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2021年高考艺术生数学基础复习 考点21 相互独立事件与正态分布（教师版含解析）
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这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点21 相互独立事件与正态分布（教师版含解析），共35页。教案主要包含了相互独立实验等内容，欢迎下载使用。
考点21 相互独立事件与正态分布
知识理解
一．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
(5)相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(6)P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
二．正态分布
(一)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(二)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
考向分析
考向一 相互独立实验
【例2】(2020·九江市同文中学高三期中)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.
(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；
(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】(1)甲恰好答对4道必答题的概率为.
(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为.
甲得分的可能性为分，分，0分，3分，5分和10分.
所以，
，
，
，
.
所以的分布列为
0
3
5
10
【举一反三】
1．(2020·广西桂林十八中高三月考)张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，.
(1)若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)分别列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)设走路线最多遇到1次红灯为A事件，
则
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为
(2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3
，
(每对一个1分)
，
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
.
2．(2020·全国高三专题练习)张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为.
(1)求张明进入下一轮的概率；
(2)设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)张明答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
张明进入下一轮的概率为；
(2)可能取值为､､､，
当时可能答对道题进入下一轮，也可能打错道题被淘汰，
，，
，
，
于是的分布列为：
.
3．(2020·全国高三专题练习)为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元(不足小时的部分按小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析．
【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为；
两人都付元的概率为；
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，.
所以，随机变量的分布列为：
考向二 正态分布
【例2-1】．(2020·江苏扬州市·高三开学考试)已知随机变量，，则( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【解析】由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，
∴；故选：A
【例2-2】(2020·江西省信丰中学高三月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求；
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果，求.
附：
若则，．
【答案】(I)；(II)(i)；(ii)．
【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
(II)(i)由(I)知，服从正态分布，从而
．
(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)随机变量，，若，，则________
【答案】
【解析】∵随机变量服从，符合二项分布，
由二项分布概率公式：得：
∴，解得，
又，∴.故答案为：.
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)已知，若，则______．
【答案】
【解析】：因为，所以正态密度曲线的对称轴为
因为所以，所以
故答案为：
3．(2020·全国高三专题练习)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量(Kg)
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
(参考数据：若，则，，)
【答案】(1)甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头；(2)分布列见解析，135450元.
【解析】(1)由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为
∴，
∴(头)；
同理，，
∴(头)；
，
∴(头).
所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。
(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.
，，，
所以的分布列为：
所以(元)，
由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为(元).
4．(2020·江苏无锡市·高三开学考试)为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率)：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；
②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.
【答案】(1)其性能等级为丙；(2)①；②分布列见解析；期望为.
【解析】(1)，
，
，
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.
(2)易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为.
①由题意可知，于是.
②由题意可知的取值有、、，
，，.
的概率分布列为：
故.
考向三 均值与方差的运用
【例3】(2020·全国高三专题练习)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.
(1)若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求(用p表示)；
(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求(用p表示)；
(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)解：由题意
则盈利的天坑院数的均值.
(2)若投资项目二，则的分布列为
2
-1.2
盈利的均值.
(3)若盈利，则每个天坑院盈利(百万元)，
所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为
(百万元).
①当时，，
解得.
.故选择项目一.
②当时，，
解得.
此时选择项一.
③当时，，解得.
此时选择项二.
【举一反三】
1．(2020·河北枣强中学高三月考)中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量(单位：)的数据，得到如下茎叶图(表中的周降雨量为一周内降雨量的总和).
另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
周降雨量(单位：)
猕猴桃灾害等级
轻灾
正常
轻灾
重灾
根据上述信息，解答如下问题.
(1)根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；
(2)以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.
方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.
方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.
【答案】(1)中位数为12.5，众数为10；(2)①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为；②选择方案一比较好；答案见解析.
【解析】(1)根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10
(2)①根据图中的数据，可得该地区周降雨量(单位：)的概率：
，，，，
(轻灾)，(重灾)
因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为
②方案1：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为600，，则的分布列如下：
6000
则(元)，则每亩净利润为(元)；
方案2：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为6000元，于是，，净利润为(元)；
方案3：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为6000，，，
则的分布列如下：
6000
则(元)，于是每亩亏损为1400(元)；
由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.
