2020年甘肃省天水市中考数学试卷

这是一份2020年甘肃省天水市中考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
下列四个实数中，是负数的是（ ）
A. -（-3）B. （-2）2C. |-4|D. -
天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（ ）
A. 3.41×105B. 3.41×106C. 341×103D. 0.341×106
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 文B. 羲C. 弘D. 化
某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A. 40，42B. 42，43C. 42，42D. 42，41
如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=70°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
若函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=ax+b和y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m
若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A. -7＜a＜-4B. -7≤a≤-4C. -7≤a＜-4D. -7＜a≤-4
观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100=S，用含S的式子表示这组数据的和是（ ）
A. 2S2-SB. 2S2+SC. 2S2-2SD. 2S2-2S-2
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
分解因式：m3n-mn=______．
一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，则该三角形的周长为______．
已知函数y=，则自变量x的取值范围是______．
已知a+2b=，3a+4b=，则a+b的值为______．
如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是______．
如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是______．
如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为______．
如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF=3，则BE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
（1）计算：4sin60°-|-2|+20200-+（）-1．
（2）先化简，再求值：-÷，其中a=．
为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为______人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为______度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
如图所示，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（-2，a）和点B（b，-1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB-PA取得最大值时，求出点P的坐标．
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，AB=6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
性质探究
如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为______．
理解运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2，则它的面积为______；
（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF=EG=EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为______．（用含α的式子表示）
天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
如图所示，拋物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（-2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x=1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A．-（-3）=3，是正数，不符合题意；
B．（-2）2=4，是正数，不符合题意；
C．|-4|=4，是正数，不符合题意；
D．-是负数，符合题意；
故选：D．
根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得．
本题主要考查实数，解题的关键是掌握相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念．
2.【答案】A
【解析】解：341000=3.41×105，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对，
故选：D．
根据正方体的展开图的特点，得出相对的面，进而得出答案．
本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是正确选择的前提．
4.【答案】C
【解析】解：将这组数据重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，
所以这组数据的众数为42，中位数为=42，
故选：C．
先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=110°，
∴∠ACB=∠AOB=55°．
故选：B．
连接OA、OB，如图，根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则利用四边形内角和计算出∠AOB=110°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆心角定理．
6.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7.【答案】B
【解析】解：∵由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，
∴反比例函数y=的图象必在一、三象限，故C、D错误；
∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．
故选：B．
先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧可知b＜0，再由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.5m，AB=1.2m，BC=12.8m，
∴AC=AB+BC=14m，
∴，
解得，DC=17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：∵3x+a≤2，
∴3x≤2-a，
则x≤，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤＜3，
解得：-7＜a≤-4，
故选：D．
先解不等式得出x≤，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2≤＜3，解之可得答案．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
10.【答案】A
【解析】解：∵2100=S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=S+2S+22S+…+299S+2100S
=S（1+2+22+…+299+2100）
=S（1+2100-2+2100）
=S（2S-1）
=2S2-S．
故选：A．
根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．
本题考查了规律型-数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
11.【答案】mn（m-1）（m+1）
【解析】解：m3n-mn=mn（m2-1）=mn（m-1）（m+1），
故答案为：mn（m-1）（m+1）．
先提出公因式mn，再利用平方差公式即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
12.【答案】13
【解析】解：∵x2-8x+12=0，
∴（x-2）（x-6）=0，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故答案为：13．
先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13.【答案】x≥-2且x≠3
【解析】解：根据题意得：x+2≥0且x-3≠0，
解得：x≥-2且x≠3．
故答案为：x≥-2且x≠3．
根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数．
14.【答案】1
【解析】解：a+2b=①，3a+4b=②，
②-①得2a+2b=2，
解得a+b=1．
故答案为：1．
用方程3a+4b=减去a+2b=，即可得出2a+2b=2，进而得出a+b=1．
此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接AB．
∵OA=AB=，OB=2，
∴OB2=OA2+AB2，
∴∠OAB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴sin∠AOB=，
故答案为．
如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，=2πr，
解得，r=，
故答案为：．
根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
17.【答案】（-1，5）
【解析】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（-3，2）．
∴O′（-，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为（ -1，5）．
故答案是：（-1，5）．
结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求得点G的坐标是解题的难点．
18.【答案】2
【解析】解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE=FE，
设BE=x，则GE=BG+BE=3+x，CE=6-x，
∴EF=3+x，
∵CD=6，DF=3，
∴CF=3，
∵∠C=90°，
∴（6-x）2+32=（3+x）2，
解得，x=2，
即CE=2，
故答案为：2．
根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：（1）原式=4×-（2-）+1-2+4
=2-2++1-2+4
=3+；
（2）原式=-•
=-
=-
=
=，
当a=时，
原式=
=
=
=1．
