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2023年山东省济南市市中区重点中学中考数学三模试卷
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这是一份2023年山东省济南市市中区重点中学中考数学三模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. −17的绝对值是( )
A. −7B. 7C. −17D. 17
2. 如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万=55750000，用科学记数法将55750000表示为( )
A. 5575×104B. 55.75×105C. 5.575×107D. 0.5575×108
4. 如图，AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为( )
A. 55°
B. 75°
C. 80°
D. 105°
5. 下列运算正确的是( )
A. 2a−a=2B. (a−1)2=a2−1
C. (2a3)2=4a6D. a6÷a3=a2
6. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7. 两数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )
A. m>n B. −n>|m| C. −m>|n| D. |m|<|n|
8. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是( )
A. ①B. ②C. ①②D. ①③
9. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于12AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC=2∠AFB，则AF的长为( )
A. 32B. 2C. 3D. 4
10. 点A(2,4)为二次函数y=x2图象上一点，点B是该函数图象上一个动点(不与点A重合)，连结AB，过点A作AC⊥AB，交二次函数图象于点C(不与点A重合)，连结BC，点O为坐标原点，作OH垂直于直线BC于H，则OH的最大值为( )
A. 27B. 29C. 31D. 33
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：x2−4y2= ．
12. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．
13. 方程xx−1=12x−2的解是______ ．
14. 运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区.某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为______ ．
15. 如图，Rt△ABC中，BC=4，AC=8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束，在这个运动过程中，点C运动的路径长是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a,−72)在直线y=−32x−12上，AB//y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=mx经过点B．
(1)求a的值及双曲线y=mx的解析式；
(2)经过点B的直线与双曲线y=mx的另一个交点为点C，且△ABC的面积为274．
①求直线BC的解析式；
②过点B作BD//x轴交直线y=−32x−12于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算： 12+(sin75°−2021)0−(13)−1−4cs30°．
18. (本小题8.0分)
解不等式组2−x≤2(x+4)x19. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F.求证：AE=CF．
20. (本小题8.0分)
某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下(单位：米)：9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8.根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是______ ；
(4)根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
21. (本小题8.0分)
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外.小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍.已知小华身高1.8m，无人机匀速飞行的速度是4m/s，当小华在B处时，测得无人机(C处)的仰角为37°；两秒后，小华沿正东方向小跑6m到达E处，此时测得迎面飞来的无人机(F处)的仰角为58°，CF平行于地面(直线l).设点D与点F的水平距离为x m．
(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：______ m；
(2)求点C离地面的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1)
22. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若DC=53EC，DA=2，求BE的长．
23. (本小题8.0分)
卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎.林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的2倍，用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包．
(1)求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
(2)该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共800包，并分别按3.5元/包、2元/包的价格全部售出.若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．
24. (本小题8.0分)
平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
(1)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC(2)在(1)答案最大序号图形中，AC=3，BC=4，设自位似轴对称变换的对称轴与CD交于点E，求CE；
(3)如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，连接DE，求证：DE//AC．
25. (本小题8.0分)
如图(1)，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,−3)，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=MN时，求点P的横坐标；
(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，求3AP+4DQ的最小值______ (直接写出答案)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−17|=17．
根据绝对值的定义即可解答．
2.【答案】A
【解析】解：从左边看，是一列3个小正方形．
故选：A．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
3.【答案】C
【解析】解：55750000=5.575×107，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=∠4+∠2，
∴∠3=45°+35°=80°．
故选：C．
由平行线的性质可得∠4=∠1，再利用三角形的外角性质即可求得∠3的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】C
【解析】解：A.根据合并同类项法则，2a−a=a，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据完全平方公式，(a−1)2=a2+1−2a，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，(2a3)2=4a6，那么C正确，故C符合题意．
