2018年江苏省无锡市梁溪区中考一模数学试卷

这是一份2018年江苏省无锡市梁溪区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的绝对值是
A. −3B. 3C. −13D. 13

2. 今年无锡马拉松参赛选手 91879 人，这个数据精确到千位并用科学记数法表示为
A. 91×103B. 92×103C. 9.1×104D. 9.2×104

3. 分解因式 x3+4x 的结果是
A. xx2+4B. xx+2x−2
C. xx+22D. xx−22

4. 若反比例函数 y=k+3x 的图象经过点 2,3，则 k 的值是
A. 6B. −6C. 3D. −3

5. 若事件 A 为不可能事件，则关于概率 PA 的值正确的是
A. PA=0B. PA=1C. 01

6. 下列几何图形中，一定是轴对称图形的是
A. 三角形B. 四边形C. 平行四边形D. 圆

7. 有 6 个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是
A. B.
C. D.

8. 如图，△ABC 中，DE∥BC，AD:DB=2:3，则 △ADE 与 △ABC 的周长之比为
A. 2:3B. 4:9C. 2:5D. 4:25

9. 在平面直角坐标系中，A3,0，Ba,2，C0,m，Dn,0，且 m2+n2=4，若 E 为 CD 中点．则 AB+BE 的最小值为
A. 3B. 4C. 5D. 25

10. 已知 m，nmA. a
二、填空题（共8小题；共40分）
11. a23= ．

12. 函数 y=x−3 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 二次函数 y=2x−12+5 的图象的顶点坐标为 ．

14. 八边形内角和度数为 ．

15. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 120∘ 的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是 ．

16. 如图，E 为平行四边形 ABCD 的 DC 边延长线上一点，连 AE，交 BC 于点 F，则图中与 △ABF 相似的三角形共有 个．

17. 如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G 为 DE 上一动点，把三角尺 DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B，G 两点的最小距离为 ．

18. 有 10 个数据 x1，x2，⋯，x10，已知它们的和为 2018，当代数式 x−x12+x−x22+⋯+x−x102 取得最小值时，x 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）22+∣−3∣−π+20；
（2）x+22−4x−1．

20. 回答下列问题：
（1）解方程：4x=3x−2．
（2）解不等式：2x+1≤13x−1．

21. 如图，在正方形 ABCD 中，CE=CF，求证：△AEF 是等腰三角形．

22. 小明手中有一根长为 5 cm 的细木棒，桌上有四个完全一样的密封的信封．里面各装有一根细木棒，长度分别为：2，3，4，5（单位：cm）．小明从中任意抽取两个信封，然后把这 3 根细木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

23. 某初中在“读书共享月”活动中．学生都从家中带了图书到学校给大家共享阅读．经过抽样调查得知，初一人均带了 2 册；初二人均带了 3.5 册：初三人均带了 2.5 册．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，其中初三共有 210 名学生．请根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为 ∘；
（2）该初中三个年级共有 名学生；
（3）估计全校学生人均约带了多少册书到学校?

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，∠CAB 的角平分线 AD 交 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠CAB=60∘，DE=33，求 AC 的长．

25. 如图，已知矩形 ABCD，AB=m，BC=6，点 P 为线段 AD 上任一点．
（1）若 ∠BPC=60∘，请在图中用尺规作图画出符合要求的点 P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若符合（1）中要求的点 P 必定存在，求 m 的取值范围．

26. 某网商经销一种畅销玩具，每件进价为 18 元，每月销量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图中线段 AB 所示．
（1）当销售单价为多少元时，该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润?最大销售利润是多少?（销售利润 = 售价 − 进价）
（2）如果该网商要获得每月不低于 3500 元的销售利润．那么至少要准备多少资金进货这种玩具?

27. 已知二次函数 y=ax2−9ax+18a 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧）图象的顶点为 C，直线 AC 交 y 轴于点 D．
（1）连接 BD，若 ∠BDO=∠CAB，求这个二次函数的表达式；
（2）是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 CDEF?若存在，求出这个二次函数的表达式，若不存在，请说明理由．

