专题11 图形运动中的有关函数关系问题 -版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

这是一份专题11 图形运动中的有关函数关系问题 -版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共58页。


【类型综述】
图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．
计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
【方法揭秘】
一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．
关于面积的最值问题，有许多经典的结论．
例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．
例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．
例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．
例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．
例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．
例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．

图1 图2 图3
【典例分析】
例1 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；[来源:Z.X.X.K]
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答

当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）．


图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

图1
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．
2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．
满分解答

（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．
在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．
所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．
等腰△AMN存在三种情况：
①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．

图2 图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．
此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．
③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．

图4 图5
考点伸展

例3如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．
综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．

图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．
例4如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

图1
思路点拨
1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．
2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．
3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．
满分解答
（1）如图2，由CE//AB，得．

图2
由于△CEF与△CAF是同高三角形，
所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．
（2）如图3，延长AG交射线CD于M．
由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．
由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．
又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．
所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．

图3 图4

所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．
作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．
在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．

图5 图6
考点伸展

又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．
所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．

图7 图8[来源:]
例5在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1
思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．
3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．
4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．
满分解答

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．

图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．
如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．
如图6，当两圆外切时，．

图4 图5 图6
【变式训练】
一、解答题（本大题共20题）
1．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝2与x轴相交于点D，点P是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动，设点P运动的时间为t（s）．
（1）点B的坐标为　 　，抛物线的解析式是　 　；
（2）求当t为何值时，△PAC的周长最小？
（3）当t为何值时，△PAC是以AC为腰的等腰三角形？

【答案】（1）（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3；（2）t＝2；（3）t＝4或4+或4﹣.
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标与对称轴x=1代入解析式即可求出b，c的值，即可求出解析式,故求出B点坐标；（2）由图可知，AC是定长，故只要求出PA+PC最小时，则△PAC的周长最小，又点A关于对称轴x=2的对称点是点B，故连接BC与抛物线对称轴的交点即为P点，此时PA+PC最小，则求出直线BC的解析式与x=2的交点即为P点坐标继而求出t的值；（3）根据AC为腰可分两种情况，①CP＝AC，可作图，根据AC＝CP＝，CF＝2，利用勾股定理可求出PF的长，继而求出时间t，注意还要要分两种情况，②AC＝AP，可作图，利用Rt△OAC≌Rt△DAP，得出DP=CO=3，故而求出EP的长，即可求出时间t.
【详解】

（2）如图：


当x＝2时，y＝﹣1
∴点P（2，﹣1）
∴t＝＝2
（3）若CP＝AC时，如图：过点C作CF⊥ED于点F


∴DP＝3±
∴EP＝4±
∴t1＝＝4+，t2＝＝4﹣
若点AC＝AP时，如图

∵点A（1，0），点D（2，0）
∴OA＝AD＝1，且AC＝AP
∴Rt△OAC≌Rt△DAP（HL）
∴OC＝DP＝3
∴EP＝4[来源:Z&X&X&K]
∴t＝＝4
综上所述：t＝4或4+或4﹣.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D是斜边AB的中点，点E从点B出发以1cm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线CA方向运动，规定：当点E到终点C时停止运动；设运动的时间为x秒，连接DE、DF．
（1）填空：S△ABC=　 　cm2；
（2）当x=1且点F运动的速度也是1cm/s时，求证：DE=DF；
（3）若动点F以3cm/s的速度沿射线CA方向运动；在点E、点F运动过程中，如果有某个时间x，使得△ADF的面积与△BDE的面积存在两倍关系，请你直接写出时间x的值；

【答案】（1）8（2）证明见解析（3）或4或或
【解析】
【分析】
（1）直接可求△ABC的面积；（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值．
【详解】

（2）如图：连接CD


（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°[来源:Zxxk.Com]
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
若S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4﹣3x|=2x
∴x1=4，x2=

3．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．
（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是　 　、　 　；
（2）当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=　 　；
（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．

【答案】（1）x，y；（2）16；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=26．
【解析】
【分析】
（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；
（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；
（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可．
【详解】
（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，∴自变量为x，因变量为y．
故答案为：x，y；

4．如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．

【答案】（1）b=2；（2）t=或或.
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,
（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.
【详解】
作BH⊥CE.∵E（4,0）,
∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2

5．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，设运动时间为t秒．

（1）△ODP的面积S=________．
（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若△OPD为等腰三角形，请写出所有满足条件的点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）
【答案】（1）10；（2）5；（3）（8，4）；（4）满足条件的点P的坐标为P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的面积公式即可求出△ODP的面积S；
（2）由于PB∥OD，根据平行四边形的判定可知当PB=OD=5时，四边形PODB是平行四边形，再求出PC=5，从而求出t的值；
（3）根据菱形的判定，当OD=OP=PQ=5时，四边形ODQP为菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，进而求出t的值及Q点的坐标；
（4）当△OPD为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①如果O为顶点，那么OP=OD=5，②如果P为顶点，那么PO=PD，③如果D为顶点，那么DP=DO=5，分别做辅助线，利用勾股定理求出P点的坐标.

