2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十二(含答案详解)

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2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十二1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)=ab.(1) 求角C的大小；(2) 若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．            2.已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求{an}的通项公式；  （2）求数列的前n项和．        3.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？ （2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．      4.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到的位置．．（1）证明：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值．      5.已知椭圆C：+y2=1的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点.(1)如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(2)如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围.  6.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．   7.已知曲线C的参数方程是(t为参数)．(1)判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系；(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．                    8.已知函数f(x)=|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.       
0.答案详解1.解：(1) 在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)=ab，得=－，即cosC=－；因为0<C<π，所以C=.(2) 解法1 因为c=2acosB，由正弦定理，得sinC=2sinAcosB因为A＋B＋C=π，所以sinC=sin(A＋B)，所以sin(A＋B)=2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB=0，即sin(A－B)=0，又－<A－B<，所以A－B=0，即A=B，所以a=b=2所以△ABC的面积为S△ABC=absinC=×2×2×sin=.解法2 由c=2acosB及余弦定理，得c=2a×，化简得a=b，所以△ABC的面积为S△ABC=absinC=×2×2×sin=.  2.解：（1）由题意得，，故，所以的通项公式为．（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得，    所以．3.解：（1）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为． 4.（1）证明：由已知得，．又由得，故．因此，从而．由，得．由得．所以，．于是，故．又，而，所以平面．（2）解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量，则，即，所以可取．于是．．因此二面角的正弦值是． 5.解：  6.解：(1)a=0时，f(x)=ex－1－x，f′(x)=ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)=ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x=0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax=(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤0.5时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)=e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，0.5]． 7.解：(1)把点M1的坐标代入参数方程得∴t=0.即点M1在曲线C上．把点M2的坐标代入参数方程得方程组无解．即点M2不在曲线C上．(2)∵点M(2，a)在曲线C上，∴∴t=1，a=3×12－1=2.即a的值为2.  8.解：(1)当a=1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，所以△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).