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初中北师大版第五章 生活中的轴对称综合与测试随堂练习题
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这是一份初中北师大版第五章 生活中的轴对称综合与测试随堂练习题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大新版七年级下册《第5章 生活中的轴对称》1
一、选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
4．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC＝2，AC＝4，则BD＝（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD
D．点D为线段AC的黄金分割点
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
二、填空题（共15小题）
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝ ．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ °．
18．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cosC＝ ．
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ °．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝ ．
21．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
22．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为 ．
23．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为 ．
24．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝ 度．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ cm．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
27．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
28．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ ．
29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
三、解答题（共1小题）
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE＝ °；
（2）AE EC；（填“＝”“＞”或“＜”）
（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝ ．
北师大新版七年级下册《第5章 生活中的轴对称》1
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB＝AD，BC＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB＝DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴AC平分∠BCD，EB＝DE，
∴∠BCE＝∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：C．
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴∠ABC＝∠BAP，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APC＝2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APB，
∵∠APC＝∠BAP+∠ABC，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选：C．
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCB＝24°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
4．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE＝BE，∠BAE＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝40°，
故选：D．
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC＝2，AC＝4，则BD＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】设BD＝x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD＝AD＝x，则CD＝4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．
【解答】解：设BD＝x，
∵AB垂直平分线交AC于D，
∴BD＝AD＝x，
∵AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣x，
在△BCD中，根据勾股定理得x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝．
故选：C．
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD
D．点D为线段AC的黄金分割点
【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2＝BC•AC，求出AD＝BC，即可判断D．
【解答】解：A、∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠C＝2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A＝36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝CD•AC，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∵AD＝BD，
∴AD＝BC，
∴AD2＝CD•AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
【分析】由等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故选：D．
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝2，
∴CD＝AD＝4，
∴AB＝2+4＝6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB＝2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
故选：B．
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，再根据等边对等角可得∠CBP＝∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，
即3∠ABP+60°+24°＝180°，
解得∠ABP＝32°．
故选：C．
二、填空题（共15小题）
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝ 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，代入即可求出答案．
【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，
∴PB＝PA＝7，
故答案为：7．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 36° ．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得∠ABE＝∠A＝36°，然后可计算出∠EBC的度数．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°．
故答案为：36°．
17．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ 87 °．
【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE＝∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE＝∠ABC＝（180°﹣31°﹣∠A）＝（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠DBE＝∠ABC＝（149°﹣∠A）＝∠C＝31°，
∴∠A＝87°．
故答案为：87．
18．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cosC＝ ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE＝BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD＝BD，从而得出CD：CE，即为cosC．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∴CD＝BD，
∵BE＝9，BC＝12，
∴CD＝6，CE＝9，
∴cosC＝＝＝，
故答案为．
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15 °．
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝ 6 ．
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，
∴PB＝PA＝6．
故答案为：6．
21．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC＝DB，继而可确定△ABD的周长．
【解答】解：∵l垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6cm．
故答案为：6．
22．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为 m+n ．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝40°，求出∠ABC＝∠C，推出AC＝AB＝m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD＝BC+AD+DC＝AC+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A＝40°，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABC＝40°+30°＝70°，∠C＝180°﹣40°﹣40°﹣30°＝70°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB＝m，
∴△DBC的周长是DB+BC+CD＝BC+AD+DC＝AC+BC＝m+n，
故答案为：m+n．
23．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为 8 ．
【分析】根据平行四边形的性质，得知AO＝OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE＝EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．
【解答】解：根据平行四边形的性质，
∴AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD＝5+3＝8，
故答案为：8．
24．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝ 60 度．
【分析】根据线段垂直平分线得出BE＝CE，推出∠B＝∠BCE＝40°，求出∠ACB＝2∠BCE＝80°，代入∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
故答案为：60．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ 16 cm．
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝．
故答案为：．
27．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠DBC＝15°，
∴∠ABC＝∠A+15°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°，
解得∠A＝50°．
故答案为：50°．
28．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ 70° ．
【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB＝OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC＝∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 108 度．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故答案为：108．
三、解答题（共1小题）
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE＝ 90 °；
（2）AE ＝ EC；（填“＝”“＞”或“＜”）
（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝ 7 ．
【分析】（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC．
故答案为：＝；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∵AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7．
故答案为：7．
