五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

【2019年】

1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

2．（2019·天津卷）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】当时，恒成立；

当时，恒成立，

令，

则

，

当，即时取等号，

∴，则.

当时，，即恒成立，

令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

则时，取得最小值，

∴，

综上可知，的取值范围是.

故选C.

3．（2019浙江卷）已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；

当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，

令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，

如图：

∴0且，

解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，

则a>–1，b<0.

故选C．

4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】

【解析】

所以切线的斜率，

则曲线在点处的切线方程为，即．

5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是  ▲   .

【答案】4

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由得（舍去），

∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.

故答案为．

6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是  ▲   .

【答案】

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.

设点，则.

又，

当时，，

则曲线在点A处的切线为，

即，

将点代入，得，

即，

考察函数，

当时，，当时，，

且，

当时，单调递增，

注意到，

故存在唯一的实数根，

此时，

故点的坐标为.

7．（2019·北京卷）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

【2018年】

1．（2018·全国Ⅰ卷）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

2．（2018·全国Ⅱ卷）函数的图像大致为

【答案】B

【解析】为奇函数，舍去A；

，∴舍去D；

时，，单调递增，舍去C.

因此选B.

3．（2018·全国Ⅲ卷）函数的图像大致为

【答案】D

【解析】函数图象过定点，排除A，B；

令，则，

由得，得或，此时函数单调递增，

由得，得或，此时函数单调递减，排除C.

故选D.

4．（2018·全国Ⅱ卷）曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

则所求的切线方程为.

5．（2018·全国Ⅲ卷）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】-3

【解析】，则，所以.

6．（2018·全国Ⅰ卷）已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，

从而得到函数的递减区间为，

函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，

此时，

所以，

故答案是.

7．（2018·江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3

【解析】由得或，

因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，

因此解得.

从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，

则

故答案为-3.

【2017年】

1．（2017·全国Ⅲ卷）已知函数有唯一零点，则a=

A． B．

C． D．1

【答案】C

【解析】函数的零点满足，

设，则，

当时，；当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

当时，函数取得最小值，为.

设，当时，函数取得最小值，为，

若，函数与函数没有交点；

若，当时，函数和有一个交点，

即，解得.故选C.

2．（2017·全国Ⅱ卷）若是函数的极值点，则的极小值为

A． B．

C． D．1

【答案】A

【解析】由题可得，

因为，所以，，故，

令，解得或，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为.

故选A．

3．（2017·浙江卷）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是

【答案】D 

【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

11．（2017·江苏卷）已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【解析】因为，所以函数是奇函数，

因为，所以函数在上单调递增，

又，即，

所以，即，

解得，

故实数的取值范围为．

12．（2017·山东卷）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为       .

 ①  ②   ③  ④

【答案】①④

【解析】①在R上单调递增，故具有性质；

②在R上单调递减，故不具有性质；

③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；

④，令，则，则在R上单调递增，故具有性质．

【2016年】

1. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（    ）

（A）   （B）   （C）  （D）

【答案】A

【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点，使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A。

2.【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(    )

（A）(0,1)  （B）(0,2)  （C）(0,+∞)  （D）(1,+∞)

【答案】A

【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，，，．故选A．

3.【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则        ．

【答案】

【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.

4.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在

点处的切线方程是_______________．

【答案】

【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．