江苏省连云港市赣榆区2019-2020学年七年级下学期期末考试数学试题

这是一份江苏省连云港市赣榆区2019-2020学年七年级下学期期末考试数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a3）2D．a9÷a2
2．（3分）已知a＜b，则下列各式中不正确的是（ ）
A．5a＜5bB．2﹣b＞2﹣aC．a+4＜b+4D．＜
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．ab﹣a2＝a（b﹣a）
C．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5D．x2+x＝x（x+）
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2．则∠BPC的度数为（ ）
A．70B．108C．110D．125
6．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
7．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，D'C'与
BF交于点G．若∠EFG＝68°，则∠1的度数为（ ）
A．44°B．46°C．60°D．68°
8．（3分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元B．30元C．25元D．19元
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）已知a＝﹣32，，，用“＜”连接a、b、c： ．
10．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强.2019年我国国内生产总值约为991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为 ．
11．（3分）因式分解：a2﹣2a＝ ．
12．（3分）已知是方程2x﹣y+3k＝0的解，那么k的值是 ．
13．（3分）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝ ．
14．（3分）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 ．
15．（3分）数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为 ．
16．（3分）已知关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围是 ．
三.解答题（本大题共10小题，共102分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明）
17．（10分）计算：
（1）（﹣）﹣1+（﹣3）2﹣（π﹣2）0；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣a（2a﹣3b），其中，b＝2．
19．（10分）把下列各式分解因式：
（1）4a2﹣16；
（2）（y﹣1）2﹣10（y﹣1）+25．
20．（10分）解不等式（组）
（1）解不等式＜+1；
（2）．
21．（10分）解下列方程组
（1）；
（2）．
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；
（3）利用格点在图中画出AC边上的高线BE；
（4）求△ABD的面积 ．
23．（10分）已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CEF＝∠CFE．
24．（10分）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
25．（12分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材150张，B型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张20元，B型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
26．（14分）[问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为 ；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论 ．
2019-2020学年江苏省连云港市赣榆区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a3）2D．a9÷a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
D．a9÷a2＝a7，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）已知a＜b，则下列各式中不正确的是（ ）
A．5a＜5bB．2﹣b＞2﹣aC．a+4＜b+4D．＜
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴5a＜5b，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，
即2﹣b＜2﹣a，故本选项符合题意；
C、∵a＜b，
∴a+4＜b+4，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：解不等式x+1≥2，得：x≥1，
∵x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜2，
故选：D．
4．（3分）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．ab﹣a2＝a（b﹣a）
C．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5D．x2+x＝x（x+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2．则∠BPC的度数为（ ）
A．70B．108C．110D．125
【分析】先根据∠1＝∠2得出∠2+∠BCP＝∠ACB，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠BCP＝∠ACB＝70°，
∴∠BPC＝180°﹣∠2﹣∠BCP＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
B、实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若实数a、b，|a|＝|b|，则a＝b，逆命题是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
D、若ac2＞bc2，则a＞b的逆命题是若a＞b，则ac2＞bc2，逆命题是假命题；
故选：A．
7．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，D'C'与
BF交于点G．若∠EFG＝68°，则∠1的度数为（ ）
A．44°B．46°C．60°D．68°
【分析】由平角的性质可得∠EFC＝112°，由折叠的性质可得∠EFC＝∠EFC'＝112°，∠C'＝∠C＝90°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠EFG＝68°，
∴∠EFC＝112°，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，
∴∠EFC＝∠EFC'＝112°，∠C'＝∠C＝90°，
∴∠GFC'＝∠EFC'﹣∠EFG＝44°，
∴∠FGC'＝90°﹣∠FGC'＝46°，
故选：B．
8．（3分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元B．30元C．25元D．19元
【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10﹣8x中即可求出结论．
【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
∴y＝x+7，
∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）已知a＝﹣32，，，用“＜”连接a、b、c： ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣32＝﹣9，＝9，＝1，
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
10．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强.2019年我国国内生产总值约为991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于991000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：991000用科学记数法可表示为9.91×105，
故答案为：9.91×105．
11．（3分）因式分解：a2﹣2a＝ ．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
12．（3分）已知是方程2x﹣y+3k＝0的解，那么k的值是 ．