D.根据同底数幂的除法，a6÷a3=a3，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
本题主要考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查有理数与数轴以及有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
从数轴上可以看出m、n都是负数，且m【解答】
解：因为m、n都是负数，且m|n|，
A.m>n是错误的；
B.|m|>|n|，即|m|>−n，故−n>|m|是错误的；
C.|m|>|n|，即−m>|n|，故−m>|n|是正确的；
D.|m|<|n|是错误的．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【解答】
解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，
“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，
显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，
则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N．
∵BA=BD，AF=DF，BF=BF，
∴△ABF≌△DBF(SSS)，
∴∠ABF=∠DBF，∠BAF=∠BDF，∠AFB=∠DFB，
∵FM⊥BC，FN⊥BA，
∴FM=FN，
∴S△BCFS△ABF=12⋅BC⋅FM12⋅AB⋅FN=FCAF，
∴FCAF=BCAB=3，
∴FC=3AF，
∵AB=DB=3，BC=9，
∴CD=9−3=6，
∵∠BAF=2∠AFB=∠AFD，
∴∠AFD=∠BDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=6，
∴AF=2，
故选：B．
如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N.首先证明：FC：AF=BC：AB=3，想办法求出CF，证明CF=CD=6，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：设B(m,m2)，C(n,n2)，直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(m,m2)，C(n,n2)代入得，km+b=m2kn+b=n2，
解得k=m+nb=−mn，
∴直线BC的解析式为y=(m+n)x−mn，
如图，过A作MN//x轴，过C作CM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，则M(n,4)，N(m,4)，
∴CM=n2−4，AM=2−n，AN=m−2，BN=m2−4，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAM+∠BAN=∠BAN+∠ABN，
∴∠CAM=∠ABN，
∴△CAM∽△ABN，
∴CMAN=AMBN，即n2−4m−2=2−nm2−4，整理得，−mn=2(m+n)+5，
∴y=(m+n)x−mn=(m+n)x+2(m+n)+5=(m+n)(x+2)+5，
当x=−2时，y=5，
∴直线BC过定点E(−2,5)，如图，
∵OH⊥BC，OH′≤OE，
∴当H与(−2,5)重合时，OH最大，值为 (−2−0)2+(5−0)2= 29，
故选：B．
设B(m,m2)，C(n,n2)，直线BC的解析式为y=kx+b，待定系数法求解得直线BC的解析式为y=(m+n)x−mn，如图，过A作MN//x轴，过C作CM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，则M(n,4)，N(m,4)，CM=n2−4，AM=2−n，AN=m−2，BN=m2−4，证明△CAM∽△ABN，则CMAN=AMBN，即n2−4m−2=2−nm2−4，整理得，−mn=2(m+n)+5，y=(m+n)x−mn=(m+n)(x+2)+5，当x=−2时，y=5，可知直线BC过定点E(−2,5)，如图，由OH⊥BC，OH′≤OE，可知当H与(−2,5)重合时，OH最大，值为 (−2−0)2+(5−0)2，计算求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，勾股定理等知识，确定直线BC所经过的定点坐标是解题的关键．
11.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
12.【答案】14
【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值=14，
∴小球最终停留在黑色区域的概率=14，
故答案为：14．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】x=12
【解析】解：去分母得：2x=1，
解得：x=12，
检验：当x=12时，2(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=12．
故答案为：x=12．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14.【答案】10%
【解析】解：设年平均增长率为x，
∴350(1+x)2=423.5，
∴(1+x)2=1.21，
∵2024年苹果储存量增加，
∴增长率是正数，
∴x=0.1，即增长率为10%，
故答案为：10%．
根据增长率的计算方法，设年平均增长率为x，列方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握增长率的计算方法，方程的运用是解题的关键．
15.【答案】8 5−12
【解析】解：由题意可知，在运动过程中，点C运动的路径是当Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合的边AC线段上，如图所示：
在Rt△ABC中，BC=4，AC=8，则有勾股定理可得AB= 42+82=4 5，
①当A从O到如图所示的点A处时：
此时C′A⊥y轴，则点C运动的路径长是CC′的长，
∴AC′=OC=8，
∵AC′//OB，
∴∠AC′O=∠COB，
∴cs∠AC′O=cs∠COB，即OCOB=AC′OC′，
∴84 5=8OC′，
∴OC′=4 5，
∴CC′=4 5−8；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图所示：
此时点C运动的路径是从C′到C，则点C运动的路径长是CC′，
CC′=OC′−BC=4 5−4；
综上所述，点C运动的路径长是4 5−8+4 5−4=8 5−12，
故答案为：8 5−12．
根据题意分析，在运动过程中，点C运动的路径是初始位置时AC线段，分为两种情况：①当A从O到如图所示的点A处时，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图所示，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′；分别计算并相加即可得到答案．
本题考查轨迹问题、解直角三角形等知识，利用了数形结合的思想，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，难度较大，搞懂动点轨迹是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)∵点A(a,−72)在直线y=−32x−12上，
∴−32a−12=72，解得a=2，
则A(2,−72)，
∵AB//y轴，且点B的纵坐标为1，
∴点B的坐标为(2,1)．
∵双曲线y=mx经过点B(2,1)，
∴m=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)①设C(t,2t)，
∵A(2,−72)，B(2,1)，
∴12×(2−t)×(1+72)=274，
解得t=−1，
∴点C的坐标为(−1,−2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(2,1)，C(−1,−2)代入得2k+b=1−k+b=−2，
解得k=1b=−1，
∴直线BC的解析式为y=x−1；
②当y=1时，−32x−12=1，解得x=−1，则D(−1,1)，
∵直线BCy=x−1为直线y=x向下平移1个单位得到，
∴直线BC与x轴的夹角为45°，
而BD//x轴，
∴∠DBC=45°，
当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为12，当x=12时，y=x−1=−12，此时P(12,−12)，
若∠BDP=90°，则PD//y轴，P点的横坐标为−1，当x=−1时，y=x−1=−2，此时P(−1,−2)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(−1,−2)或(12,−12).