2．(2020·全国高三其他模拟)某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．
(1)若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；
(2)已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？
【答案】(1)；(2)由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
【解析】(1)令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量．
由题意有，则，
故．
由，有，解得：．
故当时，p的取值范围为．
(2)
当时，由(1)知，．
设需要赔付给消费者的费用为Z元，有．
由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
3．(2020·全国高三月考)某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗、、．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为．
(1)任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；
(2)将(1)中的数学期望取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利期望不低于万元，问至少要引种种树苗多少棵？
【答案】(1)分布列见解析，；(2)①；②棵.
【解析】(1)依题意，的所有可能值为、、、，
则，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为：
；
(2)由(1)知当时，取得最大值．
①一棵种树苗最终成活的概率为：，
②记为棵树苗的成活棵数，则，，
，．
所以该农户至少要种植棵树苗，才可获利不低于万元．
强化练习
1．(2020·全国高三专题练习)设每个工作日甲､乙､丙､丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30 C．0.31 D．0.35
【答案】C
【解析】设甲､乙､丙､丁需使用设备分别为事件，，，，
则，，，
所以恰好人使用设备的概率为
人使用设备的概率故所求概率.故选：C.
2．(2021·全国高三专题练习)已知随机变量，且，则的展开式中的系数为( )
A．40 B．120 C．240 D．280
【答案】D
【解析】根据正态曲线的性质可知，，解得，
的展开式的通项公式为，，
的展开式的通项公式为，，
令两式展开通项之积的指数为，可得或，
∴的展开式中的系数为，
故选：D.
3．(2020·全国高三专题练习)某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则_____
【答案】
【解析】由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为，即，整理得.故答案为：.
4．(2020·全国高三专题练习)2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
【答案】
【解析】由题意，可得每名学生的英语成绩，所以，
则全市随机抽取的4名同学中恰有2名的英语成绩超过95分的概率是.故答案为：
5．(2020·全国高三专题练习)已知随机变量，若，则_______.
【答案】0.1
【解析】∵随机变量，
∴，解得或(舍)，又，
∴，故答案为：0.1
6．(2020·江苏高三月考)已知随机变量服从正态分布,且，则_________
【答案】0.2
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(1，o2)，∴正态曲线的对称轴是x＝1
∵P(X＜2)＝0.7，∴P(1＜X＜2)＝0.7-0.5=0.2，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)＝0.2，故答案为0.2．
7．(2020·辽宁高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.3，则P(2＜ξ＜6)＝_____．
【答案】0.4
【解析】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，
又，，则．故答案为：0.4．
8．(2020·全国高三专题练习)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________.
【答案】
【解析】(1)根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第2个问题回答错误，第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
由相互独立事件的概率公式得：
(2)根据题意，设答对的事件为A，可分第3个问题回答正确与错误两类，若第3个问题回答正确则有或两类情况，其概率为：
若第3个问题回答错误，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率为：
所以选手回答了5个问题结束的概率为：
故答案为：，
9．(2021·河南郑州市·高三一模)教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.
(1)求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔
(2)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；
(3)现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务
的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.
【答案】(1)；(2)第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人，理由见解析；(3)按照先后的顺序所需人数期望最小.
【解析】(1)名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为
(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是人.
设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有:
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人.
(3)按照先后的顺序所需人数期望最小.
设表示先后完成任务所需人员数目，则
设表示先后完成任务所需人员数目，则
.
故按照先后的顺序所需人数期望最小.
【点睛】
关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设表示先后完成任务所需人员数目，得出，设表示先后完成任务所需人员数目，则，相减得出大小，属于中档题.
10．(2020·凌源市第二高级中学高三期中)某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
(1)求抽取的辆单车中有辆是蓝色颜色单车的概率；
(2)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析.
【解析】(1)因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即，
所以抽取的辆单车中有辆是蓝颜色单车的概率为；
(2)随机变量的可能取值为：、、、、，
，，，
，.
所以的分布列如下表所示：
12．(2020·河南周口市·高三月考)某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为(为常数且)，乙产品的正品率为.生产1件甲产品，若是正品，则可盈利4万元，若是次品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品，则可盈利6万元，若是次品，则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.
(1)记(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，若，求；
(2)在(1)的条件下，求生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率.
【答案】(1)；(2)0.8192.
【解析】(1)由题设知，的可能取值为10，5，2，-3，
且，，
，.
