA，

∵AC为☉O的切线，OA是☉O的半径，

∴OA⊥AC.

∴∠OAC=90°.

∵∠ADE=25°，

∴∠AOE=2∠ADE=50°.

∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.

(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C.

∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，

∴3∠C=90°，∠C=30°.

∴OA=OC.

设☉O的半径为r，

∵CE=2，∴r=(r+2).∴r=2.

∴☉O的半径为2.

18. 【答案】

解:(1)证明:连接OB交AC于E，

∵∠BCA=30°，

∴∠AOB=60°.

在△AOE中，又∵∠OAC=30°，

∴∠OEA=90°，∴OB⊥AC.

∵BD∥AC，

∴OB⊥BD.

∵OB为☉O的半径，∴BD为☉O的切线.

(2)由半径为8，得OA=OB=8.

∵OB⊥BD，

∴∠OBD=90°.

∵∠AOB=60°，

∴BD=BO·tan∠BOD=8.

∴△OBD的面积为×8×8=32，

扇形OAB的面积为=，

∴阴影部分的面积为32.

19. 【答案】

  (1)证明：如解图，连接OD，(1分)

∵DF是⊙O的切线，D为切点，

解图

∴OD⊥DF，

∴∠ODF＝90°，(2分)

∵BD＝CD，OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位线，(3分)

∴OD∥AC，

∴∠CFD＝∠ODF＝90°，

∴DF⊥AC.(4分)

(2)解：∵∠CDF＝30°，

由(1)得∠ODF＝90°，

∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，

∵OB＝OD，

∴△OBD是等边三角形，(7分)

∴∠BOD＝60°，

∴l＝＝＝π.(8分)

20. 【答案】

解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，

∴AC＝OA•sin60°＝2，∴AB＝2AC＝2；

（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是：．

21. 【答案】

[解析](1)连接OD，AD，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，根据DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.

(2)连接DE，由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.

解:(1)DH与☉O相切.理由如下:

连接OD，AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，∴BD=CD，

而AO=BO，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，

∴DH为☉O的切线.

(2)证明:连接DE，如图，

∵四边形ABDE为☉O的内接四边形，

∴∠DEC=∠B，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH=EH，即H为CE的中点.