【解析】（1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】50 144
【解析】解：（1））∵非常满意的有18人，占36%，
∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%=50（人）；
故答案为：50；
（2）此次调查中结果为满意的人数为：50-4-8-18=20（人）；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°×=144°；
故答案为：144°；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，
∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：=．
（1）由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数；
（2）用总人数减去其他满意程度的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|=4，
解得，k=-8，或k=8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y=-，
把点A（-2，a）和点B（b，-1）代入y=-得，
a=4，b=8；
答：a=4，b=8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜-2或0＜x＜8；
（3）∵点A（-2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，-1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y=cx+d，
则有，
解得，，
∴直线A′B的关系式为y=-x+，
∴直线y=-x+与y轴的交点坐标为（0，），
即点P的坐标为（0，）．
【解析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n＞的解集；
（3）求出点A（-2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．
22.【答案】解：（1）由题意得，∠PAB=90°-60°=30°，∠APB=90°+45°=135°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠APB=180°-30°-135°=15°；
（2）作PH⊥AB于H，如图：
则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH=PH，
设BH=PH=x海里，
由题意得：AB=40×=20（海里），
在Rt△APH中，tan∠PAB=tan30°==，
即=，
解得：x=10+10≈27.32＞25，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
【解析】（1）由题意得，∠PAB=30°，∠APB=135°由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）作PH⊥AB于H，则△PBH是等腰直角三角形，BH=PH，设BH=PH=x海里，求出AB=20海里，在Rt△APH中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23.【答案】（1）证明：连接OD，如图：
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA=OD=r，则OB=6-r，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，
∴r2+（2）2=（6-r）2，
解得：r=2，
∴OB=4，
∴OD===2，
∴OD=OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=180°-∠B-∠ODB=60°，
∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOF=×2×2-=2-．
【解析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出∠B=30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
24.【答案】：1 2sinα：1
【解析】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=120°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=30°，AD=BD，
∴AB=2AD=2AC•cs30°=AC，
∴AB：AC=：1．
故答案为：1．
理解运用：（1）设CA=CB=m，则AB=m，
由题意2m+m=4+2，
∴m=2，
∴AC=CB=2，AB=2，
∴AD=DB=，CD=AC•sin30°=1，
∴S△ABC=•AB•CD=．
故答案为．
（2）如图2中，连接FH．
∵∠FGH=120°，EF=EG=EH，
∴∠EFG=∠EGF，∠EHG=∠EGH，
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°，
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°，
∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，
∵EF=EH，
∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴FH=EF=20，
∵FM=MG．GN=GH，
∴MN=FH=10．
类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=2α，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=30°，AD=BD，∠ACD=∠BCD=α
∴AB=2AD=2AC•sinα
∴AB：AC=2sinα：1．
故答案为2sinα：1．
性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解决问题．
理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA=CB=m，则AB=m，构建方程求出m即可解决问题．
②如图2中，连接FH．求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．
类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x-20）元，
由题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
50-20=30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40-a）件，
由题意得：，
解得，
∵a为正整数，
∴a=14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，
由题意得：y=（80-50-m）a+（45-30）（40-a）=（15-m）a+600，
①当10＜m＜15时，15-m＞0，y随a的增大而增大，
∴当a=18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，
②当m=15时，15-m=0，
y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当15＜m＜20时，15-m＜0，y随a的增大而减小，
∴当a=14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．
【解析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，根据y=A商品的利润+B商品的利润，根据m的值及一次函数的增减性可得结论．
本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
26.【答案】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+x+6；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：
∵点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA=2，OC=6，
∴S△AOC=OA•OC=×2×6=6，
∴S△BCD=S△AOC=×6=，
当y=0时，-x2+x+6=0，
解得：x1=-2，x2=4，
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：y=-x+6，
∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），
∴点D的坐标为：（m，-m2+m+6），
点G的坐标为：（m，-m+6），
∴DG=-m2+m+6-（-m+6）=-m2+3m，CF=m，BE=4-m，
∴S△BCD=S△CDG+S△BDG=DG•CF+DG•BE=DG×（CF+BE）=×（-m2+3m）×（m+4-m）=-m2+6m，
∴-m2+6m=，
解得：m1=1（不合题意舍去），m2=3，
∴m的值为3；
（3）由（2）得：m=3，-m2+m+6=-×32+×3+6=，
∴点D的坐标为：（3，），
分三种情况讨论：
①当DB为对角线时，如图2所示：
∵四边形BNDM是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴DN∥x轴，
∴点D与点N关于直线x=1对称，
∴N（-1，），
∴DN=3-（-1）=4，
∴BM=4，
∵B（4，0），
∴M（8，0）；
②当DM为对角线时，如图3所示：
由①得：N（-1，），DN=4，
∵四边形BNDM是平行四边形，
∴DN=BM=4，
∵B（4，0），
∴M（0，0）；
③当DN为对角线时，
∵四边形BNDM是平行四边形，
∴DM=BN，DM∥BN，
∴∠DMB=∠MBN，
∴点D与点N的纵坐标相等，
∵点D（3，），
∴点N的纵坐标为：-，
将y=-代入y=-x2+x+6中，
得：-x2+x+6=-，
解得：x1=1+，x2=1-，
当x=1+时，如图4所示：
则N（1+，-），
分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，
在Rt△DEM和Rt△NQB中，，
∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），
∴BQ=EM，
∵BQ=1+-4=-3，
∴EM=-3，
∵E（3，0），
∴M（，0）；
当x=1-时，如图5所示：
则N（1-，-），
同理得点M（-，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（-，0）．
【解析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，求出点B的坐标为（4，0），由待定系数法求出直线BC的函数表达式为y=-x+6，则点D的坐标为（m，-m2+m+6），点G的坐标为（m，-m+6），求出S△BCD=-m2+6m=，解方程即可；
（3）求出点D的坐标为（3，），分三种情况，①当DB为对角线时，证出DN∥x轴，则点D与点N关于直线x=1对称，得出N（-1，）求出BM=4，即可得出答案；
②当DM为对角线时，由①得N（-1，），DN=4，由平行四边形的性质得出DN=BM=4，进而得出答案；
③当DN为对角线时，点D与点N的纵坐标相等，N（1+，-）或N（1-，-），再分两种情况解答即可．
本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
题号
一
二
三
总分
得分