山东省济南市市中区2021年中考数学一模试卷

这是一份山东省济南市市中区2021年中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
3．数字98990000用科学记数法表示为（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．9.899×108 D．98.99×106
4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝50°，则∠1＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
5．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
6．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5
C．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 D．（﹣a2b）3＝a5b3
7．化简﹣的结果是（　　）
A．m﹣3 B．m+3 C．﹣m+3 D．
8．某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，
时间/h
5
6
7
8
人数（人）
2
6
5
2
其中众数和中位数分别是（　　）
A．6h，7h B．6h，6h C．7h，6h D．7h，7h
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m．

A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
10．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．当方程有实数根时k≤2
B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2
C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根
D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|
11．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m+n的最大值为（　　）

A．5 B．6 C．2020 D．2021
12．在平面直角坐标系中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．若抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E．点F的坐标为（1，0），DE∥CF．若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是（　　）
A．＜b≤4 B．﹣≤b＜0
C．＜b≤4或﹣≤b＜0 D．＜b＜4或﹣≤b＜0
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直楼填写答案，）
13．分解因式：x2﹣3x＝　 　．
14．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为　 　．
15．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正　 　边形．
16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心、菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　 　．

17．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为　 　．

18．如图，菱形ABCD边长为4厘米，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝　 　厘米时，△BCE是直角三角形．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）
19．（6分）计算：+（﹣2021）0﹣4sin45°．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21．（6分）已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．求证：AB＝AF．

22．（8分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1小时以下；B．1～2小时（不包含2小时）；C．2～3小时（包含2小时）；D．3小时以上．
图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．

（1）填空：本次问卷调查一共调查了　 　名学生；
（2）请将图①的条形统计图补充完整；
（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；
（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，AE是⊙O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．
（1）求证：∠CAE＝2∠C；
（2）若DH＝9，tan∠C＝，求直径AB的长．

24．（10分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；
（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想

（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①＝　 　；
②直线BD、AE所夹锐角为　 　；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
27．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于点B（﹣1，0）、点C（4，0）两点，与y轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接AC、AB，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．


2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：俯视图是一个正六边形，正六边形内部有一个圆．
故选：A．
3．数字98990000用科学记数法表示为（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．9.899×108 D．98.99×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示98990000，应记作9.899×107．
故选：B．
4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝50°，则∠1＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝50°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣50°＝40°，进而得到∠1＝∠AFG＝40°．
【解答】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2＝∠EFG＝50°，
又∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣50°＝40°，
∴∠1＝∠AFG＝40°，
故选：B．
5．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
6．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5
C．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 D．（﹣a2b）3＝a5b3
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方法则以及平方差公式进行计算即可进行判断．
【解答】解：选项A：a2+a2＝2a2，不符合题意；
选项B：（a2）3＝a2×3＝a6，不符合题意；
选项C：（b+2a）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，符合题意；
选项D：（﹣a2b）3＝﹣a6b3，不符合题意；
故选：C．
7．化简﹣的结果是（　　）
A．m﹣3 B．m+3 C．﹣m+3 D．
【分析】根据同分母的分式相加减法则求出即可．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝m+3．
故选：B．
8．某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，
时间/h
5
6
7
8
人数（人）
2
6
5
2
其中众数和中位数分别是（　　）
A．6h，7h B．6h，6h C．7h，6h D．7h，7h
【分析】直接根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：由表可知，数据6出现次数最多，有6次，
所以这组数据的众数为6h，
这组数据的中位数是第8个数据，而第8个数据是6h，
所以这组数据的中位数是6h，
故选：B．
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m．

A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【分析】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝78（m），
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），
即树高79.8m，
故选：C．
10．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．当方程有实数根时k≤2
B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2
C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根
D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|
【分析】根据一元二次方程的解，结合根的判别式解答即可．
【解答】解：A、原方程可以化为（x﹣1）2＝k，当k≥0时，方程有实数解，故A不正确．
B、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2．故B正确；
C、∵当k≥0时，方程有实数根，
∴当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确；
D、当k≥时，由（x﹣1）2＝k可以求得x＝1±，
则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；
故选：A．
11．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m+n的最大值为（　　）

