西南名校联盟2021届高三下学期4月高考适应性考试数学（文）试题+答案解析 (PDF)

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．∵，，∴，故选D．
2．由，得，∴复数z的虚部为，故选B．
3．由题有，，，∴ ，故选A．
4．命题“”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则为真命题，这样为真命题，故必有p为真命题，q为假命题，故选C．
5．由题有数列是以0为首项、1为公差的等差数列，故 ，故选D．
6．∵，∴，∴，故选B．
7．画出，所表示的平面区域，如图1所示，
图1
得时，，故选A．
图2
8．如图2，设正方体的棱长为，连接AF，AC，则 ，∴所求两部分的体积之比为，故选A．
9．由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，故选D．
图3
10．设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x，y，∴10：：40，10：：40，如图3，试验的全部结果构成的区域为正方形，正方形面积为，学生能够取到物品的条件是且，设事件“学生能够取到物品”，
∴，故选C．
11．每个星期王师傅上班天数依次为4，5，5，4，5，5，4，5．每个星期张师傅上班天数依次为5，6，5，6，6，5，6，5．因此依次为1，1，0，2，1，0，2，0，所以，故选C．
12．∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数a的最大值为3，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．函数的最小正周期是.
14．由题有，即，故，得或， 而，∴.
15．该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为 ，设制成的大铁球半径为R，则，得，故大铁球的表面积为．
16．设漏加的自然数是x，则，∴，解得，．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）
．
………………………………………（3分）
由，得，
可知函数的值域为．
………………………………………………（6分）
（2）由，得，
∴，故．
…………………………………………………（7分）
∵，，的面积为，
∴，
故．……………………………………………………………（9分）
又，即，即，
故，
∴的周长为．
………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间为：
(分)．
………………………………………………（6分）
（2）由频数分布表得，“锻炼助考生”的人数是人，
根据等高条形图作出2×2列联表如下：
计算，
∴没有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关．
…………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：∵点E是PD的中点，为等腰三角形，
∴．
∵平面平面ABCD，交线为CD，，
∴平面PCD．
又平面PCD，∴，
而，
∴平面PAD．…………………………………………………（6分）
（2）解：如图4，在平面PCD内过点P作交DC的延长线于点H，
则平面ABCD，连接HM，
∵平面平面ABCD，交线为CD，
∴平面ABCD，
图4
∴是直线PM与平面ABCD所成角．
设正方形ABCD的边长为2a，则，，
∴，，
∴．
当时，点M满足在线段BD上，
这时HM取到最小值，取到最大值，
这时为等腰直角三角形，而，
∴HM的最小值为，从而的最大值为．
………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）设，则，，， QUOTE
由，知，
化简得：，即动点P的轨迹E的方程为．
…………………………………………………………（6分）
（2）设直线l的方程为，，，
由得，
∴，，，，
∵
，
故的值为．
…………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）∵，，，
令，得，
∴当时，，单增；
当时，，单减，
∴的最大值是．
要使函数有且仅有两个零点，必须，得，
这时，有，
令，得，
∴当时，函数有且仅有两个零点，
故实数a的取值范围为．……………………………………（6分）
（2）∵，，
∴，
设，则，
∴函数在上单增，
即在上单增，
即，即．
由，故存在，
使在上单减，在上单增，
而，………………………………………………………（10分）
，
∴当时，恒成立，故实数k的取值范围为．
………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由得曲线C的普通方程为；
当时，直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为，
则其极坐标方程为，
即．…………………………………………（5分）
（2）将代入圆的方程中，得，
化简得．
又点在圆内，
设M，N两点对应的参数分别为，，
则，，
∴．
∴，解得或．
则直线l的倾斜角为或．……………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）由题有，得
得，，………………………………………………………（2分）
∴．
∵，∴，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为2．………………………………………………………（5分）
（2）由，，
∴，即，
∴
，
当且仅当
即时取等号，
故的最小值为．…………………………………………（10分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
D
B
A
A
D
C
C
B
题号
13
14
15
16
答案
4
男生
女生
总计
锻炼助考生
6
14
20
非锻炼助考生
18
12
30
总计
24
26
50