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日期：2019/11/14 9:44:23；用户：张瑞兰；邮箱：15963432934；学号：30210107
北师大新版七年级下册《第5章 生活中的轴对称》1
一、选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
4．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC＝2，AC＝4，则BD＝（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD
D．点D为线段AC的黄金分割点
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
二、填空题（共15小题）
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝ ．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ °．
18．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cosC＝ ．
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ °．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝ ．
21．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
22．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为 ．
23．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为 ．
24．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝ 度．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ cm．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
27．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
28．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ ．
29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
三、解答题（共1小题）
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE＝ °；
（2）AE EC；（填“＝”“＞”或“＜”）
（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝ ．
北师大新版七年级下册《第5章 生活中的轴对称》1
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB＝AD，BC＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB＝DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴AC平分∠BCD，EB＝DE，
∴∠BCE＝∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：C．
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴∠ABC＝∠BAP，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APC＝2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APB，
∵∠APC＝∠BAP+∠ABC，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选：C．
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCB＝24°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
4．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE＝BE，∠BAE＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝40°，
故选：D．
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC＝2，AC＝4，则BD＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】设BD＝x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD＝AD＝x，则CD＝4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．
【解答】解：设BD＝x，
∵AB垂直平分线交AC于D，
∴BD＝AD＝x，
∵AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣x，
在△BCD中，根据勾股定理得x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝．
故选：C．
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD
D．点D为线段AC的黄金分割点
【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2＝BC•AC，求出AD＝BC，即可判断D．
【解答】解：A、∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠C＝2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A＝36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝CD•AC，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∵AD＝BD，
∴AD＝BC，
∴AD2＝CD•AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
【分析】由等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故选：D．
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝2，
∴CD＝AD＝4，
∴AB＝2+4＝6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB＝2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
故选：B．
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，再根据等边对等角可得∠CBP＝∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，
即3∠ABP+60°+24°＝180°，
解得∠ABP＝32°．
故选：C．
二、填空题（共15小题）
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝ 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，代入即可求出答案．
【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，
∴PB＝PA＝7，
故答案为：7．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 36° ．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得∠ABE＝∠A＝36°，然后可计算出∠EBC的度数．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°．
故答案为：36°．
17．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ 87 °．
【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE＝∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE＝∠ABC＝（180°﹣31°﹣∠A）＝（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠DBE＝∠ABC＝（149°﹣∠A）＝∠C＝31°，
∴∠A＝87°．
故答案为：87．
18．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cosC＝ ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE＝BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD＝BD，从而得出CD：CE，即为cosC．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∴CD＝BD，
∵BE＝9，BC＝12，
∴CD＝6，CE＝9，
∴cosC＝＝＝，
故答案为．
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15 °．
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝ 6 ．
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，
∴PB＝PA＝6．
故答案为：6．
21．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC＝DB，继而可确定△ABD的周长．
【解答】解：∵l垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6cm．
故答案为：6．
22．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为 m+n ．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝40°，求出∠ABC＝∠C，推出AC＝AB＝m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD＝BC+AD+DC＝AC+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A＝40°，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABC＝40°+30°＝70°，∠C＝180°﹣40°﹣40°﹣30°＝70°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB＝m，
∴△DBC的周长是DB+BC+CD＝BC+AD+DC＝AC+BC＝m+n，
故答案为：m+n．
23．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为 8 ．
【分析】根据平行四边形的性质，得知AO＝OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE＝EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．
【解答】解：根据平行四边形的性质，
∴AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD＝5+3＝8，
故答案为：8．
24．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝ 60 度．
【分析】根据线段垂直平分线得出BE＝CE，推出∠B＝∠BCE＝40°，求出∠ACB＝2∠BCE＝80°，代入∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
故答案为：60．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ 16 cm．
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝．
故答案为：．
27．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠DBC＝15°，
∴∠ABC＝∠A+15°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°，
解得∠A＝50°．
故答案为：50°．
28．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ 70° ．
【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB＝OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC＝∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 108 度．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故答案为：108．
三、解答题（共1小题）
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE＝ 90 °；
（2）AE ＝ EC；（填“＝”“＞”或“＜”）
（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝ 7 ．
【分析】（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC．
故答案为：＝；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∵AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7．
故答案为：7．
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日期：2019/11/14 9:44:23；用户：张瑞兰；邮箱：15963432934；学号：30210107
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