西南名校联盟2021届高三下学期4月高考适应性考试数学（理）试题+答案解析 (PDF)

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．∵，，∴，故选D．
2．由，得，∴复数z的虚部为，故选B．
3．由题有，，，∴ ，故选A．
4．由题有数列是以0为首项、1为公差的等差数列，故 ，故选D．
5．命题“”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则为真命题，这样为真命题，故必有p为真命题，q为假命题，故选B．
6．画出，所表示的平面区域，如图1所示，
图1
得时，，故选A．
图2
7．如图2，设正方体的棱长为2，在平面ABCD内过点D作于点H，连接，易证即是二面角的平面角，可求，∴，∴，故选C．
8．二项式的展开式的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，不同的结果有2，7，12，16，21，26，30，35，故选C．
9．由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，故选A．
图3
10．设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x，y，∴10：：40，10：：40，如图3，试验的全部结果构成的区域为正方形，正方形面积为，学生能够取到物品的条件是且，设事件“学生能够取到物品”，
∴，故选C．
11．每个星期王师傅上班天数依次为4，5，5，4，5，5，…，每个星期张师傅上班天数依次为5，6，5，6，6，5，6，5，6，6，…，因此依次为1，1，0，2，1，0，2，0，1，2，0，1，1，1，1，所以，故选D．
12．∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数a的最大值为3，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．函数的最小正周期是.
14．由题有，即，故，得或， 而，∴.
15．该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为 ，设制成的大铁球半径为R，则，得，故大铁球的表面积为.
16．∵，解得，∴，对于数1，集合有子集个，∴以1作为最小元素被计算的次数为，总和为，同理以2作为最小元素被计算的次数为，总和为，以3作为最小元素被计算的次数为，总和为，依此类推，故所求结果 ，则，∴ ，得．
（注：第一个空给2分，第二个空给3分）
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）
．………………………………………（3分）
由，得，
可知函数的值域为．…………………………………………（6分）
（2）由，得，
∴，故．………………………………………………（7分）
∵，，的面积为，
∴，
故．……………………………………………………………（9分）
又，即，即，
故，
∴的周长为．………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间为：
(分)．…………………………………………（6分）
（2）由频数分布表得，“锻炼助考生”的人数是人，
根据等高条形图作出2×2列联表如下：
计算，
∴没有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关．………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：∵点E是PD的中点，为等腰三角形，∴.
∵平面平面ABCD，交线为CD，，
∴平面PCD．
又平面PCD，∴，
而，
∴平面PAD．………………………………………………………（6分）
（2）解：如图4，在平面PCD内过点C作交PD于点H，
∵平面平面ABCD，交线为CD，
∴平面ABCD，
∴以C为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
图4
设正方形ABCD的边长为4a，则，
∴，，．
∵平面PAD，
∴为平面PAD的一个法向量，
得，，．
设平面PAB的一个法向量为，
∴
得
令，得，，
∴平面PAB的一个法向量为，
∴．
∴平面PAD与平面PAB所成二面角的平面角的正弦值为．
………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵，∴，．
令，得，
∴当时，，单增；
当时，，单减，
∴的最大值是.
要使函数有且仅有两个零点，必须，得，
这时，有，
令，得，
∴当时，函数有且仅有两个零点，
故实数a的取值范围为．……………………………………（6分）
（2）∵，，
，
设，则，
∴函数在上单增，即在上单增，即，
即．
由，故存在，
使在上单减，在上单增，
而．………………………………………………………（10分）
，
∴当时，恒成立，故实数k的取值范围为．
………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）抛物线的准线l为，过点P作准线l的垂线，垂足为E，
过点M作准线l的垂线，垂足为N，直线MN与抛物线的交点为，
则有．
………………………………………………（3分）
由得
∴此时P点的坐标为．…………………………………………（5分）
（2）设，，，
由于直线PB，PC都不可能与x轴垂直，由题易知，
则直线PB的方程为，即．
又圆心到直线PB的距离为1，即，
故，
上式化简得，………………………………………（8分）
同理，，
∴， ，又，……………………………（10分）
则，
故，
当时，上式取等号，此时，，．
因此，的面积的最小值为8．………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由得曲线C的普通方程为；
当时，直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为，
则其极坐标方程为，
即．…………………………………………（5分）
（2）将代入圆的方程中，得，
化简得．
又点在圆内，
设M，N两点对应的参数分别为，，
则，，
∴．
∴，解得或．
则直线l的倾斜角为或．……………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）由题有，得
得，，………………………………………………………（2分）
∴，
∵，∴，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为2．………………………………………………………（5分）
（2）由，，
∴，即，
∴
，
当且仅当
即时取等号，
故的最小值为．…………………………………………（10分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
D
B
A
C
C
A
C
D
B
题号
13
14
15
16
答案
4
男生
女生
总计
锻炼助考生
6
14
20
非锻炼助考生
18
12
30
总计
24
26
50