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征可得到−32a−12=72，解得a=2，则A(2,−72)，再确定点B的坐标为(2,1)，然后把B点坐标代入y=mx中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；
(2)①设C(t,2t)，根据三角形面积公式得到12×(2−t)×(1+72)=274，解得t=−1，则点C的坐标为(−1,−2)，再利用待定系数法求直线BC的解析式；
②先确定D(−1,1)，根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD//x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P(12,−12)；若∠BDP=90°，利用PD//y轴，易得此时P(−1,−2)．
17.【答案】解： 12+(sin75°−2021)0−(13)−1−4cs30°
=2 3+1−3−4× 32
=2 3−2−2 3
=−2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18.【答案】解：2−x≤2(x+4) ①x解不等式①得，x≥−2，
解不等式②得，x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1．
∴不等式组的最大整数解为x=0，
【解析】先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．
此题是一元一次不等式组的整数解题，主要考查了不等式得解法和不等式组的解集的确定及整数解的确定，解本题的关键是不等式的解法运用．
19.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAO=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20.【答案】6 3 108°
【解析】解：(1)由样本可知，符合7.7≤x≤9.5的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个，
∴a=6，
符合3.0≤x≤5.2的有5，5.1，4.8共3个，
∴b=3，
故答案为：6，3；
(2)补全条形统计图如图：
(3)∵620×360°=108°，
∴“(8分)”对应的圆心角的度数是108°，
故答案为：108°；
(4)∵4+620×400=200(人)
∴该校九年级学生实心球体考分数不低于(8分)的有200人．
(1)结合数据统计即可；
(2)根据(1)中的结果，补全条形统计图即可；
(3)“(8分)”对应的圆心角的度数等于360°乘以它所对应的百分比；
(4)用400乘以不低于(8分)所占的百分比即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等．理解统计图表中的数量关系是正确计算的前提．
21.【答案】1.6x
【解析】解：(1)如图，连接AD，过点F作FM⊥AD交AD延长线于点M，
根据题意得：DM=x m，∠FDM=58°，
在Rt△FDM中，FM=DM×tan∠FDM≈1.6x m，
即点D与点F的铅垂距离为1.6x m；
故答案为：1.6x；
(2)过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则MN=CF=2×4=8m，CN=FM=1.6x m，
根据题意得：AD=6m，
∴AN=AD+DM+FC=6+x+8=(x+14)(m)，
在Rt△ACN中，tan∠CAN=tan37°=CNAN，
∴1.6xx+14≈0.75，
解得：x≈12.35，
∴CH=1.6x+1.8=21.56≈21.6(m)．
即点C离地面的距离为21.6m．
(1)连接AD，过点F作FM⊥AD交AD延长线于点M，在Rt△FDM中，根据锐角三角函数，即可求解；
(2)过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则MN=CF=2×4=8m，CN=FM=1.6x m，根据题意得：AD=6m，可得AN=(x+14)m，在Rt△ACN中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图所示，连接OC，∵CF=CA，
∴∠ABC=∠EBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠OCB=∠EBC，
∴OC//BE，
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE．
(2)解：∵DC=53EC，
∴设DC=5a，则EC=3a，
∴DE=8a，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，OD=DA+OA=2+r，DB=2+2r，
由(1)可知，OC//BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
∴5a8a=2+r2+2r，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3，
∴AB=6，DB=8，
∵△DCO∽△DEB，
∴OCBE=DODB=58，
∴BE=245．
【解析】(1)如图所示，连接OC，可证OC//BE，根据ED为O的切线，OC⊥DE，即可求证；
(2)根据(1)中OC//BE，设⊙O的半径为r，可证△DCO∽△DEB，可算出⊙O的半径，再根据三角形相似即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，
∴402x−10x=10，
解得：x=1，
经检验，x=1是方程的解，
∴普通辣条的进价为1元，卫龙辣条的进价为2元；
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(800−m)包，
∵普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，
∴800−m≥3m，解得：m≤200，
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，
∴y=(3.5−2)m+1×(800−m)，
=1.5m+800−m
=0.5m+800，
∵0.5>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=200时，y最大，
答：购进卫龙辣条200包，普通辣条600包时，每个月的总获利最大．
【解析】(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(800−m)包，根据题意列出不等式，求得m的范围，进而根据题意列出一次函数关系，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式、一次函数关系式是解题的关键．
24.【答案】①②
【解析】(1)解：如图1，2中：可知△ABC和△ACD；△BAC和△BCD是成自位似轴对称．
故答案为：①②
(2)解：由题可知，△BCD≌△BC′D′，BE为对称轴所在直线，
∴∠CD′C′=90°
∵∠ECD′是公共角，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CD′C′=90°，
∴△CD′E∽△CDB(AA)，
∴CEBC=CD′CD．