（2）解：∵PB∥OD，
∴当PB=OD时，四边形PODB是平行四边形，
∵OD=5，
∴PB=5，
∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5，
∵点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，
∴t=5
（3）解：当OD=OP=PQ=5时，ODQP为菱形，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC= = =3，
∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，
∴Q点的坐标为（8，4）
（4）解：△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP=OD=5，
由勾股定理可以求得PC=3，此时P1（3，4）；
②如果P为顶点，那么PO=PD，
作PE⊥OA于E，则OE=ED=2.5，此时P2（2.5，4）；


6．如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）试说明：△BDN∽△OCB；
（2）试用t的代数式表示MH的长；
（3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？
（4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．

【答案】（1）详见解析；（2）MH=6﹣t；（3）当或时，△BDM与△BOA相似；（4）
.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB.
（2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得=，代入求解即可.
（3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
（4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN =S△BDM -S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN- S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
【详解】

（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB==10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴，
∴，
∴MH=6﹣t；
（3）①若△BDM∽△BAO，
∴，
∴，
∴t=，
②若△BDM∽△BOA，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当或时，△BDM与△BOA相似；

①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM﹣S△BDN==，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN﹣S△BDM=t2﹣×t×（6﹣t）=t2﹣3t．

7．如图，直角坐标系内的梯形（为原点）中，，，，．
求经过，，三点的抛物线的解析式；
延长交抛物线于点，求线段的长；
在的条件下，动点、分别从、同时出发，都以每秒个单位的速度运动，其中点沿由向运动，点沿由由运动（其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止），过点作交于点，连接．设动点运动的时间为秒，请你探索：当时间为何值时，中有一个角是直角．

【答案】（1）；（2）；（3）当或时，中有一个角是直角．
【解析】
【分析】
（1）由于抛物线经过原点，因此可以设解析式为y=ax2+bx，再把B、C两点的坐标代入抛物线即可求出二次函数的解析式．
（2）本题可以根据C、D两点的纵坐标相等，求出D点的横坐标，则C、D两点之差即为所求．
（3）由题意可知，△PMB有一个角是直角有两种情况①∠MPB=90°时，此时Q、M、P三点在一条直线上，根据四边形AOPQ为矩形，求出t；②∠PMB=90°时，延长QM交X轴于点N，△PNM∽△MNB，△CQM∽△BNM，求出t．
【详解】

当时，则，
解得，，．
∴；

延长交轴于点，有．
①当点与点重合时，有
，则四边形是矩形．
∴即
∴．
②若，则．
∴．
∵，
∴．

解得，（舍去），，
综合①，②知，当或时，中有一个角是直角．
8．已知：在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动；同时，动点也从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动．设两点运动的时间为秒．
连接，在点、运动过程中，与是否始终相似？请说明理由；
连接，设的面积为，求关于的函数关系式；
连接、，是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
探索：把沿直线折叠成，设与交于点，当是直角三角形时，请直接写出的值．

【答案】相似，理由见解析；∴；存在，的值为；，．
【解析】
【分析】
（1）已知AC、BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长，根据，进而即可求得△APQ∽△ABC.
（2）根据△APQ∽△ABC即可求得，即可求得S关于t的方程式.
（3）先求证△PCQ∽△QBC进而可以得，即，求得t的值即可解题.
（4）分别用t表示PE、EQ、BQ的值，根据勾股定理即可求得t的值，即可解题.
【详解】

(2)∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=〖90〗^∘
∵PQ/BC=AQ/AC
∴PQ/3=t/4
∴PQ=3/4 t
∵CQ=4-t
∴S=1/2⋅3/4 t⋅(4-t)=-3/8 t^2+3/2 t
(3)存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=〖90〗^∘
∵∠CBQ+∠BQC=〖90〗^∘
∴∠PCQ=∠CBQ

