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2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝6a6
C．3a2b+2ba2＝5a2b D．a0＝1
5．（3分）关于一组数据：﹣2，1，1，2，下列说法中不正确的是（ ）
A．平均数是0.5 B．众数是1
C．中位数是1 D．方差是0.75
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝26°，过点C作⊙O的切线交OB的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
10．（3分）数学课上老师出了这样一道题：
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；
小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（ ）
A．100分 B．70分 C．40分 D．10分
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）据猫眼专业版实时数据显示，电影《你好，李焕英》总票房达到5012000000元，在中国影史票房排行仅次于《战狼2》和《哪吒之魔童降世》，目前排行第三，将数据5012000000用科学记数法可以表示为 ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ．
13．（3分）如图，a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝6，BC＝9，DF＝12，则EF＝ ．
14．（3分）如图，点P为∠BAC内部一点，连接PB，PC，量得∠BPC＝120°，图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，则阴影部分的总面积为 ．
15．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积是 ．
16．（3分）如图所示是一块含30°角的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB⊥y轴，顶点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，顶点B在y2＝（x＞0）的图象上，∠BAO＝30°，则＝ ．
17．（3分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn，顶点Bn的坐标为 ．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）（﹣），其中x＝+1．
20．（12分）随着交通网络的不断完善，旅游业持续升温，我市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，市旅游局统计并绘制出2020年“十一”期间旅游情况统计图如图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2020年“十一”期间，我市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的扇形圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到我市旅游人数的增长趋势，预计2021年“十一”期间将有80万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游．
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明，并列举所有等可能的结果．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）春节期间，某儿童玩具超市购进某种玩具车的成本是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可销售160个，若销售单价每降低2元，则每周可多销售20个．设销售单价降低x（x为偶数）元，每周的销售量为y个．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）设该超市每周获得的销售利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A（4，n）．
（1）求n的值及一次函数的解析式；
（2）直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，求△ABC的面积．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OP⊥OA，点C是劣弧上一点，过点C作⊙O的切线CM，交OP的延长线于点M，BC交OM于点N．
（1）求证：MN＝MC；
（2）若AB＝6，＝，过点A作AD∥CM交⊙O于点D，求AD的长．
六、（本题12分）
24．（12分）如图，B地在A地的正西方向，因有大山阻隔，由A地到B地需绕行C地，已知C地位于A地北偏西67°方向，距离A地117千米，B地位于C地南偏西30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到B地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
七、（本题12分）
25．（12分）如图，半径为7的⊙O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE．
（1）请直接写出OA的长；
（2）过点A作AF⊥OE，且AF＝OA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长；
（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长；
（4）请直接写出DE的最大值和最小值．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别交x轴于点A，C，交y轴于点B，抛物线的顶点为D，其中点A（3，0），B（0，2），C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线AB的上方抛物线上有一点E，且满足∠ABE＝2∠OAB，请求出点E的坐标；
（3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，是否存在点M，N，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
【分析】根据绝对值的意义即可进行求解．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣2021的绝对值为2021．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形内部是一个由虚线组成的小矩形．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝6a6
C．3a2b+2ba2＝5a2b D．a0＝1
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识即可解答，
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A错误，不符合题意．
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B错误，不符合题意．