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=125．
∴BD= BC2−CD2= 42−(125)2=165=BD′，
∴CD′=BC−BD′=4−165=45．
将BC、CD、CD′代入CEBC=CD′CD得
CE4=45125，
解得CE=43．
(3)证明：如图4，
延长BE，交AC于F，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴BECD=AEAD，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
∵∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠ADB=∠CAD+∠C，
∴∠AEF=∠ADB，
∴△EAF∽△ADB，
∴EFBD=AEAD，
∴BECD=EFBD，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴BE=EF，
∴DE//AC．
(1)利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似．
(2)如图，根据轴对称性质得出△BCD≌△BC′D′，再证得△CD′E∽△CDB，根据对应边成比例，算出结果．
(3)延长BE，交AC于F，得出△ABE∽△ACD，利用三角形的外角定理得出△EAF∽△ADB，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
25.【答案】8 10
【解析】解：(1)把B(3,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴二次函数的表达式为y=x2−2x−3；
(2)如图：
由B(3,0)，C(0,−3)得直线BC解析式为y=x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
设P(m,m−3)，则M(m,m2−2m−3)，N(2−m,m2−2m−3)，
∴PM=|m2−3m|，MN=|2−2m|，
∵PM=MN，
∴|m2−3m|=|2−2m|，
解得m=2或m=−1或m=5+ 172或m=5− 172；
∴点P的横坐标为2或−1或5+ 172或5− 172；
(3)过Q作QG//BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A′，连接A′Q，A′A，A′D，A′G，如图：
∵C(0,−3)，C，D关于x轴对称，
∴D(0,3)，
在y=x2−2x−3中，令y=0得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，QG//BC，
∴AG=3BG，
∴AG=3，BG=1，
∴G(2,0)，
∴AG=3，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵A关于QG的对称点为A′，
∴AQ=A′Q，
∴DQ+AQ=DQ+A′Q≥A′D，
∴3AP+4DQ=4(34AP+DQ)=4(AQ+DQ)≥4A′D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA′⊥QG，
∴∠A′AG=45°，
∵AG=A′G=3，
∴∠AA′G=45°，
∴∠AGA′=90°，
∴A′(2,−3)，
∴A′D= 22+(−3−3)2=2 10，
又3AP+4DQ≥4A′D，
∴3AP+4DQ≥8 10，
∴3AP+4DQ的最小值为8 10．
故答案为：8 10．
(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为y=x2−2x−3；
(2)由B(3,0)，C(0,−3)得直线BC解析式为y=x−3，由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，得抛物线对称轴为直线x=1，设P(m,m−3)，可得PM=|m2−3m|，MN=|2−2m|，故|m2−3m|=|2−2m|，即可解得点P的横坐标为2或−1或5+ 172或5− 172；
(3)过Q作QG//BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A′，连接A′Q，A′A，A′D，A′G，由C(0,−3)，C，D关于x轴对称，得D(0,3)，在y=x2−2x−3中，可得A(−1,0)，AB=4，由AQ=3PQ，QG//BC，即可求得G(2,0)，AG=3，而OB=OC，有∠OBC=45°，因AQ=A′Q，故DQ+AQ=DQ+A′Q≥A′D，又3AP+4DQ=4(34AP+DQ)=4(AQ+DQ)≥4A′D，根据∠QGA=∠CBO=45°，AA′⊥QG，可求得A′(2,−3)，即得A′D= 22+(−3−3)2=2 10，从而可求得3AP+4DQ的最小值为8 10．
本题考查二次函数综合应用，涉及解绝对值方程，待定系数法求解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
换算为体考分数
成绩(米)
频数
10
x>9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
1. −17的绝对值是( )
A. −7B. 7C. −17D. 17
2. 如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万=55750000，用科学记数法将55750000表示为( )
A. 5575×104B. 55.75×105C. 5.575×107D. 0.5575×108
4. 如图，AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为( )
A. 55°
B. 75°
C. 80°
D. 105°
5. 下列运算正确的是( )
A. 2a−a=2B. (a−1)2=a2−1
C. (2a3)2=4a6D. a6÷a3=a2
6. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7. 两数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )
A. m>n B. −n>|m| C. −m>|n| D. |m|<|n|
8. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是( )
A. ①B. ②C. ①②D. ①③
9. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于12AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC=2∠AFB，则AF的长为( )
A. 32B. 2C. 3D. 4
10. 点A(2,4)为二次函数y=x2图象上一点，点B是该函数图象上一个动点(不与点A重合)，连结AB，过点A作AC⊥AB，交二次函数图象于点C(不与点A重合)，连结BC，点O为坐标原点，作OH垂直于直线BC于H，则OH的最大值为( )
A. 27B. 29C. 31D. 33
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：x2−4y2= ．
12. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．
13. 方程xx−1=12x−2的解是______ ．