所以的分布列为：
所以，
因为，所以，解得.
(2)设生产的4件甲产品中正品有件，则次品有件，
由题意知，，则或.
所以.
故所求概率为0.8192.
13．(2020·四川南充市·阆中中学高三月考)2020年全球爆发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高.通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率，在某高风险地区，公共场合未佩戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立.
(1)若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率
(2)若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为，求：.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)若他们都未戴口罩，则恰有3人被感染的概率是
(2)当被感染的两人都未戴口罩时，
当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，
当被感染的两人都戴口罩时，
所以
14．(2020·全国高三专题练习)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析， (元).
【解析】(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：
第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为；
第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为.
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
，
，
，
，
，
则化验费η的分布列为
η
10
18
24
30
36
P
所以E(η)＝10＋18×＋24×＋30×＋36×＝ (元)．
15． (2020·江西高三其他模拟)时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是；向乙靶射击，命中的概率为.假设小华同学每次射击的结果相互独立.
(1)求小华同学恰好命中两次的概率；
(2)求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)记：“小华恰好命中两次”为事件A，“小华射击甲靶命中”为事件B，
“小华第一次射击乙靶命中”为事件C，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D，
由题意可知，，
由于，
∴，
故甲同学恰好命中一次的概率为.
(2)，1，2，3，5．
，，
，，
，
X
0
1
2
3
5
P
.
16．(2020·贵溪市实验中学高三月考)有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是、、、，求以下的概率：
(1)4人中至少有2人合格的概率；
(2)4人中恰好只有2人合格的概率.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{没有合格，只有1人合格}，由题意，
1、没有合格的概率为，
2、只有1人合格的概率为，
∴4人中至少有2人合格的概率为；
(2)4人中恰好只有2人合格，则其概率为：
，
17．(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
(1)通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)114人；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，
∴
∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人
(2)的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则
的分布为
故的分布列为：
0
3
5
8
10
13
18(2020·福建高三月考)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量(kg)在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量(Kg)
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
(1)试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
(ⅰ)记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
(ⅱ)假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
(参考数据：若，，，)
【答案】(1)甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头(2)(ⅰ)详见解析(ⅱ)(元)
【解析】(1)由于猪的体重X近似服从正态分布，
设各阶段猪的数量分别为
(头)；
同理，
(头)
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为.
，，
所以Y的分布列为：
1100
400
P
所以(元)
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为(元).
19．(2020·山东高三专题练习)法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位：)
981
972
966
992
1010
1008
954
952
969
978
989
1001
1006
957
952
969
981
984
952
959
987
1006
1000
977
966
尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由
附：
①若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量
②若，则，，；
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
【答案】(1)分布列见解析；期望为1(个)(2)详见解析
【解析】(1)由题意知，的所有可能取值为0，1，2.
；；
.所以的分布列为：
0
1
2
P
所以(个).
(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.
假设面包师没有撒谎，则.
根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，
则.
庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，
这25个数据的平均值为，
由附②数据知，，
由附③知，事件“”为小概率事件，
所以“假设面包师没有撒谎”有误，
所以庞加莱认为面包师撒谎.
20．(2020·山东高三专题练习)某服装店每年春季以每件15元的价格购入型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的型号童裤将以每件10元的价格低价处理(根据经验，1个月内完全能够把型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进型号童裤)．该服装店统计了过去18年中每年该季度型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．
前2月内的销售量(单位：件)
30
40
50
频数(单位：年)
6
8
4
(1)若今年该季度服装店购进型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售型号童裤获取利润的分布列和期望；(结果保留一位小数)
(2)依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件型号童裤时所获得的平均利润最大．
【答案】(1)分布列见解析，元；(2)40件
【解析】(1)设服装店某季度销售型号童裤获得的利润为(单位：元)．
当需求量为30时，，
当需求量为40时，，
当需求量为50时，．
所以，．
故的分布列为
400
600
则(元)．
所以服装店今年销售型号童裤获得的利润均值为533.3元．
(2)设销售型号童裤获得的利润为．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进型号童裤30件时，
；
当购进型号童裤40件时，
；
当购进型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件型号童裤时所获得的平均利润最大．
21． (2020·六安市城南中学高三月考)某单位食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售，如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂，根据调查，得到食堂每天面包销售量(单位：个)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率，同一组数据用该区间的中点值作为代表.
