2021年辽宁省抚顺市新抚区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省抚顺市新抚区中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省抚顺市新抚区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在反比例函数y＝图象上的点是（　　）
A．（2，3） B．（4，2） C．（﹣6，1） D．（﹣2，3）
2．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为（　　）
A．54m B．135m C．150m D．162m
6．（3分）如图，双曲线y＝﹣（x＜0）经过▱OABC的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．12
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝4，DB＝8，DE＝3，则BC长为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
8．（3分）如图点A为反比例函数y＝（k≠0）图形上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
9．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：sin45°+cos60°＝　 　．
12．（3分）反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），则这个反比例函数的解析式是　 　．
13．（3分）若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为　 　．
14．（3分）圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则此圆锥的侧面积是　 　．
15．（3分）如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝　 　．

17．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为　 　．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
（2）P为第一象限的整点（横纵坐标都是整数的点），AP平分∠BAC，直接写出点P的坐标．

20．（12分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为　 　，统计图中n的值为　 　，A类对应扇形的圆心角为　 　度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．

四、（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，点C的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，cos∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

五、（本题12分）
23．（12分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度，当∠ACD＝150°时，点D到桌面的距离是多少？（精确到1cm，参考数据：≈1.732）

六、（本题12分）
24．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？直接写出销售单价．
七、解答题：（12分）
25．（12分）如图，过正方形ABCD的顶点A作AP⊥AQ，将∠PAQ绕点A旋转，AP交射线CB交于点E，AQ交射线CD交于点F，连接EF，M为EF的中点，连接BM．

（1）求证：AE＝AF；
（2）写出CF与BM的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝4，BE＝2，直接写出BM的长．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；
（3）当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

2021年辽宁省抚顺市新抚区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在反比例函数y＝图象上的点是（　　）
A．（2，3） B．（4，2） C．（﹣6，1） D．（﹣2，3）
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：∵2×3＝6，4×2＝8，﹣6×1＝﹣6，﹣2×3＝﹣6，
∴点（2，3）在反比例函数y＝图象上，点（4，2），（﹣6，1），（﹣2，3）不在反比例函数y＝图象上．
故选：A．
2．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
3．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选：C．
4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：

故选：C．
5．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为（　　）
A．54m B．135m C．150m D．162m
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴＝，解得h＝54（m）．
故选：A．
6．（3分）如图，双曲线y＝﹣（x＜0）经过▱OABC的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．12
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可求得S△COD＝，再根据平行四边形的性质，即可得出S平行四边形ABCO＝4S△COD，即可得出结论．
【解答】解：∵AC⊥y轴于点C，双曲线y＝﹣（x＜0）经过点D，
∴S△COD＝×|﹣3|＝，
∵平行四边形OABC的对角线交点D，
∴OD＝DB，CD＝AD，
∴S平行四边形ABCO＝4S△COD＝4×＝6．
故选：C．

7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝4，DB＝8，DE＝3，则BC长为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得＝，由条件可求得AB＝12，代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝4，BD＝8，
∴AB＝12，
∵DE＝3，
∴＝，
解得BC＝9．
故选：C．
8．（3分）如图点A为反比例函数y＝（k≠0）图形上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】连接OA，可得S△ABO＝S△ABC＝3，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，
∴k＝6，或k＝﹣6（舍去），
故选：B．

9．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，易证△ABC∽△FEC，可设BC＝x，只需求出BC即可．
【解答】解：
如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x
易证△ABC∽△FEC
∴＝＝＝
解得x＝
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝
故选：A．

10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的性质得到∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝60°，由邻补角的定义得到∠BDQ＝∠BDP＝120°，根据平行线的性质得到∠P＝∠PBC，于是得到∠QBD＝∠P，根据相似三角形的性质得到xy＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴∠BDQ＝∠BDP＝120°，
∵∠QBP＝60°，
∴∠QBD＝∠PBC，
∵AP∥BC，
∴∠P＝∠PBC，
∴∠QBD＝∠P，
∴△BDQ∽△PDB，
∴，即，
∴xy＝4，
∴y与x的函数关系的图象是双曲线，
故选：A．