14. 运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区.某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为______ ．
15. 如图，Rt△ABC中，BC=4，AC=8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束，在这个运动过程中，点C运动的路径长是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a,−72)在直线y=−32x−12上，AB//y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=mx经过点B．
(1)求a的值及双曲线y=mx的解析式；
(2)经过点B的直线与双曲线y=mx的另一个交点为点C，且△ABC的面积为274．
①求直线BC的解析式；
②过点B作BD//x轴交直线y=−32x−12于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算： 12+(sin75°−2021)0−(13)−1−4cs30°．
18. (本小题8.0分)
解不等式组2−x≤2(x+4)x
如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F.求证：AE=CF．
20. (本小题8.0分)
某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下(单位：米)：9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8.根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是______ ；
(4)根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
21. (本小题8.0分)
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外.小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍.已知小华身高1.8m，无人机匀速飞行的速度是4m/s，当小华在B处时，测得无人机(C处)的仰角为37°；两秒后，小华沿正东方向小跑6m到达E处，此时测得迎面飞来的无人机(F处)的仰角为58°，CF平行于地面(直线l).设点D与点F的水平距离为x m．
(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：______ m；
(2)求点C离地面的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1)
22. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若DC=53EC，DA=2，求BE的长．
23. (本小题8.0分)
卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎.林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的2倍，用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包．
(1)求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
(2)该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共800包，并分别按3.5元/包、2元/包的价格全部售出.若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．
24. (本小题8.0分)
平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
(1)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC
(3)如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，连接DE，求证：DE//AC．
25. (本小题8.0分)
如图(1)，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,−3)，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=MN时，求点P的横坐标；
(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，求3AP+4DQ的最小值______ (直接写出答案)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−17|=17．
根据绝对值的定义即可解答．
2.【答案】A
【解析】解：从左边看，是一列3个小正方形．
故选：A．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
3.【答案】C
【解析】解：55750000=5.575×107，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=∠4+∠2，
∴∠3=45°+35°=80°．
故选：C．
由平行线的性质可得∠4=∠1，再利用三角形的外角性质即可求得∠3的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】C
【解析】解：A.根据合并同类项法则，2a−a=a，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据完全平方公式，(a−1)2=a2+1−2a，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，(2a3)2=4a6，那么C正确，故C符合题意．
D.根据同底数幂的除法，a6÷a3=a3，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
本题主要考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查有理数与数轴以及有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
从数轴上可以看出m、n都是负数，且m
解：因为m、n都是负数，且m
A.m>n是错误的；
B.|m|>|n|，即|m|>−n，故−n>|m|是错误的；
C.|m|>|n|，即−m>|n|，故−m>|n|是正确的；
D.|m|<|n|是错误的．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【解答】
解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，
“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，
显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，
则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N．
∵BA=BD，AF=DF，BF=BF，
∴△ABF≌△DBF(SSS)，
∴∠ABF=∠DBF，∠BAF=∠BDF，∠AFB=∠DFB，