C、3a2b+2ba2＝5a2b，是同类项，合并正确，故C符合题意．
D、a0（a≠0）＝1，故D错误，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）关于一组数据：﹣2，1，1，2，下列说法中不正确的是（ ）
A．平均数是0.5 B．众数是1
C．中位数是1 D．方差是0.75
【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算可得答案．
【解答】解：A．这组数据的平均数为＝0.5，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的众数为1，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的中位数为＝1，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的方差为×[（﹣2﹣0.5）2+2×（1﹣0.5）2+（2﹣0.5）2]＝2，此选项错误，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝26°，过点C作⊙O的切线交OB的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD＝90°，∠COD＝52°，然后利用互余计算出∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠BAC＝2×26°＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用黑球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是＝．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝2DE＝，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到∠B＝60°，求得∠BCD＝∠A＝30°，得到∠DCE＝60°，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，
∴AC＝2DE＝，
∵AB＝2，AC＝1，
∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠B＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠BCD＝90°，
故选：C．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据折叠的性质得到AF＝FG，∠EHG＝∠B＝∠A＝∠G＝90°，HG＝AB，∠BEF＝∠FEH，推出△EFH是等边三角形，得到∠FHE＝60°，等量代换得到DH＝FG＝AF，设DH＝FG＝AF＝x，求得AB＝HG＝x，AD＝4x，根据矩形ABCD的面积为16，列方程得到x•4x＝16，求得AB＝2，过F作FM⊥BC于M，于是得到结论．
【解答】解：∵把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，
∴AF＝FG，∠EHG＝∠B＝∠A＝∠G＝90°，HG＝AB，∠BEF＝∠FEH，
∵∠BEF+∠FEH+∠HEC＝180°，∠HEC＝60°，
∴∠BEF＝∠FEH＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴∠FHE＝60°，
∴∠GHF＝30°，
∴FG＝FH，
∵FH＝2HD，
∴DH＝FG＝AF，
设DH＝FG＝AF＝x，
∴AB＝HG＝x，AD＝4x，
∵矩形ABCD的面积为16，
∴x•4x＝16，
∴x＝2（负值舍去），
∴AB＝2，
过F作FM⊥BC于M，
则FM＝AB＝2，
∴EF＝FM＝4，
故选：D．
10．（3分）数学课上老师出了这样一道题：
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；
小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（ ）
A．100分 B．70分 C．40分 D．10分
【分析】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；
∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，
∴小涛得到了70分，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）据猫眼专业版实时数据显示，电影《你好，李焕英》总票房达到5012000000元，在中国影史票房排行仅次于《战狼2》和《哪吒之魔童降世》，目前排行第三，将数据5012000000用科学记数法可以表示为 5.012×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5012000000＝5.012×109．
故答案为：5.012×109．
12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a，
＝a（x2﹣2x+1），
＝a（x﹣1）2．
13．（3分）如图，a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝6，BC＝9，DF＝12，则EF＝ 7.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，EF＝7.2，
故答案为：7.2．
14．（3分）如图，点P为∠BAC内部一点，连接PB，PC，量得∠BPC＝120°，图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，则阴影部分的总面积为 ．
【分析】延长BP交AC于D，根据三角形的外角性质求出∠A+∠B+∠C＝∠BPC＝120°，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：延长BP交AC于D，
∵∠PDC＝∠A+∠B，
∴∠BPC＝∠PDC+∠C＝∠A+∠B+∠C，
∵∠BPC＝120°，
∴∠A+∠B+∠C＝120°，
∵图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，
∴阴影部分的总面积为＝，
故答案为：．
15．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积是 15或10 ．
【分析】作CD⊥AB交AB于点D，设DB＝x，用勾股定理得出CD2，再由30°可得AD是CD的倍列出方程可得x的值，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：作CD⊥AB交AB于点D，
设DB＝x，则AD＝10﹣x．
在Rt△CDB中，
CD2＝CB2﹣DB2＝（2）2﹣x2＝28﹣x2．
∵Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD＝CD，即AD2＝3CD2，
∴（10﹣x）2＝3（28﹣x2），
解得x＝1或4．
∴DC＝＝3或＝2，
∴△ABC的面积S＝×10×3＝15或S＝×10×2＝10．
故答案为：15或10．
16．（3分）如图所示是一块含30°角的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB⊥y轴，顶点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，顶点B在y2＝（x＞0）的图象上，∠BAO＝30°，则＝ ﹣3 ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，解直角三角形求得＝，通过证得△AOD∽△OBE，根据反比例函数系数k的几何意义得到＝3，即＝3，即可求得结论．
