初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试单元测试精练

这是一份初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试单元测试精练，共12页。
沪科版八年级下册第17章《一元二次方程》单元检测卷
考试时间：100分钟；满分：120分
姓名：___________考号：___________成绩 ：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝3 B．x2+＝2 C．x2+1＝x2﹣1 D．x（x﹣1）＝0
2．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝19 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝7
5．（3分）一元二次方程x2+x＝0的根的是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
6．（3分）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．（3分）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
10．（3分）一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知一元二次方程一次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为　 　
12．（4分）方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝　 　．
13．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　．
14．（4分）方程2x2﹣x＝0的根是　 　．
15．（4分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为　 　．
16．（4分）已知方程x2+3x+1＝0的两个根为α、β，则α+β的值为　 　．
17．（4分）配方：　 　＝（x﹣　 　）2．
18．（4分）一元二次方程（x+6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝4，则另一个一元一次方程是　 　．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（10分）解方程：
（1）4x2﹣2x﹣1＝0 （2）3x（x﹣2）＝x﹣2



20．（7分）若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．



21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．


22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+x1x2，求实数m的值．




23．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．




24．（12分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝3 B．x2+＝2 C．x2+1＝x2﹣1 D．x（x﹣1）＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：A、是二元一次方程，故A不符合题意；
B、是分式方程，故B不符合题意；
C、方程不成立，故C不符合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【分析】先化成一般形式，即可得出答案．
【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0得：1+m﹣1＝0，
解得：m＝0．
故选：A．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝19 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝7
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x＝3，
∴x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7，
故选：D．
5．（3分）一元二次方程x2+x＝0的根的是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
【分析】把一元二次方程化成x（x+1）＝0，然后解得方程的根即可选出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
故选：B．
6．（3分）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，
x＝＝，
故选：C．
7．（3分）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，
x2﹣x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，
x2﹣x+1＝7
故选：B．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝a2+4＞0，由此即可得出方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4．
∵a2≥0，
∴a2+4＞0，即△＞0，
∴方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
10．（3分）一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
【解答】解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知一元二次方程一次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为　2　
【分析】把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0得1+k﹣3＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案为2．
12．（4分）方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝　﹣3　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．
【解答】解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，
∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　k＜1且k≠0　．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
14．（4分）方程2x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝　．
【分析】将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程可得．
【解答】解：左边因式分解，得：x（2x﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝，
故答案为：x1＝0，x2＝．
15．（4分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为　10%　．
【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×（1﹣x）2＝81
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
所以本题答案为0.1，即10%．
16．（4分）已知方程x2+3x+1＝0的两个根为α、β，则α+β的值为　﹣3　．
【分析】根据根与系数的关系进行解答．
【解答】解：∵方程x2+3x+1＝0的两个根为α、β，
∴α+β＝﹣3．
故答案是：﹣3．
17．（4分）配方：　　＝（x﹣　　）2．
【分析】由于二次项系数是﹣，那么常数项是一次项系数一半的平方，等号右边中括号内的减数是常数项的底数，即可求出答案；
【解答】解：因为一次项系数为：﹣，
所以常数项为＝等号右边底数中的减数为；
故答案为：，．
18．（4分）一元二次方程（x+6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝4，则另一个一元一次方程是　x+6＝﹣4　．
【分析】把方程（x+6）2＝16两边开方即可得到答案．
【解答】解：∵（x+6）2＝16，
∴x+6＝4或x+6＝﹣4．
故答案为x+6＝﹣4．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（10分）解方程：
（1）4x2﹣2x﹣1＝0
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵4x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝4+4×4＝20，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝
（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝；
20．（7分）若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．
【分析】利用一次项的系数分别求出常数项，把50分成9、16、25，然后与（a2﹣6a）、（b2﹣8b）、（c2﹣10c）分别组成完全平方公式，再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理可证△ABC实直角三角形．
【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．
△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0
即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）
＝1﹣4m+4
＝5﹣4m＞0
∵5﹣4m＞0
∴m＜．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+x1x2，求实数m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m+3、x1•x2＝m2+2，结合x12+x22＝31+x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2+2）＝12m+1≥0，
解得：m≥﹣．
（2）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2+2，
∵x12+x22＝31+x1x2，
∴﹣2x1•x2＝31+x1x2，即m2+12m﹣28＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣14（舍去），
∴实数m的值为2．
23．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
24．（12分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由△＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x＝5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0，
解得：k1＝4，k2＝5．
当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，
∴x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意；
当k＝5时，原方程为x2﹣11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6．
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k＝5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．