28. 已知一次函数 y=−3x+3 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点．直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴．两动点 D，E 分别从 AB 两点间时出发向 O 点运动（运动到 O 点停止）．运动速度分别是每秒 1 个单位长度和 3 个单位长度．点 G，E 关于直线 l 对称，GE 交 AB 于点 F．设 D，E 的运动时间为 ts．
（1）当 t 为何值时，四边形是菱形?判断此时 △AFG 与 △AGB 是否相似，并说明理由；
（2）当 △ADF 是直角三角形时，求 △BEF 与 △BFG 的面积之比．
答案
第一部分
1. B【解析】∣−3∣=3，故 −3 的绝对值是 3．
2. D【解析】91879≈9.2×104，
故选：D．
3. A【解析】x3+4x=xx2+4．
4. C【解析】∵ 反比例函数 y=k+3x 的图象经过点 2,3，
∴3=k+32，解得 k=3．
5. A
【解析】事件 A 为不可能事件，则概率 PA=0．
6. D【解析】A、三角形，不一定是轴对称图形，不符合题意；
B、四边形，不一定是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，不符合题意；
D、圆是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
7. B【解析】俯视图从左到右分别是 2，1，1 个正方形．
8. C【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴C△ADEC△ABC=ADAB=ADAD+DB=25．
故选：C．
9. B【解析】由题意 CD=m2+n2=2，
∵E 为 CD 中点，
∴OE=12CD=1，
∴ 点 E 在 O 为圆心，1 为半径的圆上．
作点 A 关于直线 y=2 的对称点 Aʹ，连接 OAʹ 交直线 y=2 于 B，交 ⊙O 于 E．
此时 BA+BE=BAʹ+BE 的值最小．
在 Rt△OAAʹ 中，OAʹ=32+42=5，
∴EAʹ=5−1=4，
∴BA+BE 的最小值为 4．
10. D
【解析】∵x−ax−b=2，
∴m，n 可看作抛物线 y=x−ax−b 与直线 y=2 的两交点的横坐标，
∵ 抛物线 y=x−ax−b 与 x 轴的两交点坐标为 a,0，b,0，
如图，
∴m第二部分
11. a6
【解析】原式=a6．
12. x≥3
【解析】根据题意得：x−3≥0，解得：x≥3．
13. 1,5
【解析】∵ 抛物线解析式为 y=2x−12+5，
∴ 二次函数图象的顶点坐标是 1,5．
14. 1080∘
【解析】8−2⋅180∘=6×180∘=1080∘．
15. 2π
【解析】∵ 扇形的弧长等于底面圆的周长，
即 l=120∘360∘×2×π×3=2π．
16. 2
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△CEF，△CEF∽△AED，
∴△ABF∽△AED，
∴ 图中与 △ABF 相似的三角形是：△CEF，△AED．
17. 0
【解析】当点 G，D 重合，且 DF 与 BC 在同一直线上、位于重合点的同一侧时，FG 最短，
∵Rt△DEF 中，EF=2，∠D=30∘，
∴DE=2EF=4，DF=DEcs30∘=23，
则 FG=EF⋅DFDE=2×234=3，
∴3≤FG≤23，
∵BF=BC=3，
∴ 当点 G 与点 B 重合时，BG 的长度最小，为 0．
18. 201.8
【解析】解法一：
设
y=x−x12+x−x22+x−x32+⋯+x−x102=x2−2xx1+x12+x2−2xx2+x22+x2−2xx3+x32+⋯+x2−2xx10+x102=10x2−2x1+x2+x3+⋯+x10x+x12+x22+x32+⋯+x102=10x2−2×2018x+x12+x22+x32+⋯+x202.
∴ 当 x=403620=201.8 时，代数式 x−x12+x−x22+⋯+x−x102 取得最小值．
解法二：
∵x−x12≥0，x−x22≥0，x−x32≥0，⋯x−x102≥0，
∴x−x12+x−x22+x−x32+⋯+x−x102 取最小值时，x−x12=0，x−x22=0，x−x32=0，⋯x−x102=0，
∴x=x1，x=x2，x=x3，⋯，x=x10，即：x=x1=x2=x3=⋯=x10，
∵10 个数据 x1，x2，⋯x10，已知它们的和为 2018，
∴x=201810=201.8．
第三部分
19. （1） 22+∣−3∣−π+20=2+3−1=4.
（2） x+22−4x−1=x2+4x+4−4x+4=x2+8.
20. （1） 去分母得：
4x−8=3x.
解得：
x=8.
经检验 x=8 是分式方程的解．
（2） 去分母得：
6x+3≤x−1.
移项合并得：
5x≤−4.
解得：
x≤−45.
21. ∵ 正方形 ABCD 中，
∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
在 △ABE 与 △ADF 中
