湖南省永州市2020年中考数学试卷

这是一份湖南省永州市2020年中考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省永州市2020年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.-2020的相反数为（    ）
A.                                 B. 2020                                C. -2020                                D. 
2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（    ）
A.             B.             C.             D. 
3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（    ）
A. 人               B. 人               C. 人               D. 
4.下列计算正确的是（    ）
A.                     B.                     C.                     D. 
5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（    ）
A. 众数是8                           B. 平均数是6                           C. 中位数是8                           D. 方差是9
6.如图，已知 ．能直接判断 的方法是（    ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
7.如图，已知 是 的两条切线，A ， B为切点，线段 交 于点M ． 给出下列四种说法：① ；② ；③四边形 有外接圆；④M是 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
8.如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（    ）

A.                                         B. 25                                        C. 35                                        D. 63
9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（    ）

A. 4                                         B. 2                                         C.                                          D. 
10.已知点 和直线 ，求点P到直线 的距离d可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， 的圆心C的坐标为 ，半径为1，直线l的表达式为 ，P是直线l上的动点，Q是 上的动点，则 的最小值是（    ）

A.                                  B.                                  C.                                  D. 2
二、填空题（共8题；共9分）
11.在函数 中，自变量x的取值范围是________．
12.方程组 的解是________．
13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．

14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人．
15.已知圆锥的底面周长是 分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．
16.已知直线 ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若 ，则 ________．

17.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A ， C两点，过点A作 轴于点B ， 过点C作 轴于点D ， 则 的面积为________．

18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点 ，M ， N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小值是________．

三、解答题（共8题；共76分）
19.计算： ．
20.先化简，再求值： ，其中 ．
21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ， B ， C ， D四个等级，A： ，B： ，C： ，D： ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中 ________， ________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用 ， 表示），两名女生（用 ， 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： ）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A ， C之间的距离．
23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
24.如图， 内接于 是 的直径， 与 相切于点B ， 交 的延长线于点D ， E为 的中点，连接 ．

（1）求证： 是 的切线．
（2）已知 ，求O ， E两点之间的距离．
25.在平面直角坐标系 中，等腰直角 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上，且 ，抛物线经过A ， B ， C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M ， N两点，如图2所示．
①求 面积的最小值．
②已知 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ， 使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 时，求证：四边形 是菱形．
（3）设平移的距离为 ，两张纸条重叠部分的面积为 ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】-2020的相反数为－（-2020）=2020．
故答案为：B．
【分析】直接利用相反数的定义求解．
2.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
 B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
3.【解析】【解答】635.3万= ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4.【解析】【解答】A、 与 不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；
B、 ，故该项不符合题意；
C、 ，故该项符合题意；
D、 ，故该项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可.
5.【解析】【解答】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，
∴中位数为6，众数为8，
平均数为 ，
方差为： =8.8，
正确的描述为：A，
故答案为：A .
【分析】求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.
6.【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，
,
∴ (SAS),
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
7.【解析】【解答】解：如图，

  是 的两条切线，
 故①符合题意，

 故②符合题意，
  是 的两条切线，
 
取 的中点Q，连接 ，
则
所以：以Q为圆心， 为半径作圆，则 共圆，故③符合题意，
 M是 外接圆的圆心，
 
 
与题干提供的条件不符，故④不符合题意，
综上：正确的说法是 个，
故答案为：C．
【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
8.【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B ．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
9.【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高= ，
∴ 它的左视图的面积是 ，
故答案为：D.
【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.
10.【解析】【解答】过点C作直线l的垂线，交 于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，

∵点C到直线l的距离 ， 半径为1，
∴ 的最小值是 ，
故答案为：B.
【分析】过点C作直线l的垂线，交 于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
二、填空题
11.【解析】【解答】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
12.【解析】【解答】
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用加减消元法求解．
13.【解析】【解答】解：由已知得：

△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
14.【解析】【解答】 （人）
故答案为：480.
【分析】用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.
15.【解析】【解答】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为 分米，扇形的半径等于母线长为1分米，
根据 得， 平方分米．
故答案为 ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．
16.【解析】【解答】解：如图，标注字母，

延长 交a于C，
由题意得：
 
 
 
 
 
 
故答案为：
【分析】如图，标注字母，延长 交a于C，利用平行线的性质证明 ，三角形的外角的性质证明 ，从而可得答案．
17.【解析】【解答】令 ,解得 ,
∴A( ),C( )．
∴B( ),D( )．
则BD= ,AB= ,
∴S△ABD= ．
故答案为:6．
【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
18.【解析】【解答】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，则 （4，-3），连接 ，分别与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．

由 可得直线OA的表达式为y=2x，设 (x,y)，由 与直线OA垂直及 中点坐标在直线OA上可得方程组：

解得：
则 (0，5)，
由两点距离公式可得：

即 周长的最小值 ．
故答案为 ．
【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，连接 ，分别与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．
三、解答题
19.【解析】【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．
20.【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．
21.【解析】【解答】解：（2） ， ，
B等级所占扇形的圆心角度数为 ，
故答案为： ， ，252° ；
【分析】(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；(3)列树状图解答.
22.【解析】【分析】（1）过A点作 于点D ， 在 中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在 中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
23.【解析】【分析】（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为 元，列分式方程求解即可；（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．
24.【解析】【分析】（1）连接 ，先推出 ，然后根据 是 斜边 上的中线，得出 ，从而可得 ，根据 与 相切，得到 ，可得 ，即 ，即可证明 是 的切线；（2）连接OE，先证明 ，可得 ，可求出AD，根据 是 的中位线，即可求出OE．
25.【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，根据等腰直角三角形的性质得到 三点的坐标，代入解析式即可得到答案；（2）①设直线l的解析式为 ，交点 ， ，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到 ，利用面积与 的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点 ，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得： 列方程求解 再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
26.【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作 于点E、 于点F ， 再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分 、 、 和x= 四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．