陕西省宝鸡市2021届高三下学期第九次模拟考试文科数学试题

2021年高三第九次模考数学试题（文科）2021.4.10

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

全卷满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，，则（   ）

A． B． C． D．

2．若是第二象限角，则（   ）

A． B． C． D．

3．在等差数列中，，，其前项和为，则（   ）

A． B． C． D．

4．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（   ）

A． B． C． D．

5．下图是一个算法的流程图，则输出的值是（   ）

A． B． C． D．

6．数学来源于生活，约年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数的一种方法例如：可表示为“”，可表示为“”，现有根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这个数字表示的所有两位数中，能被整除的概率是（   ）

A． B． C． D．

7．古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式．根据…，判断下列近似公式中最精确的一个是（   ）A

A． B． C． D．

8．已知，，，，则（   ）

A． B． C． D．

9．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则（   ）

A． B． C． D．

10．已知向量、是单位向量夹角为，向量，（   ）

A． B． C． D．

11．若，，且，则下列不等式一定成立的是（   ）

A． B． C． D．

12．定义：对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量使得成立的函数称为“正积函数”．给出①；②；③；④四个函数中，是“正积函数”的是（   ）

A．③ B．④ C．②③ D．①②④

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知复数（其中为虚数单位），则          ．

14．甲、乙、丙、丁四个人去医院做传染病检测，都拿到结果后，发现有一人是阳性，有人问他们是谁，甲说：乙和丁是阳性；乙说：丙是阳性；丙说：甲和乙是阴性；丁说：乙是阳性，如果这四个人中只有两人说的是对的，那么检测结果是阳性的是          ．

15．若、是两个不同的平面，、是平面、之外的两条不同的直线，给出四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题：          ．

16．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是          ．

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，，求的周长．

18．为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对线上授课方式的满意度，从城市和城市分别随机调查了个学校，得到了这些学校学生平均满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：

根据学校满意度评分，从低到高，分为三个等级．

（1）请估计哪个城市学校满意度等级为不满意的概率大，并说明理由；

（2）从满意度为“非常满意”的所学校中随机抽取所学校进行先进经验交流，求城市中至少有所学校被抽中的概率．

19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，是中点，是上的点，，为中边上的高．

（1）证明：平面；

（2）若，，，求三棱锥的体积；

（3）证明：平面平面．

20．已知点是平面直角坐标系异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于，两点，且．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）在轴正半轴上取两点，，且，过点作直线与轨迹交于，两点，证明：．

21．已知函数，，其中为常数．

（1）若在上是增函数，求的取值范围；

（2）证明：当时，．

考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线有不同的两个交点分别为，，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）求函数的最小值；

（2）若，，且，证明：．

2021年高三第九次模考数学试题

文科数学参考答案

一、选择题

1-5：CBDBA    6-10：CDACA    11-12：AA

第Ⅱ卷

二、填空题

13．    14．丙    15．或    16．

三、解答题

17．解：（1）由已知及正弦定理得

，

在中，，，，，，

，，．

（2）

．

，，，

，，，，，

是等边三角形，的周长为．

18．解：（1）城市学校满意度等级为不满意的概率为，

城市学校满意度等级为不满意的概率为，城市学校满意度等级为不满意的概率大．

（2）城市满意度等级为“非常满意”的学校有所，记为、，城市满意等级为“非常满意”的学校有所，记为，，，，则抽出所学校的所有可能为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，

其中符合要求的有种，记“城市至少有所学校被抽中的事件”为，则．

19．解：（1）平面，面，

又，面；

（2）是的中点点到面的距离，

三棱锥的体积；

（3）取的中点为，连接，，，

又平面面面，又面面，

，面面，

由点，是棱，的中点，则，，

所以平面，所以平面平面．

20．解：（1）设点坐标为，则根据题意，得，，

由得：，

化简得：，所以轨迹的方程为：．

（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，成立．

当直线的斜率存在，由题意，设直线的方程为：，，，

由得：，

有得：，且，，

则，

又，

因为，所以，则．

综上所述，．

21．解：（1）在上是增函数，在上恒成立，

又时，，故，．

（2）要证，只需证恒成立

令，，则，

令，，则，

令，，则，

在上单调递减，，

即，在上单调递减，

，即，在上单调递减，

即，．

二选一试题

22．解：（1）由，得曲线的直角坐标方程为，

由（为参数），

消去得直线的直角坐标方程为．

（2）由题意知，过点，直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的直角坐标方程得，

又，所以方程有两个不同的解，，

又，，所以，，由，的几何意义可知：

．

23．解：（1）由已知得：，

当且仅当时，取最小值，所以．

（2）由（1）知，，则，

所以

，

当且仅当时，不等式取等号，所以．