陕西省宝鸡市2021届高三下学期第九次模拟考试理科数学试题

2021年高三第九次模考数学试题（理科）2021.4.10

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

全卷满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，，则（   ）

A． B． C． D．

2．若是第二象限角，则（   ）

A． B． C． D．

3．在等差数列中，，，其前项和为，则（   ）

A． B． C． D．

4．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（   ）

A． B． C． D．

5．下图是一个算法的流程图，则输出的值是（   ）

A． B． C． D．

6．数学来源于生活，约年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数的一种方法例如：可表示为“”，可表示为“”，现有根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这个数字表示的所有两位数中，能被整除的概率是（   ）

A． B． C． D．

7．古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式．根据…，判断下列近似公式中最精确的一个是（   ）A

A． B． C． D．

8．已知，，，，则（   ）

A． B． C． D．

9．已知向量、是单位向量夹角为，向量，（   ）

A． B． C． D．

10．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则（   ）

A． B． C． D．

11．若，，且，则下列不等式一定成立的是（   ）

A． B． C． D．

12．若对于任意的，都有，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．定义运算：，若复数满足，其中为虚数单位，则          ．

14．社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的高度凝练和集中表达，其基本内容概括为“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”．其中“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标，“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向，“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．现从这个词语中任选个，则恰有个词语反映的是国家层面的价值目标的选法数有          种．

15．若、是两个不同的平面，、是平面、之外的两条不同的直线，给出四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题：          ．

16．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是          ．

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，，求的周长．

18．2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，月底学生不能如期到学校上课，某学校决定采用自治区教育网络平台和老师钉钉教学相合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了、两个班级，并得到如下数据：

（1）补全上面的列联表，并且根据调查的数据判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；

（2）网络授课结束后，高一年级名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布，若分以下都算不及格，人数向上取整，问高一年级不及格的学生有多少人，并且估计全年级前两名学生的数学成绩是在多少分以上．

附：参考公式：．临界值表：

若，则，，．

19．如图所示的几何体中，四边形为菱形，，平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若，是内的一点，求点到平面，平面，平面的距离的平方和的最小值．

20．已知点是平面直角坐标系异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于，两点，且．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）在轴正半轴上取两点，，且，过点作直线与轨迹交于，两点，证明：．

21．已知函数在处取得极值．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围请．

考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线有不同的两个交点分别为，，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）求函数的最小值；

（2）若，，且，证明：．

2021年高三第九次模考数学试题

理科数学参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题

1-5：CBDBA    6-10：CDAAC    11-12：AB

第Ⅱ卷

二、填空题

13．    14．    15．或    16．

三、解答题

17．解：（1）由已知及正弦定理得

，

在中，，

，，

，，，，．

（2）

．

，，，

，，，，，

是等边三角形，的周长为．

18．解：（1）

的观测值，

能在犯错误的概率不超过的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系．

（2），（人），

，前名分数在分以上．

19．（1）证明：四边形是菱形，，

又平面，平面，平面，

，平面，平面，平面，

又，平面，平面，

平面平面，平面，平面．

（2）解：当，即时，

过作，交延长线于，连结，，

而平面，又，平面，

，又，，

平面，为与平面所成的角，

，直线与平面所成角的正弦值为．

（3）解：若，即，则，所以四边形为正方形；

由点是内的一点，可设点到平面，平面，平面的距离分别为，，，

故只需算，相当于点到点的距离．

要使得最小，当且仅当面．连接交于点，连接，过点作垂直与点，即为所求．

又，则，得．

综上所述，点到平面，平面，平面的距离的平方和的最小值为．

20．解：（1）设点坐标为，则根据题意，得，，

由得：，

化简得：，所以轨迹的方程为：．

（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，成立．

当直线的斜率存在，由题意，设直线的方程为：，，，

由得：，

有得：，且，，

则，

又，

因为，所以，则．

综上所述，．

21．解：（1）由题意知：，

则，所以，，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减．

故的单调增区间为，单调减区间为．

（2）由，因为，所以分离变量得：

，令，

则只需求的最小值即可．，

令，，

在上单调递增，又，，

使得，即：，

移项并两边取对数得：，

因为函数在上单调递增，，即，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，．

二选一试题

22．解：（1）由，得曲线的直角坐标方程为，

由（为参数），

消去得直线的直角坐标方程为．

（2）由题意知，过点，直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的直角坐标方程得，

又，所以方程有两个不同的解，，

又，，

所以，，由，的几何意义可知：

．

23．解：（1）由已知得：，

当且仅当时，取最小值，

所以．

（2）由（1）知，，则，

所以

，

当且仅当时，不等式取等号，所以．