(1)求面包的日销售量(单位：个)的分布列和均值；
(2)若食堂每天购买的面包数量相同，该食堂有以下两种购买方案：方案一：按平均数购买；方案二：按中位数购买，请你以利润期望值为决策依据选择更合理的方案.
【答案】(1)分布列见解析，84；(2)选择方案二.
【解析】(1)由频率分布直方图可知，所有的可能取值为65，75，85，95，105，
且，，
，，
.
因此的分布列为：
65
75
85
95
105
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
.
(2)由(1)知平均数为84，由频率分布直方图可知中位数为.
假设食堂一天所获利润为元，
若选择方案一，即一天买入84个面包，
当时，；
当时，；
当时，，
此时.
若选择方案二，即一天买入85 个面包，
当时，；
当时，；
当时，，
此时.
因为，所以选择方案二.
22．(2020·全国高三专题练习)2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
(1)求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；
(2)已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；
②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.
【答案】(1)分布列见解析；(2)①元；②选择方案二.
【解析】(1)由题意可知，随机变量服从二项分布，
故()
则的分布列为
0
1
2
3
(2)①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，
因为，，
所以.
所以三个接种周期的平均花费为.
②随机变量可能的取值为300，600，900，
设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由(1)知，.
所以，
，
，
所以
因为.
所以选择方案二.
23．(2020·全国高三专题练习)某精密仪器生产厂准备购买，，三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
频数
型号
60
60
0
型号
30
60
30
型号
0
80
40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
(Ⅰ)求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
(Ⅱ)以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)时应当购买18件易损件.
【解析】(Ⅰ)由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率(频率)分布表为：
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
概率(频率)
型号
0
型号
型号
0
设一年中，，三种型号车床更换易损件分别为，，，
三种型号车床更换易损件的总数为，
，
，
所以，
所以一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为.
(Ⅱ)由题意，所有可能取值为16，17，18，19，20，
由(Ⅰ)可知，
故的概率分布列为：
19
20
设购买18件的总费用为，则的可能取值为1.8，2，2.2，
则万元，
设购买19件的总费用为，则的可能取值为1.9，2.1，
则万元，
，所以在购买车床的同时应当购买18件易损件.
考点21 相互独立事件与正态分布
知识理解
一．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
(5)相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(6)P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
二．正态分布
(一)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(二)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
考向分析
考向一 相互独立实验
【例2】(2020·九江市同文中学高三期中)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.
(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；
(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】(1)甲恰好答对4道必答题的概率为.
(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为.
甲得分的可能性为分，分，0分，3分，5分和10分.
所以，
，
，
，
.
所以的分布列为
0
3
5
10
【举一反三】
1．(2020·广西桂林十八中高三月考)张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，.
(1)若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)分别列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)设走路线最多遇到1次红灯为A事件，
则
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为
(2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3
，
(每对一个1分)
，
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
.
2．(2020·全国高三专题练习)张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为.
(1)求张明进入下一轮的概率；
(2)设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)张明答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
答道题进入下一轮的概率为，
张明进入下一轮的概率为；
(2)可能取值为､､､，
当时可能答对道题进入下一轮，也可能打错道题被淘汰，
，，
，
，
于是的分布列为：
.
3．(2020·全国高三专题练习)为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元(不足小时的部分按小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析．
【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为；
两人都付元的概率为；
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，.
所以，随机变量的分布列为：
考向二 正态分布
【例2-1】．(2020·江苏扬州市·高三开学考试)已知随机变量，，则( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【解析】由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，
∴；故选：A
【例2-2】(2020·江西省信丰中学高三月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求；
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果，求.
附：
若则，．
【答案】(I)；(II)(i)；(ii)．
【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
(II)(i)由(I)知，服从正态分布，从而
．
(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)随机变量，，若，，则________
【答案】
【解析】∵随机变量服从，符合二项分布，
由二项分布概率公式：得：
∴，解得，
又，∴.故答案为：.
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)已知，若，则______．
【答案】
【解析】：因为，所以正态密度曲线的对称轴为
因为所以，所以
故答案为：
3．(2020·全国高三专题练习)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量(Kg)
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
(参考数据：若，则，，)
【答案】(1)甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头；(2)分布列见解析，135450元.
【解析】(1)由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为
∴，
∴(头)；
同理，，
∴(头)；
，
∴(头).
