2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十(含答案详解)

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2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c=2acosB．(1)证明：A=2B；(2)若△ABC的面积S=，求角A的大小．           2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=3，S3=39.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn.       3.春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下： (1)求甲、乙所抢红包金额的平均数，并说明谁的手气更好；(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X，求X的分布列和数学期望．        4.已知直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC=2，CB=CC1=4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点.如图所示，建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明.       5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆＋(y－2)2=与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM=∠BNM.        6.已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值.                                          (1)求常数k的值；                                          (2)求函数f(x)的单调区间与极值；                                          (3)设g(x)=f(x)+c，且∀x∈[﹣1，2]，g(x)≥2c+1恒成立，求c的取值范围.                                                                                          7.已知点P的球坐标为求它的直角坐标．                 8.已知函数f(x)=|x－2|.(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；(2)若函数g(x)=－f(2x)－a的图象在上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.             
0.答案详解1.解：(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC=2sinAcosB，故2sinAcosB=sinB＋sin(A＋B)=sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB=sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，B=π－(A－B)或B=A－B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以A=2B．(2)由S=得absinC=，故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB，因sinB≠0，得sinC=cosB．又B，C∈(0，π)，所以C=±B．当B＋C=时，A=；当C－B=时，A=．综上，A=或A=．2.解：3.解：(1)甲所抢红包金额的平均数为甲==，乙所抢红包金额的平均数为乙==，由于＞，所以乙的手气更好．(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为=，甲没有抢到红包的频率为1－=，且每次抢红包相互独立，故X～B.P(X=0)==，P(X=1)=C=，P(X=2)=C=，P(X=3)=C=，P(X=4)=C=，P(X=5)=C=，P(X=6)=C=.所以X的分布列为E(X)=6×=2. 4.解：5.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)．因为离心率为，所以=，解得=，即a2=2b2.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|=(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)=2a＋2a=4a，所以4a=8，即a=2，b=2，所以椭圆C的方程为＋=1.(2)证明：把y=0代入＋(y－2)2=，解得x=1或x=4，即点M(1,0)，N(4,0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k(x－1)．联立消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.因为y1=k(x1－1)，y2=k(x2－1)，所以kAN＋kBN=＋=＋=.因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)=2x1x2－5(x1＋x2)＋8=－＋8==0，所以kAN＋kBN=0，所以∠ANM=∠BNM.综上所述，∠ANM=∠BNM. 6.解： 7.解：由变换公式得：x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2.z＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2，2，－2)．  8.解：(1)由f(x)≤5－|x－1|，得|x－1|＋|x－2|≤5，所以或或解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].(2)设h(x)=－f(2x)=－|2x－2|=当<x<1时，h(x)=＋2x－2≥2－2=2－2，当且仅当=2x即x=时取等号，所以h(x)min=2－2.当x≥1时，h(x)=－2x＋2递减，画出函数h(x)的草图，如下：原问题等价于h(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点，结合h(x)的图象可得，a∈(2－2,1).