五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题19 函数与导数综合

专题19 函数与导数综合

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：；

（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

3.（2020·新课标Ⅲ）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

4.（2020·北京卷）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

5.（2020·江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?

6.（2020·江苏卷）已知关于x的函数与在区间D上恒有．

（1）若，求h(x)的表达式；

（2）若，求k的取值范围；

（3）若求证：．

7.（2020·山东卷）已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

8.（2020·天津卷）已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．

9.（2020·浙江卷）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

【2019年】

8．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

9．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.

10．【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

11．【2019年高考北京】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

12．【2019年高考天津】设函数为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．

13．【2019年高考浙江】已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 求的取值范围．

注：e=2.71828…为自然对数的底数．

14．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

【2018年】

20. （2018年浙江卷）已知函数f(x)=−lnx．

（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

21. （2018年天津卷）已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

22. （2018年北京卷）设函数=[]．

（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；

（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

23. （2018年江苏卷）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．

（1）证明：函数与不存在“S点”；

（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．24. （2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

25. （2018年全国I卷理数）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

26. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，；

（2）若是的极大值点，求．

27. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

【2017年】

4.【2017课标1，理21】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

5.【2017课标II，理】已知函数，且。

(1)求；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且。

6.【2017课标3，理21】已知函数 .

（1）若 ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值.

7.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

8.【2017北京，理19】已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
9.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，函数，求证：；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.

10.【2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f(x)=（x–）（）．

（Ⅰ）求f(x)的导函数；

（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）[0， ]．

【解析】

【2017江苏，20】  已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

  （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；

  （2）证明：;

  （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.

【2016年】

5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.

6.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立.

7.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

已知函数.

设.

（1）求方程的根;

（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。

8.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）

设函数,，其中

(I)求的单调区间；

(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；

（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

9.【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）证明．

10.【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，

其中min{p，q}=

（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；

（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

11.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；

(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

12.【2016年高考北京理数】（本小题13分）

设函数，曲线在点处的切线方程为，[来源:学,科,网]

（1）求，的值；

（2）求的单调区间.

[来源:学科网ZXXK]