【解答】解：Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，
∴＝，
作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵∠AOD+∠BOE＝90°＝∠BOE+∠OBE，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝（）2，
∴＝3，即＝3，
∴＝﹣3，
故答案为﹣3．
17．（3分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为 30 ．
【分析】延长GB交CO于点H，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答．
【解答】解：延长GB交CO于点H，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AC，∠BCH＝∠BAE＝90°，
∵正方形BEFG，
∴∠EBG＝90°，BE＝BG，
∴∠ABE+∠GBC＝180°，
∵∠HBC+∠GBC＝180°，
∴∠ABE＝∠CBH，
在△ABE与△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴BH＝BE，S△ABE＝S△CBH，
∴BE＝BG，
∴BH＝BG，
∴S△BCG＝S△CBH＝S△ABE，
在Rt△ABE中，AE＝，
∵，
∴S△BCG＝30，
故答案为：30．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn，顶点Bn的坐标为 （2n﹣1，0） ．
【分析】根据题意分别求出B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0），由点的坐标规律可得Bn（2n﹣1，0）．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（﹣1，0），（0，1），
∴OA1＝1，
∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
∴B1（1，0），
∴A2（1，2），
∴A2B1＝2，
∴B2（3，0），
∴A3（3，4），
∴A3B2＝4，
∴B3（7，0），
……
Bn（2n﹣1，0），
故答案为Bn（2n﹣1，0）．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）（﹣），其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）（﹣）
＝
＝
＝
＝x﹣2，
当x＝+1＝4+1＝5时，原式＝5﹣2＝3．
20．（12分）随着交通网络的不断完善，旅游业持续升温，我市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，市旅游局统计并绘制出2020年“十一”期间旅游情况统计图如图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2020年“十一”期间，我市周边景点共接待游客 50 万人，扇形统计图中A景点所对应的扇形圆心角的度数是 108° ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到我市旅游人数的增长趋势，预计2021年“十一”期间将有80万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游．
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明，并列举所有等可能的结果．
【分析】（1）由A景点的人数和所占百分比求出总人数，即可解决问题；
（2）由80万乘以E景点所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）15÷30%＝50（万人），360°×30%＝108°，
故答案为：50，108°，
A景点的人数为：50×24%＝12（万人），补全条形统计图如下：
（2）∵E景点所占的比例为：6÷50＝，
∴80×＝9.6（万人），
即估计有9.6万人会选择去E景点旅游；
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，同时选择去同一景点的结果有3个，
∴同时选择去同一景点的概率为＝．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）春节期间，某儿童玩具超市购进某种玩具车的成本是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可销售160个，若销售单价每降低2元，则每周可多销售20个．设销售单价降低x（x为偶数）元，每周的销售量为y个．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）设该超市每周获得的销售利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）根据题意结合每周获得的利润w＝销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案．
【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；
（2）w＝（80﹣50﹣x）（160+10x）＝﹣10x2+140x+4800＝﹣10（x﹣7）2+5290，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝7时，w最大＝5290，
但0＜x＜30，且x 为偶数，
∴当x＝6或8时，w最大＝5280，
此时80﹣6＝74（元），80﹣8＝72（元），
答：当销售单价定为74元或72元时，每周的销售利润最大，最大利润为5280元．
22．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A（4，n）．
（1）求n的值及一次函数的解析式；
（2）直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，求△ABC的面积．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数关系式即可求出n的值，再代入一次函数关系式即可求出k的值，从而确定一次函数关系式；
（2）求出B、C两点坐标，再利用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（4，n）代入反比例函数y＝得，
n＝＝1，
∴点A（4，1），
把点A（4，1）代入一次函数y＝kx﹣3得，
4k﹣3＝1，
解得，k＝1，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣3，
答：n＝1，一次函数的关系式为y＝x﹣3；
（2）当x＝2时，y＝＝2，
∴点B（2，2），
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，
∴点C（2，﹣1），
∴BC＝2﹣（﹣1）＝3，
∴S△ABC＝×3×（4﹣2）＝3，
答：△ABC的面积为3．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OP⊥OA，点C是劣弧上一点，过点C作⊙O的切线CM，交OP的延长线于点M，BC交OM于点N．