∵FM⊥BC，FN⊥BA，
∴FM=FN，
∴S△BCFS△ABF=12⋅BC⋅FM12⋅AB⋅FN=FCAF，
∴FCAF=BCAB=3，
∴FC=3AF，
∵AB=DB=3，BC=9，
∴CD=9−3=6，
∵∠BAF=2∠AFB=∠AFD，
∴∠AFD=∠BDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=6，
∴AF=2，
故选：B．
如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N.首先证明：FC：AF=BC：AB=3，想办法求出CF，证明CF=CD=6，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：设B(m,m2)，C(n,n2)，直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(m,m2)，C(n,n2)代入得，km+b=m2kn+b=n2，
解得k=m+nb=−mn，
∴直线BC的解析式为y=(m+n)x−mn，
如图，过A作MN//x轴，过C作CM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，则M(n,4)，N(m,4)，
∴CM=n2−4，AM=2−n，AN=m−2，BN=m2−4，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAM+∠BAN=∠BAN+∠ABN，
∴∠CAM=∠ABN，
∴△CAM∽△ABN，
∴CMAN=AMBN，即n2−4m−2=2−nm2−4，整理得，−mn=2(m+n)+5，
∴y=(m+n)x−mn=(m+n)x+2(m+n)+5=(m+n)(x+2)+5，
当x=−2时，y=5，
∴直线BC过定点E(−2,5)，如图，
∵OH⊥BC，OH′≤OE，
∴当H与(−2,5)重合时，OH最大，值为 (−2−0)2+(5−0)2= 29，
故选：B．
设B(m,m2)，C(n,n2)，直线BC的解析式为y=kx+b，待定系数法求解得直线BC的解析式为y=(m+n)x−mn，如图，过A作MN//x轴，过C作CM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，则M(n,4)，N(m,4)，CM=n2−4，AM=2−n，AN=m−2，BN=m2−4，证明△CAM∽△ABN，则CMAN=AMBN，即n2−4m−2=2−nm2−4，整理得，−mn=2(m+n)+5，y=(m+n)x−mn=(m+n)(x+2)+5，当x=−2时，y=5，可知直线BC过定点E(−2,5)，如图，由OH⊥BC，OH′≤OE，可知当H与(−2,5)重合时，OH最大，值为 (−2−0)2+(5−0)2，计算求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，勾股定理等知识，确定直线BC所经过的定点坐标是解题的关键．
11.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
12.【答案】14
【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值=14，
∴小球最终停留在黑色区域的概率=14，
故答案为：14．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】x=12
【解析】解：去分母得：2x=1，
解得：x=12，
检验：当x=12时，2(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=12．
故答案为：x=12．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14.【答案】10%
【解析】解：设年平均增长率为x，
∴350(1+x)2=423.5，
∴(1+x)2=1.21，
∵2024年苹果储存量增加，
∴增长率是正数，
∴x=0.1，即增长率为10%，
故答案为：10%．
根据增长率的计算方法，设年平均增长率为x，列方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握增长率的计算方法，方程的运用是解题的关键．
15.【答案】8 5−12
【解析】解：由题意可知，在运动过程中，点C运动的路径是当Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合的边AC线段上，如图所示：
在Rt△ABC中，BC=4，AC=8，则有勾股定理可得AB= 42+82=4 5，
①当A从O到如图所示的点A处时：
此时C′A⊥y轴，则点C运动的路径长是CC′的长，
∴AC′=OC=8，
∵AC′//OB，
∴∠AC′O=∠COB，
∴cs∠AC′O=cs∠COB，即OCOB=AC′OC′，
∴84 5=8OC′，
∴OC′=4 5，
∴CC′=4 5−8；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图所示：
此时点C运动的路径是从C′到C，则点C运动的路径长是CC′，
CC′=OC′−BC=4 5−4；
综上所述，点C运动的路径长是4 5−8+4 5−4=8 5−12，
故答案为：8 5−12．
根据题意分析，在运动过程中，点C运动的路径是初始位置时AC线段，分为两种情况：①当A从O到如图所示的点A处时，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图所示，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′；分别计算并相加即可得到答案．
本题考查轨迹问题、解直角三角形等知识，利用了数形结合的思想，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，难度较大，搞懂动点轨迹是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)∵点A(a,−72)在直线y=−32x−12上，
∴−32a−12=72，解得a=2，
则A(2,−72)，
∵AB//y轴，且点B的纵坐标为1，
∴点B的坐标为(2,1)．
∵双曲线y=mx经过点B(2,1)，
∴m=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)①设C(t,2t)，
∵A(2,−72)，B(2,1)，
∴12×(2−t)×(1+72)=274，
解得t=−1，
∴点C的坐标为(−1,−2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(2,1)，C(−1,−2)代入得2k+b=1−k+b=−2，
解得k=1b=−1，
∴直线BC的解析式为y=x−1；
②当y=1时，−32x−12=1，解得x=−1，则D(−1,1)，
∵直线BCy=x−1为直线y=x向下平移1个单位得到，
∴直线BC与x轴的夹角为45°，
而BD//x轴，
∴∠DBC=45°，
当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为12，当x=12时，y=x−1=−12，此时P(12,−12)，
若∠BDP=90°，则PD//y轴，P点的横坐标为−1，当x=−1时，y=x−1=−2，此时P(−1,−2)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(−1,−2)或(12,−12).
