2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十五(含答案详解)

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2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十五1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(-C)-csin(-B0=a.(1)求B和C;(2)若a=2,求△ABC的面积.         2.已知公比为q的等比数列{an}的前6项和，且成等差数列．（1）求an；（2）设{bn}是首项为2，公差为-a1的等差数列，记{bn}前n项和为，求的最大值．      3.为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．         4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小为60°．(1)求证：EF⊥PB；(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值．             5.在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M,N是椭圆C上关于轴对称的任意两点，设P(-4,0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S,T两点，求的取值范围．             6.已知函数f(x)=x－lnx.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x≥1时，≥ex－1；(3)若f(x)≥(1－m)x＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的值.             7.在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P是OQ中点，求P的轨迹．                8.已知函数．（1）时，求不等式解集；（2）若的解集包含，求的取值范围．      
0.答案详解1.解:(1)由正弦定理得bsin(-C)-csin(-B)=a可化为sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.所以sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,即sin Bcos C-cos Bsin C=1,所以sin (B-C)=1.因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=.又A=,所以B+C=π,解得B=π,C=.(2)由(1)B=π,C=,由正弦定理,得b===4sin π.所以△ABC的面积S=absin C=×2×4sin πsin =4sinπsin=4cossin=2sin =2.2.解：（1）成等差数列，∴，即，∴，∴，解得，所以．（2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，∴，于是，则的最大值为7，此时或7． 3.解：4.解：(1)证明：∵AB=BC=3，BC⊥AB，EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，有EF⊥PE，EF⊥BE，且PE∩BE=E，∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB．(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，∴∠PEB=60°，又PE=2，BE=1，由余弦定理得PB=，∴PB2＋EB2=PE2，∴PB⊥EB，∴PB，BC，EB两两垂直．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，C(3，0，0)，E(0，1，0)，F(2，1，0)，∴=(0，1，－)，=(2，1，－)，设平面PEF的法向量为n=(x，y，z)，由即令y=，则z=1，x=0，可得n=(0，，1)，又=(3，0，－)，∴sinθ==．故直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值为．  5.解：(1)设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为；证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线PM的斜率存在,设直线PM的方程为,联立,消去得到,设点,则．所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点．当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去y,整理得,则．所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是．6.解：(1)f(x)=x－lnx，f′(x)=1－，x∈(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，有极小值f(1)=1，无极大值.(2)证明：原不等式可化为≥，记g(x)=，则g′(x)=，当x≥1时，g′(x)＜0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，有g(x)≤g(1)=，又由(1)知，≥=，得证.(3)f(x)≥(1－m)x＋m，即lnx－m(x－1)≤0，记h(x)=lnx－m(x－1)，则h(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求导得h′(x)=－m(x＞0)，若m≤0，则h′(x)＞0，得h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)=0，故当x＞1时，h(x)＞0，不合题意；若m＞0，则易得h(x)在上单调递增，在上单调递减，则h(x)max=h=－lnm－1＋m.依题意有－lnm－1＋m≤0，故f(m)≤1，由(1)知f(m)≥1，则m只能等于1. 7.解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ、OQ，则|OD|=6，∠DOQ=－θ，或∠DOQ=θ－，∠DQO=.在Rt△ODQ中，|OQ|=|OD|cos (θ－)，即ρ=6cos (θ－)．(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．∴2ρ=6cos (θ－)，∴ρ=3cos (θ－)．∴P的轨迹是圆.  8.解：（1）当时，不等式可化为，①当时，不等式为，解得；②当时，不等式为，无解；③当时，不等式为，解得，综上，原不等式的解集为．（2）因为的解集包含，则不等式可化为，即．解得，由题意知，解得，所以实数的取值范围是．