【中考冲刺】初三数学培优专题 22 与圆相关的比例线段（含答案）（难）

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与圆相关的比例线段 阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.若DE=CE，AC=8，点D为EF的中点，则AB=       .                 （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.                                                           例1题图                      例2题图 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（     ）A．1             B．            C．            D．（武汉市中考试题） 解题思路：由切割线定理知BE2=BD·BC，欲求BD，应先求BE. 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.   【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E.已知AE∶ EB=4∶ 1，CD=2，求BC的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.                                                         【例4】如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，==.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.                                                                 【例5】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙O于F，AF交CE于P.求证：PE=PC.（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC为⊙O切线，则PC2=PF·PA，只需证明PE2= PF·PA. 证△PEF∽△PAE，作出常用辅助线，突破相关角.                                                                     【例6】如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线. 过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C.求证：=（+）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.                                                                  能力训练A级1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为         .（青岛市中考试题）2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=2，则CD=        .（四川省竞赛试题）         （第1题图）        （第2题图）           （第3题图）             （第4题图）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP=         .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长为         .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（     ）     A．2            B．             C．2            D．2（辽宁省中考试题）（第5题图）         （第6题图）            （第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（      ）    A．16π            B．36π            C．52π             D．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（      ）    A．3              B．3           C．6               D．68．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2，则弦心距OF为（     ）    A．1             B．             C．             D．（包头市中考试题）（第8题图）             （第9题图）            （第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=6，AE=6，求DE的长.（南京市中考试题）    10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.（天津市中考试题）     11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.（全国初中数学联赛试题）（第11题图）               （第12题图）   12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A. 连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交边AC于点F.（1）求证：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.（太原市竞赛试题）       B级1．如图，两个同心圆，点A在大圆上，AXY为小圆的割线，若AX·AY=8，则圆环的面积为（     ）A．4π              B．8π             C．12π            D．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β. 连结AB、AC，则的值等于（    ）A．               B．                C．2             D．4（黑龙江省中考试题）（第1题图）         （第2题图）                （第3题图）3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为（     ）A．           B．            C．           D．（南京市中考试题）4．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（      ）A．OM的长        B．2OM的长          C．CD的长          D．2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）              （第5题图）             （第6题图）  5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=，PC=10cm，求△BCD的面积.（北京市海淀区中考试题）      6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是的中点.（济南市中考试题）      7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）（第7题图）                       （第8题图）8．如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O切于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：=.（四川省竞赛试题）          9．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=.D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．（1）求证：点Q为△COP的外心；（2）求正方形OABC的边长；（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．（河北省中考试题）（第9题图）           （第10题图）             （第11题图）       10．如图，已知BC是半圆O的直径，D是的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.（1）求证：AC·BC=2BD·CD；（2）若AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长.（天津市竞赛试题）       11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）         与圆相关的比例线段例1 设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24. 例2  C 例3  1  提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，. 例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△PAE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.      例6 解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线定理和相交弦定理，有，∴，即.解法二：如图2，联结PO交ST于D，则PO⊥ST.联结SO，作OE⊥PB于E，则E为AB的中点，于是.∵C，E，O，D四点共圆，∴.∵Rt△SPD∽Rt△OPS，∴，∴，即.A级 1.  2. 提示：△BDE≌△CFE，DE=EF，OF=FE=ED，设OF=x，则OA=OD=3x，AE=5x，由，得，∴. 3. 4cm 4.4  5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)，△AED∽△ABE，=.设DE=，BE=2x，而，解得x=.∴DE=. 10.（1）略 （2）.可得PB=BD=PD，∴PB=PD=DC，∴又∵BDCD=ADDE，∴.  11.作DE⊥AC于E，则AC=AE，AG=DE.由切割线定理得，故,即.∵AB=5DE，∴,于是.又∠BAF=∠AED=90°，∴△BAF∽△AED，于是又∠ABF=∠EAD.∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD⊥BE.12.   ⑴如图，连接AD，AE. ∵∠DAC=∠DAE，∴△ADC∽△EAC.    ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA，∴tan∠CDF=tan∠DEA=.由⑴知，故tan∠CDF= .由圆的切割线定理知，而EC=ED+DC，则.又AC=nAB，ED=AB，代入上式得，即，故.显然，上式只能取加号，于是. B级 B   2.  B    3.  C    4.  A   5.   提示：.设AD=x，则CD=2x，DB=4x，AB=5x，由△PAC∽△PCB得，，∴PA=5，又，即，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴.6.  ⑴略.  ⑵连接FB，证明PF=PE，∠BFA=∠AFC.7.   ⑴能.连接BC，作∠ACE=∠B ，CE交AB于E.  ⑵ PB与⊙O相切. ⑶C是PE的中点.8.  连接OA、OB、OC，则，于是，B、C、O、D四点共圆，有△PCD∽△POB，则 ①，又由POC∽△PBD得 ②，由①②得.9.   ⑴略    ⑵ A（4,3），OA=5.   ⑶P（3，）.10.  ⑴延长BA，CD交于点G，由Rt△CAG∽Rt△BDC，得，即，又，故.    ⑵由Rt△CDE∽Rt△CAG，得，即，解得CE=5，从而AG= ，，即，解得AB=6，.11.  延长AD交⊙O于E，连接PE、BE、CE，∵PA为⊙O的切线，PO⊥AE，∴PE=PA，，易证△PAB∽△PCA，△PEB∽△PCE，∴，则，即，由托勒密定理得. ∴，即，有∵∠BAE=∠BCE，∠CAD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，△CAD∽△CBE，则△ABD∽△CAD，∴，故.