（1）求证：MN＝MC；
（2）若AB＝6，＝，过点A作AD∥CM交⊙O于点D，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，再证明∠MCN＝∠MNC，从而得到MN＝MC；
（2）连接BD，如图，证明OC∥BD得到∠AOC＝∠ABD，再证明∠M＝∠ABD，接着计算出PM＝2，OM＝5，利用三角函数，在Rt△OCM中得到sinM＝＝，在Rt△ABD中得到sim∠ABD＝，所以＝，从而可求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CM是⊙O的切线，
∴CM⊥OC，
∴∠OCM＝90°，
∴∠MCN+∠OCB＝90°
∵OP⊥OA，
∴∠POB＝90°，
∴∠ONB+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠MCN＝∠ONB，
∵∠ONB＝∠MNC，
∴∠MCN＝∠MNC，
∴MN＝MC；
（2）解：连接BD，如图，
∵CM⊥OC，AD∥CM，
∴AD⊥OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴OC∥BD，
∴∠AOC＝∠ABD，
∵∠M+∠MOC＝∠AOC+∠MOC＝90°，
∴∠M＝∠AOC，
∴∠M＝∠ABD，
∵AB＝6，
∴OP＝OC＝3，
∵＝，
∴PM＝2，
∴OM＝5，
在Rt△OCM中，sinM＝＝，
在Rt△ABD中，sim∠ABD＝＝，
∴＝，
∴AD＝．
六、（本题12分）
24．（12分）如图，B地在A地的正西方向，因有大山阻隔，由A地到B地需绕行C地，已知C地位于A地北偏西67°方向，距离A地117千米，B地位于C地南偏西30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到B地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
则∠BCD＝30°，∠ACD＝67°，
∴AD＝AC•sin67°≈×117＝108，CD＝AC•cos67°≈×117＝45．
∵∠BCD＝30°，
∴BD＝CD•tan30°＝45×＝15，
∴AB＝AD+BD＝108+15≈134（km）．
答：A地到B地之间高铁线路长约为134千米．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，半径为7的⊙O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE．
（1）请直接写出OA的长；
（2）过点A作AF⊥OE，且AF＝OA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长；
（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长；
（4）请直接写出DE的最大值和最小值．
【分析】（1）画出图形，可以得到当A，O，B三点共线，且O在A，B之间时，AB取得最大值；
（2）由于△AOF与△ABD都是等腰直角三角形，存在“手拉手模型”，所以利用“边角边”证得△AOB≌△AFD，得到FD＝OB＝7，故FD的长度不会发生变化；
（3）画出图形，可以得到A，F，B三点共线时，分两类情况讨论，分别是图2和图3，利用（2）中结论，得到AD＝AB＝，根据图形，计算出各自情况下的DE长度；
（4）由（2）可得，FD＝7，由于F是顶点，D是动点，所以D在为以F为圆心，7为半径的圆上运动，画出图形，数形结合，可以得到DE的最大值为D，F，E三点共线，F在D，E之间时取得，DE的最小值为D，F，E三点共线，E在D，F之间时取得．
【解答】解：（1）当B运动到A、O、B三点共线，且O位于A，B之间时，AB取得最大值，
此时OA＝AB﹣7＝3；
（2）DF长度不变，理由如下，
如图2连接OB，
∵AF⊥OE，
∴∠OAF＝90°，
又∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠BAF＝∠BAF+∠FAD，
∴∠BAO＝∠DAF，
在△BAO与△DAF中，
，
∴△BAO≌△DAF（SAS），
∴OB＝FD＝7，
即FD长度不会变化，FD＝7；
（3）①如图2，当A，B，F三点一线时，
由（2）得△ABO≌△ADF，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝OA+AD＝3+，
∴，
②如图3，当A，B，F三点一线时，
由（2）得△ABO≌△ADF，
∴AD＝AB＝，
∴DE＝AD+AE＝4+2，
即DE＝或；
（4）由（2）可得，FD＝7，
∴D在以F为圆心，7为半径圆上运动，
又FE＝，
当D，F，E三点共线，且F在D，E之间时，DE＝5+7＝12，此时DE取得最大值，如图4，
当D，F，E三点共线，且E在D，F之间时，DE＝7﹣5＝2，此时DE取得最小值，如图5，
即DE的最大值为12，最小值为2．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别交x轴于点A，C，交y轴于点B，抛物线的顶点为D，其中点A（3，0），B（0，2），C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线AB的上方抛物线上有一点E，且满足∠ABE＝2∠OAB，请求出点E的坐标；
（3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，是否存在点M，N，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（3，0），C（1，0）两点可得抛物线的对称轴为x＝2，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在x轴的负半轴截取OA′＝OA，直线交抛物线于点E，可推出∠ABE＝2∠OAB，利用待定系数法求出直线的解析式，再将两函数解析式联立方程组求解后即可得出交点坐标，此题得解；
（3）设M（2，d），N（n，n2﹣n+2），分别从①AB为边；②以AB为对角线两种情况进行求解，即可得出符合条件的点N坐标．
【解答】解：（1）由A（3，0），C（1，0）两点可得抛物线的对称轴为直线x＝2，
将A（3，0），B（0，2），C（1，0）分别代入二次函数，
y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2，对称轴为直线x＝2；
（2）如图，在x轴的负半轴截取OA′＝OA，直线交抛物线于点E，
∴设直线的解析式为y＝kx+b，把B（0，2）代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为：y＝x+2，
根据题意可得方程组：，
解得：（舍去），
∴点E（5，）；
（3）存在点M，N，
设M（2，d），N（n，n2﹣n+2），
若以AB为边，
①平行四边形是ABMN，BM∥AN，
则AM中点为（，），
BN中点为（，），
解得，
∴N（5，）；
②平行四边形是AMNB，BN∥AM，
则BM中点为（1，），
AN中点为（，），
，
解得，
∴N（﹣1，）；
若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，
则AB中点为（，1），
MN中点为（，），
，
解得，
∴N（1，0）；
综上所述，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形ABMN，则点N的坐标为（5，）；平行四边形ANBM，则点N的坐标为（1，0）；平行四边形AMBN，则点N的坐标为（﹣1，）．
