高考数学一轮复习考点规范练21函数y=Asinωx+φ的图象及应用含解析新人教A版理

考点规范练21　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

基础巩固

1.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A.T=6,φ= B.T=6,φ=

C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=

答案:A

解析:最小正周期为T==6;

由2sinφ=1,得sinφ=,又|φ|<,所以φ=

2.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象(　　)

A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

答案:C

解析:∵y=cos(2x+1)=cos2,

∴只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度即可.

3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

答案:C

解析:因为sin[-1,1],

所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.

由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.

所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.

4.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.在区间上单调递增 

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增 

D.在区间上单调递减

答案:A

解析:将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin2x.

当-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增.

当+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减,

结合选项,可知y=sin2x在区间上单调递增.故选A.

5.(2020全国Ⅰ,理7)设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:由题图知f=cos=0,所以-ω++kπ(k∈Z),

化简得ω=-(k∈Z).

因为T<2π<2T,即<2π<,

所以1<|ω|<2,解得-<k<-<k<.

当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.

所以ω=,最小正周期T=.

6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=(　　)

A B C D

答案:C

解析:由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.

故-φ=,即φ=

7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为(　　)

A B

C D

答案:B

解析:根据所给图象,周期T=4=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过点,代入有2+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),

即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.

8.设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在单调递增

④ω的取值范围是

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

答案:D

解析:∵f(x)=sin(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,

∴5π≤2πω+<6π,

解得<,故④正确.

画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确.

当0<x<时,<ωx+,

又<,,∴③正确.

综上可知①③④正确.故选D.

9.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　　. 

答案:

解析:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2ωx+φ)的图象,再向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象.

由题意知sin=sinx,

所以2ω=1,-+φ=2kπ(k∈Z),

又-,所以ω=,φ=,

所以f(x)=sin,

所以f=sin=sin

10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=　　　　　. 

答案:

解析:函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=

x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,

则φ=

11.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)=2sin的图象,则f(x)=　　　　　. 

答案:-2cos 2x

解析:由题意可知,把g(x)=2sin的图象向右平移个单位长度后,得到f(x)=2sin=2sin=-2cos2x的图象.

12.设函数f(x)=sin,则下列命题:

①f(x)的图象关于直线x=对称;

②f(x)的图象关于点对称;

③f(x)的最小正周期为π,且在区间上为增函数;

④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图象.

其中真命题的序号为　　　　　. 

答案:③④

解析:对于①,f=sin=sin,不是最值,因此x=不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题是假命题;

对于②,f=sin=1≠0,因此点不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题是假命题;

对于③,函数f(x)的最小正周期为T==π,当x∈时,令t=2x+,显然函数y=sint在区间上为增函数,因此函数f(x)在区间上为增函数,故该命题是真命题;

对于④,把f(x)的图象向右平移个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin=sin2x,是奇函数,故该命题是真命题.

能力提升

13.若关于x的方程2sin=m在区间上有两个不等实根,则m的取值范围是(　　)

A.(1,) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,]

答案:C

解析:方程2sin=m可化为sin,当x时,2x+

画出函数y=f(x)=sin在x上的图象如图所示.

由题意,得<1,

即1≤m<2,

∴m的取值范围是[1,2),故选C.

14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)

A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)

C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

答案:A

解析:由周期T==π,得ω=2.

当x=时,f(x)取得最小值,

所以+φ=+2kπ,k∈Z,

即φ=+2kπ,k∈Z,

所以f(x)=Asin

所以f(0)=Asin>0,f(2)=AsinAsin4+cos4<0,f(-2)=Asin=-Asin4+cos4.

因为f(2)-f(-2)=Asin4<0,所以f(2)<f(-2).

又f(-2)-f(0)=-Asin=-Asin4-+,

因为π<4-<π+,

所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).

综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.

15.现将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上均单调递增,则实数a的取值范围是(　　)

A B C D

答案:C

解析:∵函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,

∴g(x)=sin=sin,

由2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,可得kπ-x≤kπ+,k∈Z,

即函数g(x)的递增区间为,k∈Z.

又函数g(x)在区间上均单调递增,

解得a<

16.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:∵函数f(x)的图象关于点对称,

∴2+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-,k∈Z.

∴f(x)=cos,k∈Z.

∵f(x)的图象向右平移m个单位长度得到函数y=cos,k∈Z为偶函数,

∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k∈Z,k1∈Z),

∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.

17.已知函数y=3sin

(1)用五点法作出函数的图象;

(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.

解:(1)列表:

描点、连线,如图所示:

(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.

先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.

(方法二)“先伸缩,后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象,再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位,得到y=sin=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.

高考预测

18.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin的图象,只要将y=f(x)的图象(　　)

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

答案:C

解析:∵f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,

∴ω=2.

∴f(x)=sin2x,g(x)=sin

∴将y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,故选C.