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
4﹣1+3k＝0，
解得k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（3分）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝ ．
【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴2×（a﹣b）＝6，
∴a﹣b＝3．
故答案为：3．
14．（3分）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 ．
【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意得
，
两式相加得：2a＝152，
解得a＝76．
故答案为：76cm．
15．（3分）数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为 ．
【分析】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：根据题意可得：，
∵三个人中只有一人说对了，
∴这本书的价格x（元）所在的范围为x＞25．
故答案为：x＞25．
16．（3分）已知关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知即可得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣a≤2，得：x≤a+2，
解不等式x+3＞4，得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤a+2，
∵不等式组有且仅有两个整数解，
∴整数解为2，3，
∴3≤a+2＜4，
解得：1≤a＜2，
故答案为：1≤a＜2．
三.解答题（本大题共10小题，共102分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明）
17．（10分）计算：
（1）（﹣）﹣1+（﹣3）2﹣（π﹣2）0；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，有理数的乘方的定义以及任何非零数的零次幂等于1进行计算即可；
（2）分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则化简即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+9﹣1
＝5；
（2）原式＝4x4+x4＝x4
＝4x4．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣a（2a﹣3b），其中，b＝2．
【分析】根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣a（2a﹣3b）
＝a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣2a2+3ab
＝5ab，
当a＝﹣，b＝2时，原式＝5×（﹣）×2＝﹣5．
19．（10分）把下列各式分解因式：
（1）4a2﹣16；
（2）（y﹣1）2﹣10（y﹣1）+25．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝[（y﹣1）﹣5]2
＝（y﹣6）2．
20．（10分）解不等式（组）
（1）解不等式＜+1；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）＜+1，
2x+1＜x﹣1+2
2x﹣x＜﹣1+2﹣1
x＜0；
（2）
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜4．
21．（10分）解下列方程组
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3x+8x﹣4＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）
①×3+②×2得：17x＝17，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；
（3）利用格点在图中画出AC边上的高线BE；
（4）求△ABD的面积 ．
【分析】（1）根据平移的性质即可补全△A′B′C′；
（2）根据网格即可在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，进而可以在图上作出线段BD；
（3）利用格点在图中画出AC边上的高线BE即可；
（4）根据网格即可求△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作三角形；
（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，BE为AC边上的高线；
（4）△ABD的面积为：24﹣4×6﹣2×1﹣（1+6）×2＝4．
故答案为：4．
23．（10分）已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】先根据在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高可得出∠ACD+∠CAB＝90°，∠B+∠CAB＝90°，故∠ACD＝∠B，再根据AE是角平分线可知∠CAE＝∠BAE，进而可得出结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB＝90°，∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAE；
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B，
∴∠CFE＝∠CEF．
24．（10分）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ C ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
25．（12分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材150张，B型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张20元，B型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式箱子多少个；
（3）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a为整数和a≥10，即可解答本题．
【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，依题意有
，
解得．
故可制作竖式无盖箱子30个，可制作横式无盖箱子60个；
（2）由题意可得，
1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，
设竖式箱子x个，则横式箱子（10﹣x）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（10﹣x）≤2400，
解得x≤5，
故x的最大值是5，
答：最多可以制作竖式箱子5个；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有65×3＝195列，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是3的倍数，
设竖式a个，横式b个，
∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b＝195×3，
∴13a+11b＝585，
∵a、b均为整数，a≥10，
∴，，，．
故最多可以制作竖式箱子45个．
26．（14分）[问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为 ；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论 ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2中，
设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则有，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝（28°+20°）＝24°；
（3）①如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有，
∴2∠P＝∠A+∠C，
∴∠P＝（30°+18°）＝24°；
故答案为：24°；
②设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有，
∴2∠P＝∠A+∠C；
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，
则有，
∴4∠P＝3∠C+∠B，
∴∠P＝（3x+y），
故答案为∠P＝（3x+y）．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y，
∴x+y＝90°+（∠C﹣∠A），
∵∠P+x+∠A+y＝180°，
∴∠P＝90°﹣∠C﹣∠A．
故答案为∠P＝90°﹣∠C﹣∠A．