A．5 B．6 C．2020 D．2021
【分析】根据题意可以求得点A、点B、点C的坐标和k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m的值和n的最大值．
【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，
∴当x＝0时，y＝1，
∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，5），
∵点B（1，5）在y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝5，
∵点C在y＝的图象上，点C的横坐标为5，
∴点C的纵坐标是1，
∴点C的坐标为（5，1），
∵2020÷5＝404，
∴P（2020，m）在抛物线y＝﹣4x2+8x+1的图象上，
m＝﹣4×0+8×0+1＝1，
∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，
∴n的最大值是5，
∴m+n的最大值为6．
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．若抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E．点F的坐标为（1，0），DE∥CF．若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是（　　）
A．＜b≤4 B．﹣≤b＜0
C．＜b≤4或﹣≤b＜0 D．＜b＜4或﹣≤b＜0
【分析】由题意知，当x＝0时，特征直线y＝b，且其特征直线交y轴于点E，得点E坐标，然后根据平行线的性质得CE＝DF，1+＝a，分当﹣1时，当时，两种情况可得答案．
【解答】解：由题意知，当x＝0时，特征直线y＝b，且其特征直线交y轴于点E，则点E（0，b）．
∵DE∥CF，
∴D（﹣，0），
∴．，
∴，
∴．
∴，
∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE＝DF，
由题意，得1+＝a，
∴b＝2a2﹣2a，即b＝2（a﹣）＝，
当b＝2（a﹣）2﹣时，
当﹣1时，得，
，
当时，得，
﹣＜b＜0，
综上所述：或﹣＜b＜0，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直楼填写答案，）
13．分解因式：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　．
【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）
14．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为　　．
【分析】让黑球的个数除以球的总数即为摸到黑球的概率．
【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，
所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：．
15．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正　十二　边形．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是：180°﹣150°＝30°，
360°÷30°＝12．
则这个正多边形是正十二边形．
故答案为：十二．
16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心、菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　32﹣16π　．

【分析】根据菱形的性质得出AD＝DC＝AB＝8，AB∥CD，根据平行线的性质和已知条件求出∠CDA＝120°，求出∠ADF＝30°，求出AF＝AD＝4，根据勾股定理求出DF，根据阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣S扇形EDG求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为8的菱形，
∴AD＝DC＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CDA＝120°，
∵菱形ABCD的高是DF，
∴∠DFA＝90°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD，
∵AD＝8，
∴AF＝4，
∴DF＝＝＝4，
即DE＝DG＝DF＝4，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣S扇形EDG＝8×4﹣＝32﹣16π，
故答案为：32﹣16π．
17．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为　（，）　．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，然后即可得到点E的横坐标，再根据图形中的数据，可以得到点E的纵坐标，从而可以得到点E的坐标．
【解答】解：由图可得，
小丽的速度为：36÷2.25＝16（km/h），
小明的速度为：36÷1﹣16＝20（km/h），
故点E的横坐标为：36÷20＝，纵坐标是：（20+16）×（﹣1）＝，
故答案为：（，）．
18．如图，菱形ABCD边长为4厘米，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝　1或2　厘米时，△BCE是直角三角形．

【分析】根据题意分两种情况讨论：①当∠EBC＝90°时，根据菱形的性质可得∠ANM＝90°，进而可得AN的值；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，根据点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，可得N为AD的中点，进而可得AN的值．
【解答】解：∵菱形ABCD边长为4厘米，点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝2厘米，
由翻折可知：
EM＝AM＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，
①当∠EBC＝90°时，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠MBE＝∠MEB＝30°，
∴∠BME＝120°，
∴∠AMN＝∠EMN＝30°，
∴∠MNA＝90°，
∴AN＝AM＝1厘米；
②当∠BEC＝90°时，
点E落在菱形对角线AC上，
∵点M为AB的中点，MN为折痕，
此时BD⊥AC于点E，
∴点N为AD的中点，
∴AN＝AD＝2厘米．
所以当AN＝1或2厘米时，△BCE是直角三角形．
故答案为：1或2．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）
19．（6分）计算：+（﹣2021）0﹣4sin45°．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣4×
＝2+1﹣2
＝1．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再确定其整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜5，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜5，
∴它的整数解为2，3，4．
21．（6分）已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．求证：AB＝AF．

【分析】由“AAS”可证△ADF≌△DEC，可得AF＝CD＝AB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
22．（8分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1小时以下；B．1～2小时（不包含2小时）；C．2～3小时（包含2小时）；D．3小时以上．
图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．

（1）填空：本次问卷调查一共调查了　200　名学生；
（2）请将图①的条形统计图补充完整；
（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；
（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以计算出本次问卷调查一共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出图②中D部分所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上．
【解答】解：（1）100÷50%＝200（名），
即本次问卷调查一共调查了200名学生，
故答案为：200；
（2）选择D的学生有：200﹣60﹣100﹣30＝10（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）图②中D部分所对应的圆心角度数是：360°×＝18°，
即图②中D部分所对应的圆心角度数是18°；
（4）1800×＝360（名），
即估计全校可能有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上．

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，AE是⊙O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．
（1）求证：∠CAE＝2∠C；
（2）若DH＝9，tan∠C＝，求直径AB的长．

【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，可得∠AFE＝90°，由切线的性质可得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAO＝90°，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAF＝∠AOE，
∵∠AOE＝2∠ACD，
∴∠CAE＝2∠ACD；
（2）连接AD，

在Rt△ADH中，∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，
∵tanB＝tanC＝，
∴sinB＝，
∴AB＝20．
24．（10分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶；
（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元”列出不等式．
【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
根据题意列方程组，得
．
解得，．
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；

