2021年中考数学 二次函数压轴题核心考点突破 专题11 胡不归模型

胡不归模型

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在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

【问题分析】

，记，

即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

方法突破

【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

专项训练

1．直线与抛物线交于，两点（其中点在点的左侧），与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为（点在点的下方），设点的横坐标为

（1）求点的坐标及线段的长（用含的式子表示）；

（2）直接用含的式子表示与之间的关系式（不需写出的取值范围）；

（3）若．

①求点的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，则满足条件的点的坐标是　　．

【分析】（1）由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为，将代入直线的解析式中即可求出点的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出的长度；

（2）将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于的二元一次方程，由求根公式找出值中较大的数，令其为，变换等式即可得出结论；

（3）①借用（2）的结论，利用得出关于的一元二次方程，解方程得出的值代入原方程进行验证即可确定的结果，在将代入关于的解析式中即可得出点的横坐标，由点在直线上即可得出点坐标；②作点关于对称轴的对称点，过点作于点，连接、交抛物线对称轴于点，通过三角形内两边之和大于第三边找出点的位置，再通过解直角三角形求出的长，进而即可找出点的坐标．

【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，

令，则有，

即点的坐标为．

抛物线的顶点的坐标为，

点在点的下方，

．

（2）点在直线上，且其横坐标为，

则点的坐标为，

将点的坐标代入抛物线中，

得：，

整理，得：．

（3）①依照题意画出图形，如图1所示．

过点作轴，过点作轴交于点．

直线的解析式为，

，

由勾股定理得：．

，

有，

化简，得：，

解得：，或．

当时，，不合适，

，

此时，

．

故此时点的坐标为．

②作点关于对称轴的对称点，过点作于点，连接、交抛物线对称轴于点，如图2所示．

直线的解析式为，，

，

．

、关于对称轴对称，

，

．

当点、、三点共线时最小．

点坐标为，抛物线对称轴为，

点的坐标为．

又，

，

，

点的坐标为．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据二次函数的解析式找出其对称轴及顶点坐标；（2）由求根公式得出；（3）①得出关于的无理方程；②寻到点的位置．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度不小，①中涉及到了解无理方程，产生了增根需要去验证；②寻找点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点的位置．

2．如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？

【分析】（Ⅰ）只需把、两点的坐标代入，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，从而得到，然后根据三角函数的定义就可求出的值；

（Ⅱ）（1）过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，易得．若点在点的下方，①当时，．此时可证得，根据相似三角形的性质可得．则有，然后把代入抛物线的解析式，就可求出点的坐标②当时，，同理，可求出点的坐标；若点在点的上方，同理，可求出点的坐标；（2）过点作轴于，如图3．易得，则点在整个运动中所用的时间可表示为．作点关于的对称点，连接，则有，，，从而可得，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时可证到四边形是矩形，从而有，．然后求出点的坐标，从而得到、、的值，即可得到点的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得

，

解得：．

抛物线的解析式为

联立，

解得：或，

点的坐标为．

如图1．

，，，

，，，

，

是直角三角形，

，

；

（Ⅱ）方法一：

（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．

过点作轴于，则．

设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．

，，

．

若点在点的下方，

①如图2①，当时，则．

，，

，

．

．

则．

把代入，得

，

整理得：

解得：（舍去），（舍去）．

②如图2②，当时，则．

同理可得：，则，

把代入，得

，

整理得：

解得：（舍去），，

，；

若点在点的上方，

①当时，则，

同理可得：点的坐标为．

②当时，则．

同理可得：点的坐标为，．

综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；

方法二：

作的“外接矩形” ，易证，

，

以，，为顶点的三角形与相似，

或，

设，，，

①，，

，，

②，

，，（舍，

满足题意的点的坐标为、，、，；

（2）方法一：

过点作轴于，如图3．

在中，，即，

点在整个运动中所用的时间为．

作点关于的对称点，连接，

则有，，，

，．

根据两点之间线段最短可得：

当、、三点共线时，最小．

此时，，

四边形是矩形，

，．

对于，

当时，有，

解得：，．

，，

，

，

点的坐标为．

方法二：

作点关于的对称点，交于点，显然，

作轴，垂足为，交直线于点，如图4，

在中，，即，

当、、三点共线时，最小，

，，

，

，，

，，

，

，，，

为的中点，

，

，

．

方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．

，，

．

，，

，

，

．

．

当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，

抛物线的解析式为，且，

可求得点坐标为

则点横坐标为2，将代入，得．

所以．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点运动的总时间转化为是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．