2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝6a6
C．3a2b+2ba2＝5a2b D．a0＝1
5．（3分）关于一组数据：﹣2，1，1，2，下列说法中不正确的是（ ）
A．平均数是0.5 B．众数是1
C．中位数是1 D．方差是0.75
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝26°，过点C作⊙O的切线交OB的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
10．（3分）数学课上老师出了这样一道题：
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；
小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（ ）
A．100分 B．70分 C．40分 D．10分
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）据猫眼专业版实时数据显示，电影《你好，李焕英》总票房达到5012000000元，在中国影史票房排行仅次于《战狼2》和《哪吒之魔童降世》，目前排行第三，将数据5012000000用科学记数法可以表示为 ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ．
13．（3分）如图，a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝6，BC＝9，DF＝12，则EF＝ ．
14．（3分）如图，点P为∠BAC内部一点，连接PB，PC，量得∠BPC＝120°，图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，则阴影部分的总面积为 ．
15．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积是 ．
16．（3分）如图所示是一块含30°角的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB⊥y轴，顶点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，顶点B在y2＝（x＞0）的图象上，∠BAO＝30°，则＝ ．
17．（3分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn，顶点Bn的坐标为 ．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）（﹣），其中x＝+1．
20．（12分）随着交通网络的不断完善，旅游业持续升温，我市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，市旅游局统计并绘制出2020年“十一”期间旅游情况统计图如图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2020年“十一”期间，我市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的扇形圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到我市旅游人数的增长趋势，预计2021年“十一”期间将有80万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游．
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明，并列举所有等可能的结果．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）春节期间，某儿童玩具超市购进某种玩具车的成本是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可销售160个，若销售单价每降低2元，则每周可多销售20个．设销售单价降低x（x为偶数）元，每周的销售量为y个．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）设该超市每周获得的销售利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A（4，n）．
（1）求n的值及一次函数的解析式；
（2）直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，求△ABC的面积．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OP⊥OA，点C是劣弧上一点，过点C作⊙O的切线CM，交OP的延长线于点M，BC交OM于点N．
（1）求证：MN＝MC；
（2）若AB＝6，＝，过点A作AD∥CM交⊙O于点D，求AD的长．
六、（本题12分）
24．（12分）如图，B地在A地的正西方向，因有大山阻隔，由A地到B地需绕行C地，已知C地位于A地北偏西67°方向，距离A地117千米，B地位于C地南偏西30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到B地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
七、（本题12分）
25．（12分）如图，半径为7的⊙O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE．
（1）请直接写出OA的长；
（2）过点A作AF⊥OE，且AF＝OA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长；
（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长；
（4）请直接写出DE的最大值和最小值．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别交x轴于点A，C，交y轴于点B，抛物线的顶点为D，其中点A（3，0），B（0，2），C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线AB的上方抛物线上有一点E，且满足∠ABE＝2∠OAB，请求出点E的坐标；
（3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，是否存在点M，N，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
【分析】根据绝对值的意义即可进行求解．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣2021的绝对值为2021．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形内部是一个由虚线组成的小矩形．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝6a6
C．3a2b+2ba2＝5a2b D．a0＝1
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识即可解答，
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A错误，不符合题意．
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B错误，不符合题意．
C、3a2b+2ba2＝5a2b，是同类项，合并正确，故C符合题意．
