江苏省常州市2020-2021学年高三下学期学业水平监测期初联考数学试卷（word版含答案）

江苏省常州市2021届高三学业水平监测期初联考

数学试题

2021．2

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合A＝，B＝，若AB，则实数a的取值范围为

   A．{0}                              B．{﹣1，3}

C．(，0)(3，)                D．(，﹣1)(3，)

2．i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为

   A．(，)    B．(，)    C．(，)     D．(，)

3．已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的

A．充要条件                         B．充分不必要条件

C．必要不充分条件                   D．既不充分又不必要条件

4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为

   A．(0，1)          B．(0，)       C．(，)     D．(，1)

5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区

域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率

为

   A．                   B．

C．                   D．                                 第5题

6．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是

A． B．     C．  D．

7．令(xR)，则 ＝

   A．      B．      C．      D．

8．函数，A＞0，＞0，k，bR，则函数在区间(﹣，)上的零点最多有

A．4个            B．5个            C．6个            D．7个

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且(﹣)·(﹣)＝0，则下列结论中正确的有

   A．                         B．

C．                          D．，的夹角是钝角

10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有

附：随机变量服从正态分布N(，)，则P(﹣2＜ξ＜＋2)＝0.9545

A．该校学生成绩的期望为110          B．该校学生成绩的标准差为9

C．该校学生成绩的标准差为81         D．该校学生成绩及格率超过95%

11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有

   A．                           B．

   C．           D．

12．设函数的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]D，且对任意的[﹣a，a]，总存在[﹣a，a]，使得，称函数为P(a)函数，则下列结论中正确的有

A．函数是P(1)函数

B．函数是P(2)函数

C．若函数是P(2)函数，则t＝4

D．若函数是P()函数，则b＝

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为       ．

14．函数的最小正周期T＝       ．

15．已知椭圆C1：的右焦点F也是抛物线C2：y2＝nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n＝       ，椭圆C1的离心率e＝       ．

16．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是       ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设等比数列的公比为q(q≠1)，前n项和为．

（1）若，，求的值；

（2）若q＞1，，且，m，求m的值．

18．（本小题满分12分）

已知△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2＋3c2＝3a2＋2bc．

（1）求sinA的值；

（2）若sinB＝2sinC，求tanC的值．

19．（本小题满分12分）

已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．

（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；

（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝AP＝2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角P—BC—A的大小为45°．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，a，bR．

（1）若a＞0，b＞0，且1是函数的极值点，求的最小值；

（2）若b＝a＋1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知等轴双曲线C：(a＞0，b＞0)经过点(，)．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B(0，1)．①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值．

参考答案

1．D     2．A     3．B     4．C     5．A     6．D     7．C     8．B

9．BC             10．ABD          11．ACD           12．AD

13．80π           14．            15．4，    16．(﹣3，0)(0，)(，)

17．

18．

19．

20．

21．

22．