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征可得到−32a−12=72，解得a=2，则A(2,−72)，再确定点B的坐标为(2,1)，然后把B点坐标代入y=mx中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；
(2)①设C(t,2t)，根据三角形面积公式得到12×(2−t)×(1+72)=274，解得t=−1，则点C的坐标为(−1,−2)，再利用待定系数法求直线BC的解析式；
②先确定D(−1,1)，根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD//x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P(12,−12)；若∠BDP=90°，利用PD//y轴，易得此时P(−1,−2)．
17.【答案】解： 12+(sin75°−2021)0−(13)−1−4cs30°
=2 3+1−3−4× 32
=2 3−2−2 3
=−2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18.【答案】解：2−x≤2(x+4) ①x
解不等式②得，x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1．
∴不等式组的最大整数解为x=0，
【解析】先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．
此题是一元一次不等式组的整数解题，主要考查了不等式得解法和不等式组的解集的确定及整数解的确定，解本题的关键是不等式的解法运用．
19.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAO=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20.【答案】6 3 108°
【解析】解：(1)由样本可知，符合7.7≤x≤9.5的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个，
∴a=6，
符合3.0≤x≤5.2的有5，5.1，4.8共3个，
∴b=3，
故答案为：6，3；
(2)补全条形统计图如图：
(3)∵620×360°=108°，
∴“(8分)”对应的圆心角的度数是108°，
故答案为：108°；
(4)∵4+620×400=200(人)
∴该校九年级学生实心球体考分数不低于(8分)的有200人．
(1)结合数据统计即可；
(2)根据(1)中的结果，补全条形统计图即可；
(3)“(8分)”对应的圆心角的度数等于360°乘以它所对应的百分比；
(4)用400乘以不低于(8分)所占的百分比即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等．理解统计图表中的数量关系是正确计算的前提．
21.【答案】1.6x
【解析】解：(1)如图，连接AD，过点F作FM⊥AD交AD延长线于点M，
根据题意得：DM=x m，∠FDM=58°，
在Rt△FDM中，FM=DM×tan∠FDM≈1.6x m，
即点D与点F的铅垂距离为1.6x m；
故答案为：1.6x；
(2)过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则MN=CF=2×4=8m，CN=FM=1.6x m，
根据题意得：AD=6m，
∴AN=AD+DM+FC=6+x+8=(x+14)(m)，
在Rt△ACN中，tan∠CAN=tan37°=CNAN，
∴1.6xx+14≈0.75，
解得：x≈12.35，
∴CH=1.6x+1.8=21.56≈21.6(m)．
即点C离地面的距离为21.6m．
(1)连接AD，过点F作FM⊥AD交AD延长线于点M，在Rt△FDM中，根据锐角三角函数，即可求解；
(2)过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则MN=CF=2×4=8m，CN=FM=1.6x m，根据题意得：AD=6m，可得AN=(x+14)m，在Rt△ACN中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图所示，连接OC，∵CF=CA，
∴∠ABC=∠EBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠OCB=∠EBC，
∴OC//BE，
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE．
(2)解：∵DC=53EC，
∴设DC=5a，则EC=3a，
∴DE=8a，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，OD=DA+OA=2+r，DB=2+2r，
由(1)可知，OC//BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
∴5a8a=2+r2+2r，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3，
∴AB=6，DB=8，
∵△DCO∽△DEB，
∴OCBE=DODB=58，
∴BE=245．
【解析】(1)如图所示，连接OC，可证OC//BE，根据ED为O的切线，OC⊥DE，即可求证；
(2)根据(1)中OC//BE，设⊙O的半径为r，可证△DCO∽△DEB，可算出⊙O的半径，再根据三角形相似即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，
∴402x−10x=10，
解得：x=1，
经检验，x=1是方程的解，
∴普通辣条的进价为1元，卫龙辣条的进价为2元；
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(800−m)包，
∵普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，
∴800−m≥3m，解得：m≤200，
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，
∴y=(3.5−2)m+1×(800−m)，
=1.5m+800−m
=0.5m+800，