（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，
根据题意，得 10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，
解得：m≤＝11．
∵m为正整数，
∴m＝11．
所以，最多能购买消毒液11瓶．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；
（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，求得AB＝2，BC＝4．设AD＝CD＝x，则BD＝4﹣x，根据勾股定理列方程求得．得到点将的坐标代入中，于是得到结论；
（2）将x＝4代入得，求得点．根据相似三角形的性质得到∠BDF＝∠BCA．于是得到DF∥AC；
（3）设G（m，），过G作GH⊥BC于H，求得GH＝﹣2，DH＝﹣m，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥x轴，
∴点D纵坐标和点B纵坐标相同，
设D（x，2），
∵点B（4，2），BD＝2，且点B在点D右边，
∴4﹣x＝，
∴x＝，
∴D（，2），
∴k＝5，
∴所求反比例函数表达式为：y＝；
∵点F在线段AB上，设F（4，y），
将点F坐标代入反比例函数表达式，得y＝，
∴点F的坐标为（4，）；
（2）DF∥AC，理由如下：
∵F（4，），B（4，2），
∴BF＝，
又BC＝4，AB＝2，BD＝，
∴
又∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BCA，
∴∠BDF＝∠BCA．
∴DF∥AC；
（3）存在，M的坐标为（，）或（，，）．理由如下：
①当∠MDN＝90°时，
过点D作y轴平行线，过M、N分别作x轴的平行线，与过点D的y轴平行线交于点G、H，

∵△MDN是等腰直角三角形，
∴DM＝ND，∠MDN＝90°，
∴∠MDG+∠NDH＝90°，
又∠MDG+∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠NDH，
又∠G＝∠H＝90°，
∴△DMG≌△NDH（AAS），
∴NH＝DG，
∵D（，2），
∴H的横坐标为，
∴NH＝DG＝，
设M（x，y），则点G的纵坐标为y，
DG＝y﹣2＝，
∴y＝，
∴x＝，
∴点M的坐标为（，）；
②当∠DMN＝90°时，
过点M作x轴平行线交y轴于点P，过D分别作y轴的平行线，与过点M的x轴平行线交于点Q，

∵△MDN是等腰直角三角形，
∴MN＝DM，∠DMN＝90°，
∴∠PMN+∠QMD＝90°，
又∠PMN+∠PNM＝90°，
∴∠PNM＝∠QMD，
又∠MPN＝∠Q＝90°，
∴△MPN≌△DQM（AAS），
∴PM＝QD，
设M（x，y），则点Q的纵坐标为y，
∴PM＝x，QD＝y﹣2，
∴x＝y﹣2，
又y＝，
∴＝x+2，
解得：x＝（舍去负值），
∴y＝，
∴M（，，），
综上M的坐标为（，）或（，，）．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想

（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①＝　1　；
②直线BD、AE所夹锐角为　60°　；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
【分析】（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．证明△BCD≌△ACE（SAS）即可解决问题．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．证明△BCD∽△ACE，推出＝＝，∠CBD＝∠CAE可得结论．
（3）分两种情形：①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵CD＝BC，CE＝AC，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，
∴＝1，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝60°，
∴直线BD、AE所夹锐角为60°，
故答案为1，60°．

（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CB＝AC，∠ACB＝45°，
∵CD＝BC，CE＝AC，∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∴＝＝，
∴△BCD∽△ACE，
∴＝＝，∠CBD＝∠CAE，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝45°，
∴直线BD、AE所夹锐角为45°．

（3）①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．

由题意，DE＝EC＝，CD＝DE＝2，
∵EH⊥CD，∠CED＝90°，
∴EH＝DH＝HC＝CD＝1，AC＝2EC＝2，
∴AH＝AC﹣CH＝2﹣1，
在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣1）2+12＝10﹣4

②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得AE2＝（2+1）2+12＝10+4，

综上所述，满足条件的AE2的值为10±4．
27．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于点B（﹣1，0）、点C（4，0）两点，与y轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接AC、AB，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式．
（2）设出点N坐标，由MN∥AC，得到△BMN∽△BAC，利用相似三角形面积比等于高之比的平方可求出△BMN的高，最后表示△AMN的面积．
（3）先找到tan∠CAO＝2，进而再找到与它相等的角．
【解答】（1）将B（﹣1，0），C（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得
，
解得：，
抛物线解析式．
（2）过M作MD⊥BC于D．

设N（n，0），MD＝h．
∵MN∥BC，
∴△BMN∽△BAC，
，
∵AO＝2，S△BAC＝，
，
∴，
∴，
S△AMN＝S△ABN﹣S△MBN，
＝，
＝，
＝，
当．
此时点N的坐标为．
（3）BQ最小值为．
解：如图：

过点N作NE⊥BC交AB于点E，
则∠CEN＝∠CAO，
∴tan∠CEN＝tan∠CAO＝2，
以BE为直径，点F为圆心作圆F，
可知点Q在⊙F上，
∠CQN＝∠CEN，
当点B、Q、F三点共线时，BQ最小．
BQ＝BF﹣FQ，
＝
＝．