所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。
(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.
，，，
所以的分布列为：
所以(元)，
由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为(元).
4．(2020·江苏无锡市·高三开学考试)为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率)：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；
②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.
【答案】(1)其性能等级为丙；(2)①；②分布列见解析；期望为.
【解析】(1)，
，
，
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.
(2)易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为.
①由题意可知，于是.
②由题意可知的取值有、、，
，，.
的概率分布列为：
故.
考向三 均值与方差的运用
【例3】(2020·全国高三专题练习)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.
(1)若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求(用p表示)；
(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求(用p表示)；
(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)解：由题意
则盈利的天坑院数的均值.
(2)若投资项目二，则的分布列为
2
-1.2
盈利的均值.
(3)若盈利，则每个天坑院盈利(百万元)，
所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为
(百万元).
①当时，，
解得.
.故选择项目一.
②当时，，
解得.
此时选择项一.
③当时，，解得.
此时选择项二.
【举一反三】
1．(2020·河北枣强中学高三月考)中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量(单位：)的数据，得到如下茎叶图(表中的周降雨量为一周内降雨量的总和).
另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
周降雨量(单位：)
猕猴桃灾害等级
轻灾
正常
轻灾
重灾
根据上述信息，解答如下问题.
(1)根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；
(2)以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.
方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.
方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.
【答案】(1)中位数为12.5，众数为10；(2)①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为；②选择方案一比较好；答案见解析.
【解析】(1)根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10
(2)①根据图中的数据，可得该地区周降雨量(单位：)的概率：
，，，，
(轻灾)，(重灾)
因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为
②方案1：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为600，，则的分布列如下：
6000
则(元)，则每亩净利润为(元)；
方案2：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为6000元，于是，，净利润为(元)；
方案3：设每亩的获利为(元)，则的可能取值为6000，，，
则的分布列如下：
6000
则(元)，于是每亩亏损为1400(元)；
由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.
2．(2020·全国高三其他模拟)某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．
(1)若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；
(2)已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？
【答案】(1)；(2)由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
【解析】(1)令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量．
由题意有，则，
故．
由，有，解得：．
故当时，p的取值范围为．
(2)
当时，由(1)知，．
设需要赔付给消费者的费用为Z元，有．
由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
3．(2020·全国高三月考)某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗、、．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为．
(1)任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；
(2)将(1)中的数学期望取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利期望不低于万元，问至少要引种种树苗多少棵？
【答案】(1)分布列见解析，；(2)①；②棵.
【解析】(1)依题意，的所有可能值为、、、，
则，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为：
；
(2)由(1)知当时，取得最大值．
①一棵种树苗最终成活的概率为：，
②记为棵树苗的成活棵数，则，，
，．
所以该农户至少要种植棵树苗，才可获利不低于万元．
强化练习
1．(2020·全国高三专题练习)设每个工作日甲､乙､丙､丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30 C．0.31 D．0.35
【答案】C
【解析】设甲､乙､丙､丁需使用设备分别为事件，，，，
则，，，
所以恰好人使用设备的概率为
人使用设备的概率故所求概率.故选：C.
2．(2021·全国高三专题练习)已知随机变量，且，则的展开式中的系数为( )
A．40 B．120 C．240 D．280
【答案】D
【解析】根据正态曲线的性质可知，，解得，
的展开式的通项公式为，，
的展开式的通项公式为，，
令两式展开通项之积的指数为，可得或，
∴的展开式中的系数为，
故选：D.
3．(2020·全国高三专题练习)某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则_____
【答案】
【解析】由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为，即，整理得.故答案为：.
4．(2020·全国高三专题练习)2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
【答案】
【解析】由题意，可得每名学生的英语成绩，所以，
则全市随机抽取的4名同学中恰有2名的英语成绩超过95分的概率是.故答案为：
5．(2020·全国高三专题练习)已知随机变量，若，则_______.
【答案】0.1
【解析】∵随机变量，
∴，解得或(舍)，又，
∴，故答案为：0.1
6．(2020·江苏高三月考)已知随机变量服从正态分布,且，则_________
【答案】0.2
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(1，o2)，∴正态曲线的对称轴是x＝1
∵P(X＜2)＝0.7，∴P(1＜X＜2)＝0.7-0.5=0.2，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)＝0.2，故答案为0.2．
7．(2020·辽宁高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.3，则P(2＜ξ＜6)＝_____．
【答案】0.4
【解析】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，
又，，则．故答案为：0.4．
8．(2020·全国高三专题练习)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________.