D、a0（a≠0）＝1，故D错误，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）关于一组数据：﹣2，1，1，2，下列说法中不正确的是（ ）
A．平均数是0.5 B．众数是1
C．中位数是1 D．方差是0.75
【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算可得答案．
【解答】解：A．这组数据的平均数为＝0.5，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的众数为1，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的中位数为＝1，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的方差为×[（﹣2﹣0.5）2+2×（1﹣0.5）2+（2﹣0.5）2]＝2，此选项错误，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝26°，过点C作⊙O的切线交OB的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD＝90°，∠COD＝52°，然后利用互余计算出∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠BAC＝2×26°＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用黑球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是＝．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝2DE＝，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到∠B＝60°，求得∠BCD＝∠A＝30°，得到∠DCE＝60°，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，
∴AC＝2DE＝，
∵AB＝2，AC＝1，
∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠B＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠BCD＝90°，
故选：C．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据折叠的性质得到AF＝FG，∠EHG＝∠B＝∠A＝∠G＝90°，HG＝AB，∠BEF＝∠FEH，推出△EFH是等边三角形，得到∠FHE＝60°，等量代换得到DH＝FG＝AF，设DH＝FG＝AF＝x，求得AB＝HG＝x，AD＝4x，根据矩形ABCD的面积为16，列方程得到x•4x＝16，求得AB＝2，过F作FM⊥BC于M，于是得到结论．
【解答】解：∵把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，
∴AF＝FG，∠EHG＝∠B＝∠A＝∠G＝90°，HG＝AB，∠BEF＝∠FEH，
∵∠BEF+∠FEH+∠HEC＝180°，∠HEC＝60°，
∴∠BEF＝∠FEH＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴∠FHE＝60°，
∴∠GHF＝30°，
∴FG＝FH，
∵FH＝2HD，
∴DH＝FG＝AF，
设DH＝FG＝AF＝x，
∴AB＝HG＝x，AD＝4x，
∵矩形ABCD的面积为16，
∴x•4x＝16，
∴x＝2（负值舍去），
∴AB＝2，
过F作FM⊥BC于M，
则FM＝AB＝2，
∴EF＝FM＝4，
故选：D．
10．（3分）数学课上老师出了这样一道题：
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；
小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（ ）
A．100分 B．70分 C．40分 D．10分
【分析】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；
∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，
∴小涛得到了70分，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）据猫眼专业版实时数据显示，电影《你好，李焕英》总票房达到5012000000元，在中国影史票房排行仅次于《战狼2》和《哪吒之魔童降世》，目前排行第三，将数据5012000000用科学记数法可以表示为 5.012×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5012000000＝5.012×109．
故答案为：5.012×109．
12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a，
＝a（x2﹣2x+1），
＝a（x﹣1）2．
13．（3分）如图，a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝6，BC＝9，DF＝12，则EF＝ 7.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，EF＝7.2，
故答案为：7.2．
14．（3分）如图，点P为∠BAC内部一点，连接PB，PC，量得∠BPC＝120°，图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，则阴影部分的总面积为 ．
【分析】延长BP交AC于D，根据三角形的外角性质求出∠A+∠B+∠C＝∠BPC＝120°，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：延长BP交AC于D，
∵∠PDC＝∠A+∠B，
∴∠BPC＝∠PDC+∠C＝∠A+∠B+∠C，
∵∠BPC＝120°，
∴∠A+∠B+∠C＝120°，
∵图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，
∴阴影部分的总面积为＝，
故答案为：．
15．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积是 15或10 ．
【分析】作CD⊥AB交AB于点D，设DB＝x，用勾股定理得出CD2，再由30°可得AD是CD的倍列出方程可得x的值，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：作CD⊥AB交AB于点D，
设DB＝x，则AD＝10﹣x．
在Rt△CDB中，
CD2＝CB2﹣DB2＝（2）2﹣x2＝28﹣x2．
∵Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD＝CD，即AD2＝3CD2，
∴（10﹣x）2＝3（28﹣x2），
解得x＝1或4．
∴DC＝＝3或＝2，
∴△ABC的面积S＝×10×3＝15或S＝×10×2＝10．
故答案为：15或10．
16．（3分）如图所示是一块含30°角的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB⊥y轴，顶点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，顶点B在y2＝（x＞0）的图象上，∠BAO＝30°，则＝ ﹣3 ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，解直角三角形求得＝，通过证得△AOD∽△OBE，根据反比例函数系数k的几何意义得到＝3，即＝3，即可求得结论．
