2022版新教材高考数学一轮复习25函数y＝Asinωx＋φ的图像及简单应用训练含解析新人教B版

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二十五　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及简单应用(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．为了得到函数y＝cos的图像，可将函数y＝sin 2x的图像(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度C　解析：y＝cos＝sin＝sin 2，则它的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度得到的．2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)　　　　　　　　A　解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，C.由f ＝0，f ＝0，排除D，故选A.3．(2021·临沂高三期末)已知函数f(x)＝2cos2(ω>0)的图像关于直线x＝对称，则ω的最小值为(　　)A.   B.  C.   D.A　解析：f(x)＝2cos2＝1＋cos.因为f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2ω×－＝kπ(k∈Z)，即ω＝2k＋(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为.故选A.4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z)D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)D　解析：由题图知T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1,1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[8k－3,8k＋1](k∈Z)．5．(多选题)(2020·青岛一模)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x，x∈R，则(　　)A．－2≤f(x)≤2B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点C．f(x)的最小正周期为πD．直线x＝为函数f(x)图像的一条对称轴ACD　解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，所以－2≤f(x)≤2，故A正确．由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，易知f(x)在(0，π)内有2个零点，，故B不正确．函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故C正确．由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，易知直线x＝为函数f(x)图像的一条对称轴．或f ＝2sin＝2，即f(x)在x＝处取得最大值，则直线x＝为函数f(x)图像的一条对称轴，故D正确．故选ACD.6．(2020·广东金太阳9月联考)某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千人)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝Asin ＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为(　　)A．1万 B．9千  C．8千 D．7千B　解析：下午两点整即t＝14，当t＝14时，f(t)＝7，即Asin ＋5＝7，所以A＝4.当9≤t≤16时，t－∈，所以t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9.7．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．y＝10sin＋20，x∈[6,14]解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.又×＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．8．(2020·青岛月考)若函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f(x)在内的值域为________．　解析：f(x)＝cos ωx－sin ωx＝cos(ω＞0)，最小正周期为＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝cos.因为x∈，所以2x＋∈，得cos∈.9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出函数图像的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．解：(1)由图得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)图像的对称中心为(k∈Z)．(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2.令t＝sin，t∈[－1,1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋.因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.B组　新高考培优练10．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)A.   B.  C.   D.C　解析：由图得函数图像过点，代入得cos ＝0.又是函数f(x)图像与x轴负半轴的第一个交点，所以－·ω＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝.故选C.11．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心(即圆心)距水面1.5米．若以水面为x轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为(　　)A．h＝3sin＋1.5B．h＝1.5cos＋3C．h＝3cos＋1.5D．h＝1.5sin＋3A　解析：如图，过点P向x轴作垂线，垂足为E，则h＝PE＝PD＋1.5.因为r＝3，BO＝1.5，所以∠CBA＝∠BAO＝.因为水车旋转的角速度ω＝＝，所以∠PBA＝t，得∠PBD＝∠PBA－∠CBA＝t－.在△PBD中，PD＝PBsin∠PBD＝3sin，所以点P到水面的距离h＝PD＋1.5＝3sin＋1.5.12．(多选题)(2020·山东师范大学附中高三质评)设函数f(x)＝sin(ω>0)．已知f(x)在[0，π]内有且仅有3个零点，下列结论正确的是(　　)A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝2B．f(x)在(0，π)上有且仅有1个最小值C．f(x)在上单调递增D．ω的取值范围是AB　解析：画出函数f(x)＝sin的大致图像如图所示．当x＝0时，f(0)＝sin＝－.又ω>0，所以x>0时，f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增．又f(x)在[0，π]内有且仅有3个零点，所以π的位置在C～D之间(包括C，不包括D)．令f(x)＝sin＝0，则ωx－＝kπ(k∈Z)，得x＝·(k∈Z)，故y轴右侧第一个点的横坐标为，最小正周期T＝，所以＋T≤π<＋T，即＋≤π<＋·，解得≤ω<，故D错误．在区间(0，π)上，函数f(x)有最大值和最小值，所以在区间(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝2，故A正确．由大致图像得f(x)在(0，π)上有且仅有1个最小值，故B正确．取ω＝，当0<x<时，－<ωx－<，此时函数f(x)在上不单调递增，故C错误．故选AB.13．(多选题)(2020·济南一模)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)|sin x－cos x|，下列说法正确的是(　　)A．f(x)是周期函数B．f(x)在区间上单调递增C．若|f(x1)|＋|f(x2)|＝2，则x1＋x2＝(k∈Z)D．函数g(x)＝f(x)＋1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点AC　解析：f(x)＝(sin x＋cos x)|sin x－cos x|＝其图像如图所示，所以函数f(x)的周期为2π，故A正确．当x∈时，f(x)＝由函数f(x)的图像知，f(x)在上不单调，故B错误．由|f(x1)|＋|f(x2)|＝2知，点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))为函数图像上的最值点，所以2x1＝k1π，2x2＝k2π(k1，k2∈Z)，所以x1＋x2＝(k1，k2∈Z)，即x1＋x2＝(k∈Z)，故C正确．当x∈[0,2π]时，g(x)＝f(x)＋1＝当g(x)＝0时，x＝π或x＝，则函数g(x)在区间[0,2π]上的零点个数为2，故D错．故选AC.14．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为y＝sin x，则ω＝________，φ＝________.2　－　解析：y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得图像表示的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图像向右平移个单位长度可得y＝sin 2的图像，即y＝sin，所以ω＝2，φ＝－.15．已知函数f(x)＝cos xcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的值域．解：(1)f(x)＝cos xcos＝cos x·＝cos2x＋sin x·cos x＝×＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin＋.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)知，f(x)＝·sin＋，所以g(x)＝sin＋.当－≤x≤时，－≤x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－≤sin≤，所以0≤g(x)≤，故g(x)在上的值域为 .