【答案】
【解析】(1)根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第2个问题回答错误，第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
由相互独立事件的概率公式得：
(2)根据题意，设答对的事件为A，可分第3个问题回答正确与错误两类，若第3个问题回答正确则有或两类情况，其概率为：
若第3个问题回答错误，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率为：
所以选手回答了5个问题结束的概率为：
故答案为：，
9．(2021·河南郑州市·高三一模)教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.
(1)求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔
(2)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；
(3)现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务
的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.
【答案】(1)；(2)第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人，理由见解析；(3)按照先后的顺序所需人数期望最小.
【解析】(1)名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为
(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是人.
设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有:
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人.
(3)按照先后的顺序所需人数期望最小.
设表示先后完成任务所需人员数目，则
设表示先后完成任务所需人员数目，则
.
故按照先后的顺序所需人数期望最小.
【点睛】
关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设表示先后完成任务所需人员数目，得出，设表示先后完成任务所需人员数目，则，相减得出大小，属于中档题.
10．(2020·凌源市第二高级中学高三期中)某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
(1)求抽取的辆单车中有辆是蓝色颜色单车的概率；
(2)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析.
【解析】(1)因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即，
所以抽取的辆单车中有辆是蓝颜色单车的概率为；
(2)随机变量的可能取值为：、、、、，
，，，
，.
所以的分布列如下表所示：
12．(2020·河南周口市·高三月考)某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为(为常数且)，乙产品的正品率为.生产1件甲产品，若是正品，则可盈利4万元，若是次品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品，则可盈利6万元，若是次品，则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.
(1)记(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，若，求；
(2)在(1)的条件下，求生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率.
【答案】(1)；(2)0.8192.
【解析】(1)由题设知，的可能取值为10，5，2，-3，
且，，
，.
所以的分布列为：
所以，
因为，所以，解得.
(2)设生产的4件甲产品中正品有件，则次品有件，
由题意知，，则或.
所以.
故所求概率为0.8192.
13．(2020·四川南充市·阆中中学高三月考)2020年全球爆发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高.通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率，在某高风险地区，公共场合未佩戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立.
(1)若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率
(2)若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为，求：.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)若他们都未戴口罩，则恰有3人被感染的概率是
(2)当被感染的两人都未戴口罩时，
当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，
当被感染的两人都戴口罩时，
所以
14．(2020·全国高三专题练习)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析， (元).
【解析】(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：
第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为；
第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为.
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
，
，
，
，
，
则化验费η的分布列为
η
10
18
24
30
36
P
所以E(η)＝10＋18×＋24×＋30×＋36×＝ (元)．
15． (2020·江西高三其他模拟)时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是；向乙靶射击，命中的概率为.假设小华同学每次射击的结果相互独立.
(1)求小华同学恰好命中两次的概率；
(2)求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)记：“小华恰好命中两次”为事件A，“小华射击甲靶命中”为事件B，
“小华第一次射击乙靶命中”为事件C，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D，
由题意可知，，
由于，
∴，
故甲同学恰好命中一次的概率为.
(2)，1，2，3，5．
，，
，，
，
X
0
1
2
3
5
P
.
16．(2020·贵溪市实验中学高三月考)有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是、、、，求以下的概率：
(1)4人中至少有2人合格的概率；
(2)4人中恰好只有2人合格的概率.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{没有合格，只有1人合格}，由题意，
1、没有合格的概率为，
2、只有1人合格的概率为，
∴4人中至少有2人合格的概率为；
(2)4人中恰好只有2人合格，则其概率为：
，
17．(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
(1)通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)114人；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，
∴
∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人
(2)的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则
的分布为
故的分布列为：
0
3
5
8
10
13
18(2020·福建高三月考)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量(kg)在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量(Kg)
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
(1)试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
(ⅰ)记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
(ⅱ)假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
(参考数据：若，，，)
【答案】(1)甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头(2)(ⅰ)详见解析(ⅱ)(元)
【解析】(1)由于猪的体重X近似服从正态分布，
设各阶段猪的数量分别为
(头)；
同理，
(头)
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为.