二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：sin45°+cos60°＝　　．
【分析】直接利用特殊角的的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝×+
＝1+
＝．
故答案为：．
12．（3分）反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），则这个反比例函数的解析式是　　．
【分析】直接将点A的坐标代入反比例函数的解析式中可得k的值．
【解答】解：由题意得：k＝﹣4×（﹣3）＝12，
则这个反比例函数的解析式是：y＝．
故答案为：y＝．
13．（3分）若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为　0　．
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab＝4，将其代入代数式ab﹣4中即可得出结论．
【解答】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝4，
∴ab﹣4＝4﹣4＝0．
故答案为：0．
14．（3分）圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则此圆锥的侧面积是　18π　．
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，
所以这个圆锥的侧面积＝×6×2π×3＝18π．
故答案为：18π．
15．（3分）如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于　10或6.4　．

【分析】根据相似三角形对应边成比例得出＝或＝，再代值计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故答案为10或6.4
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝　7或　．

【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可AE的长．
【解答】解：①如图，若∠AEF＝90°，

∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，
∴四边形BCFE是矩形，
∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF，
∴四边形BCFE是正方形，
∴BE＝BC＝AD＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣8＝7；
②如图，若∠AFE＝90°，

∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF＝8，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，
∵∠AFE+∠EFC＝180°，
∴点A，点F，点C三点共线，
∴AC＝＝＝17，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∵AE2＝AF2+EF2，
∴AE2＝81+（15﹣AE）2，
∴AE＝，
③若∠EAF＝90°，
∵CD＝15＞CF＝BC＝8，
∴点F不可能落在直线AD上，
∴不存在∠EAF＝90°，
综上所述：AE＝7或．
故答案为：7或．
17．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为　4　．

【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a，），
∵D为AB的中点，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，
∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为　22n﹣1　．

【分析】根据条件容易判定所有阴影△是30°的直角三角形；相似比恰好是1：2．
【解答】解：根据条件知道正比例函数中的k＝是一个特殊数据，可以判断直线与x 轴的夹角是30°；
再据等边三角形条件，得到所有阴影△都是30°的直角三角形；
前一个阴影△的斜边恰好是第二个阴影△的最小直角边，故相似比恰好是1：2．
得到 S2：S1＝1：4； S3：S2＝1：4； …S．
在Rt△A2B1B2 中，∵∠B1B2A2＝30°，
∴．
所以 ．
故答案为：．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
（2）P为第一象限的整点（横纵坐标都是整数的点），AP平分∠BAC，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）分别求出A，B，C的对应点A1，B1，C1．
（2）作出射线AP，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）．

（2）（2，4）或（1，7）．
20．（12分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为　25　，统计图中n的值为　25　，A类对应扇形的圆心角为　39.6　度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．

【分析】（1）先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得，
（3）利用树状图可求概率．
【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°，
故答案为：25、25、39.6．

（2）1500×＝300（人）
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；

（3）画树状图如下：

共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为．
四、（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，点C的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，cos∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

【分析】（1）由三角函数可求得AC，再由勾股定理求出OA，即可得到点A的坐标；
（2）作BH⊥x轴于点H，根据相似三角形的判断证得△BHC∽△COA，由相似三角形的性质求出CH，BH，即可求出B点的坐标，可得反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（﹣6，0）
∴OC＝6
∵cos∠ACO＝＝，
∴AC＝10，AO＝＝8，
∴点A的坐标是（0，8）；

（2）作BH⊥x轴于点H，
则∠BHC＝∠COA＝90°，
∵CB⊥CA，
∴∠BCH＝∠CAO＝90°﹣∠ACO，
∴△BHC∽△COA，
∴＝＝＝，
∴CH＝4，BH＝3，
∴点B的坐标是（﹣10，3），
∴k＝﹣10×3＝﹣30，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．

22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB•sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．

五、（本题12分）
23．（12分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度，当∠ACD＝150°时，点D到桌面的距离是多少？（精确到1cm，参考数据：≈1.732）

【分析】作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F，
∴∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，∠ECF＝90°，
∴∠DCF＝∠ACD﹣∠ACE﹣∠ECF＝150°﹣30°﹣90°＝30°，
在Rt△ACE中，sinA＝，
∴CE＝AC•sin60°＝40×＝20，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，∠CFD＝90°，
∴DF＝CD＝15（cm），
∴DH＝DF+FH＝DF+CE＝20+20＝15+20×1.732＝49.64≈50（cm），
答：点D到桌面的距离是50cm．