∵0.5>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=200时，y最大，
答：购进卫龙辣条200包，普通辣条600包时，每个月的总获利最大．
【解析】(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(800−m)包，根据题意列出不等式，求得m的范围，进而根据题意列出一次函数关系，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式、一次函数关系式是解题的关键．
24.【答案】①②
【解析】(1)解：如图1，2中：可知△ABC和△ACD；△BAC和△BCD是成自位似轴对称．
故答案为：①②
(2)解：由题可知，△BCD≌△BC′D′，BE为对称轴所在直线，
∴∠CD′C′=90°
∵∠ECD′是公共角，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CD′C′=90°，
∴△CD′E∽△CDB(AA)，
∴CEBC=CD′CD．
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=125．
∴BD= BC2−CD2= 42−(125)2=165=BD′，
∴CD′=BC−BD′=4−165=45．
将BC、CD、CD′代入CEBC=CD′CD得
CE4=45125，
解得CE=43．
(3)证明：如图4，
延长BE，交AC于F，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴BECD=AEAD，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
∵∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠ADB=∠CAD+∠C，
∴∠AEF=∠ADB，
∴△EAF∽△ADB，
∴EFBD=AEAD，
∴BECD=EFBD，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴BE=EF，
∴DE//AC．
(1)利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似．
(2)如图，根据轴对称性质得出△BCD≌△BC′D′，再证得△CD′E∽△CDB，根据对应边成比例，算出结果．
(3)延长BE，交AC于F，得出△ABE∽△ACD，利用三角形的外角定理得出△EAF∽△ADB，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
25.【答案】8 10
【解析】解：(1)把B(3,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴二次函数的表达式为y=x2−2x−3；
(2)如图：
由B(3,0)，C(0,−3)得直线BC解析式为y=x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
设P(m,m−3)，则M(m,m2−2m−3)，N(2−m,m2−2m−3)，
∴PM=|m2−3m|，MN=|2−2m|，
∵PM=MN，
∴|m2−3m|=|2−2m|，
解得m=2或m=−1或m=5+ 172或m=5− 172；
∴点P的横坐标为2或−1或5+ 172或5− 172；
(3)过Q作QG//BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A′，连接A′Q，A′A，A′D，A′G，如图：
∵C(0,−3)，C，D关于x轴对称，
∴D(0,3)，
在y=x2−2x−3中，令y=0得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，QG//BC，
∴AG=3BG，
∴AG=3，BG=1，
∴G(2,0)，
∴AG=3，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵A关于QG的对称点为A′，
∴AQ=A′Q，
∴DQ+AQ=DQ+A′Q≥A′D，
∴3AP+4DQ=4(34AP+DQ)=4(AQ+DQ)≥4A′D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA′⊥QG，
∴∠A′AG=45°，
∵AG=A′G=3，
∴∠AA′G=45°，
∴∠AGA′=90°，
∴A′(2,−3)，
∴A′D= 22+(−3−3)2=2 10，
又3AP+4DQ≥4A′D，
∴3AP+4DQ≥8 10，
∴3AP+4DQ的最小值为8 10．
故答案为：8 10．
(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为y=x2−2x−3；
(2)由B(3,0)，C(0,−3)得直线BC解析式为y=x−3，由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，得抛物线对称轴为直线x=1，设P(m,m−3)，可得PM=|m2−3m|，MN=|2−2m|，故|m2−3m|=|2−2m|，即可解得点P的横坐标为2或−1或5+ 172或5− 172；
(3)过Q作QG//BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A′，连接A′Q，A′A，A′D，A′G，由C(0,−3)，C，D关于x轴对称，得D(0,3)，在y=x2−2x−3中，可得A(−1,0)，AB=4，由AQ=3PQ，QG//BC，即可求得G(2,0)，AG=3，而OB=OC，有∠OBC=45°，因AQ=A′Q，故DQ+AQ=DQ+A′Q≥A′D，又3AP+4DQ=4(34AP+DQ)=4(AQ+DQ)≥4A′D，根据∠QGA=∠CBO=45°，AA′⊥QG，可求得A′(2,−3)，即得A′D= 22+(−3−3)2=2 10，从而可求得3AP+4DQ的最小值为8 10．
本题考查二次函数综合应用，涉及解绝对值方程，待定系数法求解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
换算为体考分数
成绩(米)
频数
10
x>9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
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