，，
所以Y的分布列为：
1100
400
P
所以(元)
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为(元).
19．(2020·山东高三专题练习)法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位：)
981
972
966
992
1010
1008
954
952
969
978
989
1001
1006
957
952
969
981
984
952
959
987
1006
1000
977
966
尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由
附：
①若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量
②若，则，，；
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
【答案】(1)分布列见解析；期望为1(个)(2)详见解析
【解析】(1)由题意知，的所有可能取值为0，1，2.
；；
.所以的分布列为：
0
1
2
P
所以(个).
(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.
假设面包师没有撒谎，则.
根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，
则.
庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，
这25个数据的平均值为，
由附②数据知，，
由附③知，事件“”为小概率事件，
所以“假设面包师没有撒谎”有误，
所以庞加莱认为面包师撒谎.
20．(2020·山东高三专题练习)某服装店每年春季以每件15元的价格购入型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的型号童裤将以每件10元的价格低价处理(根据经验，1个月内完全能够把型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进型号童裤)．该服装店统计了过去18年中每年该季度型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．
前2月内的销售量(单位：件)
30
40
50
频数(单位：年)
6
8
4
(1)若今年该季度服装店购进型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售型号童裤获取利润的分布列和期望；(结果保留一位小数)
(2)依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件型号童裤时所获得的平均利润最大．
【答案】(1)分布列见解析，元；(2)40件
【解析】(1)设服装店某季度销售型号童裤获得的利润为(单位：元)．
当需求量为30时，，
当需求量为40时，，
当需求量为50时，．
所以，．
故的分布列为
400
600
则(元)．
所以服装店今年销售型号童裤获得的利润均值为533.3元．
(2)设销售型号童裤获得的利润为．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进型号童裤30件时，
；
当购进型号童裤40件时，
；
当购进型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件型号童裤时所获得的平均利润最大．
21． (2020·六安市城南中学高三月考)某单位食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售，如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂，根据调查，得到食堂每天面包销售量(单位：个)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率，同一组数据用该区间的中点值作为代表.
(1)求面包的日销售量(单位：个)的分布列和均值；
(2)若食堂每天购买的面包数量相同，该食堂有以下两种购买方案：方案一：按平均数购买；方案二：按中位数购买，请你以利润期望值为决策依据选择更合理的方案.
【答案】(1)分布列见解析，84；(2)选择方案二.
【解析】(1)由频率分布直方图可知，所有的可能取值为65，75，85，95，105，
且，，
，，
.
因此的分布列为：
65
75
85
95
105
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
.
(2)由(1)知平均数为84，由频率分布直方图可知中位数为.
假设食堂一天所获利润为元，
若选择方案一，即一天买入84个面包，
当时，；
当时，；
当时，，
此时.
若选择方案二，即一天买入85 个面包，
当时，；
当时，；
当时，，
此时.
因为，所以选择方案二.
22．(2020·全国高三专题练习)2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
(1)求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；
(2)已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；
②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.
【答案】(1)分布列见解析；(2)①元；②选择方案二.
【解析】(1)由题意可知，随机变量服从二项分布，
故()
则的分布列为
0
1
2
3
(2)①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，
因为，，
所以.
所以三个接种周期的平均花费为.
②随机变量可能的取值为300，600，900，
设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由(1)知，.
所以，
，
，
所以
因为.
所以选择方案二.
23．(2020·全国高三专题练习)某精密仪器生产厂准备购买，，三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
频数
型号
60
60
0
型号
30
60
30
型号
0
80
40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
(Ⅰ)求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
(Ⅱ)以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)时应当购买18件易损件.
【解析】(Ⅰ)由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率(频率)分布表为：
每台车床在一年中更换易损件的件数
5
6
7
概率(频率)
型号
0
型号
型号
0
设一年中，，三种型号车床更换易损件分别为，，，
三种型号车床更换易损件的总数为，
，
，
所以，
所以一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为.
(Ⅱ)由题意，所有可能取值为16，17，18，19，20，
由(Ⅰ)可知，
故的概率分布列为：
19
20
设购买18件的总费用为，则的可能取值为1.8，2，2.2，
则万元，
设购买19件的总费用为，则的可能取值为1.9，2.1，
则万元，
，所以在购买车床的同时应当购买18件易损件.
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