六、（本题12分）
24．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？直接写出销售单价．
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；
（2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据总利润等于4020+400，得出关于x的方程，求得方程的解，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴应降价80﹣70＝10（元）．
∴当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4020+400，
解得x1＝66，x2＝74，
∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝66．
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
七、解答题：（12分）
25．（12分）如图，过正方形ABCD的顶点A作AP⊥AQ，将∠PAQ绕点A旋转，AP交射线CB交于点E，AQ交射线CD交于点F，连接EF，M为EF的中点，连接BM．

（1）求证：AE＝AF；
（2）写出CF与BM的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝4，BE＝2，直接写出BM的长．
【分析】（1）证△ABE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）过F作FG∥BM交BC于G，则，证出EB＝BG，再由全等三角形的性质得EB＝DF，则BG＝DF，得CG＝CF，然后由三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分两种情况：①当AQ交线段CD于点F时，②当AQ交线段CD的延长线于点F时，由全等三角形的性质结合（2）的结论求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝90°，BC＝DC，
又AP⊥AQ，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD＝90°﹣∠BAF，∠ABE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
（2）解：CF＝BM，理由如下：
过F作FG∥BM交BC于G，如图1所示：
则，
∵M为EF中点
∴EM＝MF，
∴EB＝BG，
∵△ABE≌△ADF，
∴EB＝DF，
∴BG＝DF，
又BC＝DC，
∴CG＝CF，
∴，
∵EM＝MF，EB＝BG，
∴BM＝FG＝CF，
∴CF＝，BM；
（3）解：分两种情况：①当AQ交线段CD于点F时，如图1，
同（1）得：△ABE≌△ADF（ASA），
∴DF＝BE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝4，
∴CF＝CD﹣DF＝2，
由（2）得：CF＝，BM，
∴BM＝CF＝；
②当AQ交线段CD的延长线于点F时，如图2，
同（1）得：△ABE≌△ADF（ASA），
∴DF＝BE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
由（2）得：CF＝，BM，
∴BM＝CF＝3；
综上所述，BM的长为或3．


八、（本题14分）
26．（14分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；
（3）当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，得到两点坐标，然后代入y＝﹣x2+bx+c求解即可；
（2）当∠BCD＝45°时，分两种情况，当C在第一象限时，y﹣2＝x，当C在第四象限时，2﹣y＝x，分别化简二次函数的关系式，然后求解即可；
（3）当0＜m＜4时，分三种情况：①当BC＝BD时，②当BC＝CD时，③当BD＝CD时，当0＜m＜4时，只有BD＝CD，据此分别讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当y＝0时，﹣x+2＝0，即有x＝4，
∴点A的坐标是（4，0），
当x＝0时，y＝2，
∴点B的坐标是（0，2），
又∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，
∴，
解得b＝，c＝2，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+x+2；
（2）设点C的坐标是（x，y），当C在第一象限时，

∵∠BCD＝45°，
∴y﹣2＝x，
∴y＝﹣x2+x+2＝x+2，
∴x1＝，x2＝0（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，0），
当C在第四象限时，2﹣y＝x，

∴y＝﹣x2+x+2＝﹣x+2，
∴x1＝，x2＝0（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，0），
综上所述，点P的坐标是（，0）或（，0），
（3）设点P的坐标是（m，0），则点D的坐标是（m，﹣m+2），
当0＜m＜4时，
若△BCD为等腰三角形时，则有以下情况：
①当BC＝BD时，作BE⊥CD交CD于点E，
则点E是等腰三角形△BCD的边DC中点，

则有yE＝（yC+yD），即2＝（﹣m2+m+2﹣m+2），
解之得：m1＝3，m2＝0（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（3，0）；
③当BC＝CD时，
BC＝＝，
CD＝yC﹣yD＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，
∵BC2＝CD2，
∴m4﹣7m3+＝m4﹣8m3+16m2，
解之得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴此时点P的坐标是（，0），
③当BD＝CD时，
BD＝＝m，
CD＝yC﹣yD＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，
∴m＝﹣m2+4m，
解之得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴此时点P的坐标是（，0），
当0＜m＜4时，只有BD＝CD，才能使△BCD为等腰三角形，
如下图示，

则有：CD＝yD﹣yC＝（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣4m，
∴m＝m2﹣4m，
解之得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴此时点P的坐标是（，0）；
综上所述，点P的坐标是P1（3，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）．