AB=AD,∠B=∠D,BE=DF,
∴△ABE≌△ADFSAS，
∴AE=AF，
∴△AEF 是等腰三角形．
22. 画树状图如下：
由树状图可知，共有 12 种等可能结果，其中能围成三角形的结果共有 10 种，
所以能搭成三角形的概率为 1012=56．
23. （1） 126
【解析】由题意可得：初三年级学生数所对应的圆心角为：360∘×1−35%−30%=126∘．
（2） 600
【解析】该初中三个年级共有：210÷35%=600（人）．
（3） 由题意可得：2×30%+3.5×35%+2.5×35%=2.7（册）．
24. （1） 连接 OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BD，则 ∠ADB=90∘，
∵∠CAB=60∘，AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=30∘，
∵DE=33，
∴AD=63，
∴AB=12，
连接 OC，则 OC=OA=6，
∵∠CAB=60∘，
∴AC=OA=OC=6．
25. （1） 作等边三角形 △ABE，△CDF，BE 交 CF 于 O，
以 O 为圆心 OB 为半径画圆交 AD 于 P1，P2，
点 P1，P2 即为所求．
（2） 当 P1 与 A 重合时，点 O 是矩形 ABCD 的中心，此时 AB=BC⋅tan30∘=23，
当点 P1 与 P2 重合时，AB=32BC=33，
∴ 满足条件的 m 的值为 23≤m≤33．
26. （1） 设 AB 段对应的函数解析式为 y=kx+b，
20k+b=600,50k+b=0, 得 k=−20,b=1000.
即 AB 段对应的函数解析式为 y=−20x+1000，
设销售利润为 w 元，
w=x−18−20x+1000=−20x2+1360x−18000=−20x−342+5120，
∵20≤x≤50，
∴ 当 x=34 时，w 取得最大值，此时 w=5120，
答：当销售单价为 34 元时，该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润，最大销售利润是 5120 元．
（2） ∵ 该网商要获得每月不低于 3500 元的销售利润，
∴−20x−342+5120≥3500，
解得 25≤x≤43，
设今后资金为 m 元，则 m=18−20x+1000=−360x+18000，
∴ 当 x=43 时，m 取得最小值，此时 m=2520，
答：该网商要获得每月不低于 3500 元的销售利润．那么至少要准备 2520 元进货这种玩具．
27. （1） ∵y=ax2−9ax+18a=ax−922−94a，
∴ 顶点 C92,−94a．
作 CM⊥x 轴于 M，则 OM=92，CM=−94a．
当 y=0 时，ax2−9ax+18a=0，解得 x1=3，x2=6，
∴A3,0，B6,0．
∵∠BDO=∠CAB，∠CAB=∠DAO，
∴∠DAO=∠BDO．
在 △ODA 与 △OBD 中，
∠DAO=∠BDO,∠AOD=∠DOB=90∘,
∴△ODA∽△OBD，
∴ODOB=OAOD，即 OD6=3OD，
∴OD=32，
∵CM∥OD，
∴ODCM=OAAM，即 32CM=392−3，
∴CM=322，
∴−94a=322，
∴a=±223，
∴ 二次函数的解析式为 y=223x2−62x+122 或 y=−223x2+62x−122．
（2） 存在．连接 OC，则 OC=OD．
∴∠ODC=∠OCD．
∵CM∥OD，
∴∠ODC=∠DCM，
∴∠OCD=∠DCM，
作 AN⊥OC 于 N，AN=AM=32，
∵sin∠AON=ANOA=323=12，
∴∠AON=30∘，
∴CM=OM⋅tan30∘=92×33=332，
∴−94a=332，
∴a=±233，
∴ 二次函数的解析式为 y=233x2−63x+123 或 y=−233x2+63x−123．
28. （1） ①由题意可得：A1,0，B0,3，∠OBA=30∘，
∵BE=3t，
∴EF=t，BF=2t，AF=2−2t，
∵AD=t，
∴EF=AD，且 EF∥AD，
∴ 四边形 ADEF 为平行四边形．
当 AD=AF 时，平行四边形 ADEF 是菱形，即：t=2−2t，解得 t=23．
②此时 △AFG 与 △AGB 相似．理由如下：
如答图 1 所示，连接 AE，则 AE=AG，
∴∠AGE=∠AEG=30∘．
在 Rt△BEG 中，BE=233，EG=2，
∴tan∠EBG=EGBE=3，
∴∠EBG=60∘，
∴∠ABG=∠EBG−∠EBF=30∘．
在 △AFG 与 △AGB 中，
∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30∘，
∴△AFG∽△AGB．
（2） ∵∠DAF=60∘，
∴ 当 ∠ADF=90∘ 时，AF=2AD，
即：2−2t=2t，解得 t=12，此时 EF=12，FG=32，
∴S△BEFS△BFG=EFFG=13，
∴ 当 ∠AFD=90∘ 时，AD=2AF，
即：t=22−2t，解得 t=45，此时 EF=45，FG=65，
∴S△BEFS△BFG=EFFG=23．