3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；

（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．

【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点，可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由、的坐标可求出一次函数解析式；

（2）作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．

【解答】解：（1）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

，

点的坐标为，代入抛物线的解析式得，，

，

抛物线的解析式为，即．

令，解得，，

，

，

的面积为5，

，

，代入抛物线解析式得，，

解得，，

，

设直线的解析式为，

，解得：，

直线的解析式为．

（2）过点作轴交于，如图，设，则，

，

，

．

当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

，，

，，

，

，

，

、关于轴对称，

，

，此时最小，

，，

，

．

的最小值是3．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．

4．抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接，求线段的长；

（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标；

（3）如图3，点是线段的中点，连接，将沿直线翻折至△的位置，再将△绕点旋转一周，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，直线分别与直线，轴交于点，．那么，在△的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别表示和的坐标，利用勾股定理可得的长；

（2）令，可求得，，，，利用待定系数法可计算直线的解析式为：，设，，表示的长，利用勾股定理计算的长，发现，得，计算，利用配方法可得当的值最大时，，此时，，确定要使四边形周长的最小，即的值最小，将点向右平移个单位长度得点，，连接，则，再作点关于轴的对称点，，可得结论；

（3）先确定对折后落在上，是以为腰的等腰三角形存在四种情况：

①如图4，，证明△△，可计算的长；

②如图5，，此时与重合，；

③如图6，，和、重合，可得结论；

④如图7，，过作于证明四边形是矩形，根据可得结论．

【解答】解：（1）如图1，过点作轴于，

当时，，

，

，

，，

，，

；（4分）

（2）在中，令，则，

解得：，，

，，，，

，

易得直线的解析式为：，

设，，

，，

中，，，

，

，

，

，

，

，

，（5分）

当的值最大时，，此时，，（6分）

，

，

要使四边形周长的最小，即的值最小，

如图2，将点向右平移个单位长度得点，，连接，则，

再作点关于轴的对称点，，则，

，

连接与轴的交点即为使的值最小时的点，

，，

将向左平移个单位长度即得点，

此时，

对应的点的坐标为，，（7分）

四边形周长的最小值为；（8分）

（3）的长度为或或或．（12分）

理由是：如图3，是的中点，

，

，

，

，

，

将沿对折后落在直线上，即在上，

，

，

，，

①如图4，，

，

由旋转得：，，

，

过作于，

，

，，

，

，

△△，

；

②如图5，，此时与重合，，

③如图6，，

，即和、重合，

，

；

④如图7，，过作于，

，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

综上所述，的长是或或或．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．

5．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；

（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值；

（2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．

【解答】解：（1）抛物线，

令，解得或，

，．

直线经过点，

，解得，

直线解析式为：．

当时，，

，．

点，在抛物线上，

，

．

抛物线的函数表达式为：．

即．

（2）由抛物线解析式，令，得，

，．

因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是或．

①若，则有，如答图所示．

设，过点作轴于点，则，．

，即：，

．

，代入抛物线解析式，

得，整理得：，

解得：或（与点重合，舍去），

．

，

，即，

解得：．

②若，则有，如答图所示．

设，过点作轴于点，则，．

，即：，

．

，代入抛物线解析式，

得，整理得：，

解得：或（与点重合，舍去），

．

，

，

，

解得，

，

，

综上所述，或．

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：，，

如答图，过点作轴于点，则，，，

，

．

过点作轴，则．

过点作于点，则．

由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，

，即运动的时间值等于折线的长度值．

由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．

过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．

点横坐标为，直线解析式为：，

，

，．

综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．

方法二：

作，，交直线于点，

，

，

，

当且仅当时，最小，

点在整个运动中用时为：，

，

，

．

【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．