【解答】解：Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，
∴＝，
作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵∠AOD+∠BOE＝90°＝∠BOE+∠OBE，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝（）2，
∴＝3，即＝3，
∴＝﹣3，
故答案为﹣3．
17．（3分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为 30 ．
【分析】延长GB交CO于点H，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答．
【解答】解：延长GB交CO于点H，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AC，∠BCH＝∠BAE＝90°，
∵正方形BEFG，
∴∠EBG＝90°，BE＝BG，
∴∠ABE+∠GBC＝180°，
∵∠HBC+∠GBC＝180°，
∴∠ABE＝∠CBH，
在△ABE与△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴BH＝BE，S△ABE＝S△CBH，
∴BE＝BG，
∴BH＝BG，
∴S△BCG＝S△CBH＝S△ABE，
在Rt△ABE中，AE＝，
∵，
∴S△BCG＝30，
故答案为：30．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn，顶点Bn的坐标为 （2n﹣1，0） ．
【分析】根据题意分别求出B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0），由点的坐标规律可得Bn（2n﹣1，0）．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（﹣1，0），（0，1），
∴OA1＝1，
∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
∴B1（1，0），
∴A2（1，2），
∴A2B1＝2，
∴B2（3，0），
∴A3（3，4），
∴A3B2＝4，
∴B3（7，0），
……
Bn（2n﹣1，0），
故答案为Bn（2n﹣1，0）．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）（﹣），其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）（﹣）
＝
＝
＝
＝x﹣2，
当x＝+1＝4+1＝5时，原式＝5﹣2＝3．
20．（12分）随着交通网络的不断完善，旅游业持续升温，我市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，市旅游局统计并绘制出2020年“十一”期间旅游情况统计图如图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2020年“十一”期间，我市周边景点共接待游客 50 万人，扇形统计图中A景点所对应的扇形圆心角的度数是 108° ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到我市旅游人数的增长趋势，预计2021年“十一”期间将有80万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游．
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表的方法加以说明，并列举所有等可能的结果．
【分析】（1）由A景点的人数和所占百分比求出总人数，即可解决问题；
（2）由80万乘以E景点所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）15÷30%＝50（万人），360°×30%＝108°，
故答案为：50，108°，
A景点的人数为：50×24%＝12（万人），补全条形统计图如下：
（2）∵E景点所占的比例为：6÷50＝，
∴80×＝9.6（万人），
即估计有9.6万人会选择去E景点旅游；
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，同时选择去同一景点的结果有3个，
∴同时选择去同一景点的概率为＝．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）春节期间，某儿童玩具超市购进某种玩具车的成本是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可销售160个，若销售单价每降低2元，则每周可多销售20个．设销售单价降低x（x为偶数）元，每周的销售量为y个．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）设该超市每周获得的销售利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）根据题意结合每周获得的利润w＝销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案．
【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；
（2）w＝（80﹣50﹣x）（160+10x）＝﹣10x2+140x+4800＝﹣10（x﹣7）2+5290，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝7时，w最大＝5290，
但0＜x＜30，且x 为偶数，
∴当x＝6或8时，w最大＝5280，
此时80﹣6＝74（元），80﹣8＝72（元），
答：当销售单价定为74元或72元时，每周的销售利润最大，最大利润为5280元．
22．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A（4，n）．
（1）求n的值及一次函数的解析式；
（2）直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，求△ABC的面积．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数关系式即可求出n的值，再代入一次函数关系式即可求出k的值，从而确定一次函数关系式；
（2）求出B、C两点坐标，再利用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（4，n）代入反比例函数y＝得，
n＝＝1，
∴点A（4，1），
把点A（4，1）代入一次函数y＝kx﹣3得，
4k﹣3＝1，
解得，k＝1，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣3，
答：n＝1，一次函数的关系式为y＝x﹣3；
（2）当x＝2时，y＝＝2，
∴点B（2，2），
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，
∴点C（2，﹣1），
∴BC＝2﹣（﹣1）＝3，
∴S△ABC＝×3×（4﹣2）＝3，
答：△ABC的面积为3．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OP⊥OA，点C是劣弧上一点，过点C作⊙O的切线CM，交OP的延长线于点M，BC交OM于点N．
（1）求证：MN＝MC；
（2）若AB＝6，＝，过点A作AD∥CM交⊙O于点D，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，再证明∠MCN＝∠MNC，从而得到MN＝MC；
（2）连接BD，如图，证明OC∥BD得到∠AOC＝∠ABD，再证明∠M＝∠ABD，接着计算出PM＝2，OM＝5，利用三角函数，在Rt△OCM中得到sinM＝＝，在Rt△ABD中得到sim∠ABD＝，所以＝，从而可求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CM是⊙O的切线，
∴CM⊥OC，
∴∠OCM＝90°，
∴∠MCN+∠OCB＝90°
∵OP⊥OA，
∴∠POB＝90°，
∴∠ONB+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠MCN＝∠ONB，
∵∠ONB＝∠MNC，
∴∠MCN＝∠MNC，
∴MN＝MC；
（2）解：连接BD，如图，
∵CM⊥OC，AD∥CM，
∴AD⊥OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴OC∥BD，
∴∠AOC＝∠ABD，
∵∠M+∠MOC＝∠AOC+∠MOC＝90°，
∴∠M＝∠AOC，
∴∠M＝∠ABD，
∵AB＝6，
∴OP＝OC＝3，
∵＝，
∴PM＝2，
∴OM＝5，
在Rt△OCM中，sinM＝＝，
在Rt△ABD中，sim∠ABD＝＝，
∴＝，
∴AD＝．
六、（本题12分）
24．（12分）如图，B地在A地的正西方向，因有大山阻隔，由A地到B地需绕行C地，已知C地位于A地北偏西67°方向，距离A地117千米，B地位于C地南偏西30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到B地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
则∠BCD＝30°，∠ACD＝67°，
∴AD＝AC•sin67°≈×117＝108，CD＝AC•cos67°≈×117＝45．
∵∠BCD＝30°，
∴BD＝CD•tan30°＝45×＝15，
∴AB＝AD+BD＝108+15≈134（km）．
答：A地到B地之间高铁线路长约为134千米．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，半径为7的⊙O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE．
（1）请直接写出OA的长；
（2）过点A作AF⊥OE，且AF＝OA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长；
（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长；
（4）请直接写出DE的最大值和最小值．
【分析】（1）画出图形，可以得到当A，O，B三点共线，且O在A，B之间时，AB取得最大值；
（2）由于△AOF与△ABD都是等腰直角三角形，存在“手拉手模型”，所以利用“边角边”证得△AOB≌△AFD，得到FD＝OB＝7，故FD的长度不会发生变化；
（3）画出图形，可以得到A，F，B三点共线时，分两类情况讨论，分别是图2和图3，利用（2）中结论，得到AD＝AB＝，根据图形，计算出各自情况下的DE长度；
（4）由（2）可得，FD＝7，由于F是顶点，D是动点，所以D在为以F为圆心，7为半径的圆上运动，画出图形，数形结合，可以得到DE的最大值为D，F，E三点共线，F在D，E之间时取得，DE的最小值为D，F，E三点共线，E在D，F之间时取得．
【解答】解：（1）当B运动到A、O、B三点共线，且O位于A，B之间时，AB取得最大值，
此时OA＝AB﹣7＝3；
（2）DF长度不变，理由如下，
如图2连接OB，
∵AF⊥OE，
∴∠OAF＝90°，
又∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠BAF＝∠BAF+∠FAD，
∴∠BAO＝∠DAF，
在△BAO与△DAF中，
，
∴△BAO≌△DAF（SAS），
∴OB＝FD＝7，
即FD长度不会变化，FD＝7；
（3）①如图2，当A，B，F三点一线时，
由（2）得△ABO≌△ADF，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝OA+AD＝3+，
∴，
②如图3，当A，B，F三点一线时，
由（2）得△ABO≌△ADF，
∴AD＝AB＝，
∴DE＝AD+AE＝4+2，
即DE＝或；
（4）由（2）可得，FD＝7，
∴D在以F为圆心，7为半径圆上运动，
又FE＝，
当D，F，E三点共线，且F在D，E之间时，DE＝5+7＝12，此时DE取得最大值，如图4，
当D，F，E三点共线，且E在D，F之间时，DE＝7﹣5＝2，此时DE取得最小值，如图5，
即DE的最大值为12，最小值为2．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别交x轴于点A，C，交y轴于点B，抛物线的顶点为D，其中点A（3，0），B（0，2），C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线AB的上方抛物线上有一点E，且满足∠ABE＝2∠OAB，请求出点E的坐标；
（3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，是否存在点M，N，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（3，0），C（1，0）两点可得抛物线的对称轴为x＝2，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在x轴的负半轴截取OA′＝OA，直线交抛物线于点E，可推出∠ABE＝2∠OAB，利用待定系数法求出直线的解析式，再将两函数解析式联立方程组求解后即可得出交点坐标，此题得解；
（3）设M（2，d），N（n，n2﹣n+2），分别从①AB为边；②以AB为对角线两种情况进行求解，即可得出符合条件的点N坐标．
【解答】解：（1）由A（3，0），C（1，0）两点可得抛物线的对称轴为直线x＝2，
将A（3，0），B（0，2），C（1，0）分别代入二次函数，
y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2，对称轴为直线x＝2；
（2）如图，在x轴的负半轴截取OA′＝OA，直线交抛物线于点E，
∴设直线的解析式为y＝kx+b，把B（0，2）代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为：y＝x+2，
根据题意可得方程组：，
解得：（舍去），
∴点E（5，）；
（3）存在点M，N，
设M（2，d），N（n，n2﹣n+2），
若以AB为边，
①平行四边形是ABMN，BM∥AN，
则AM中点为（，），
BN中点为（，），
解得，
∴N（5，）；
②平行四边形是AMNB，BN∥AM，
则BM中点为（1，），
AN中点为（，），
，
解得，
∴N（﹣1，）；
若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，
则AB中点为（，1），
MN中点为（，），
，
解得，
∴N（1，0）；
综上所述，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形ABMN，则点N的坐标为（5，）；平行四边形ANBM，则点N的坐标为（1，0）；平行四边形AMBN，则点N的坐标为（﹣1，）．
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