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E、F分别是AC、BC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动；同时，点Q从点E出发，沿EB方向匀速运动，两者速度均为1cm/s；当其中一点停止运动时，另外一点也停止运动．连接PQ、PF，设运动时间为ts（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？
（2）如图①，设四边形PFBQ的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，四边形PFBQ的面积与△ABC的面积之比为2：5？
（4）如图②，连接FQ，是否存在某一时刻，使得PF与QF互相垂直？若存在，求出此时t的值；若不存，请说明理由．

【答案】（1）当t=时，△EPQ为等腰三角形；（2）y=；（3）1；（4）t=时，PF与QF互相垂直.
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB=10，由DE是中位线可知DE=5，△EPQ为等腰三角形只需PE=EQ，即t=5-t,解方程即可.（2）过P作PH⊥BC于H，连接FE，由sin∠PEH=，可知PH=，即△EQP的高，根据△CDE可求出DE边的高，即△PEF和△EFB的高，根据y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，即可得答案；（3）先求出△ABC的面积，根据（2）所得关系式及已知面积比，列方程即可得答案.（4）如图③过P作PG⊥AB于G，过Q作QH⊥AB于H，过D作DM⊥AB于M，由勾股定理可知AM的长，△BHQ中，利用∠B的三角函数值可得BH、QH的长，由PF⊥FQ，可证明△PGF∽△FHQ，根据对应边的关系列出方程即可求得t的值.
【详解】

（2）如图②，过P作PH⊥BC于H，连接FE，
sin∠PEH= ，
∴ ，
∴PH= ，
设△DCE中，DE边上的高为h，
×3×4=×5h，h=，
∴y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，
=×PE+×FB﹣EQ•PH，
=（5﹣t）+×5﹣ ，
=﹣t+12；

（4）如图③，过P作PG⊥AB于G，过Q作QH⊥AB于H，过D作DM⊥AB于M，
由（3）知：PG=DM=，
Rt△ADM中，∵AD=3，
∴AM=，
∴FG=5﹣﹣t=﹣t，
Rt△QHB中，BQ=4﹣t，
sin∠B= ，
∴QH=，
∴BH=，
∴FH=5﹣BH=，

t1=0（舍），t2=．
∴当t=时，PF与QF互相垂直．


10．如图1，已知长方形ABCD，AB=CD， BC=AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为y，y和x的关系如图2所示.

（1）AB=________cm, BC=______cm;
（2）写出时,y与x之间的关系式；
（3）当y=12时，求x的值；
（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小，若存在，求出此时∠APD的度数，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB=6cm，BC=12cm；（2）y=12x；（3）x=1或11；（4）存在，此时∠APD =90°
【解析】分析：（1）根据函数图象可得从A到B共用了3秒，从B到C用了6秒，速度为2cm/s,则可计算出AB、BC的长度；
（2）由三角形面积公式可得: ，△APD的面积=和AP＝2x可得出y与x之间的关系式；
（3）分情况讨论，当点P在AB和CD上时，求得x的值即可;
（4）作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D与BC交于点P，根据两边之和大于第三边可知A′D最小，即△APD的周长最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．
详解：

（2）如图所示：

当时,点P在线段AB上，AP＝2x,
∴S△ADP=.
（3）如图所示：
分两种情况：
①当P在AB上时，如图所示，当y=3时，3=3x，x=1，

②当P在CD上时，如图所示，则AB+BC+CP=t，

∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=PD•AD=×6×（12-t）=3（12-t），
当y=3时，3=3（12-t），
t=11，
综上所述，当y=3时，x的值是1秒或11秒；

∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A(﹣3，0)，B(2，0)，C为y轴正半轴上一点，且BC=4.
(1)求∠OBC的度数；
(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；
②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系.

【答案】（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5
【解析】
【分析】(1)根据等边三角形性质可得∠OBC=60°；(2)分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形的特殊边关系推出结果(300角所对直角边等于斜边的一半)；（3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）.
【详解】（1）如图1：
在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，
∵CO⊥BD，
∴CD=CB=4，
∴CD=CB=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°；

Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3：
∵∠OBC=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=，
∴，解得：t=2；
②如图4：
当a＜5时，
∵AP=a，BQ=b，
∴BP=5﹣a，
∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，
∴△PQB是等边三角形，∴b=5﹣a，即a+b=5，
如图5：当a＞5时，
∵AP=a，BQ=b，
∴BP=a﹣5，
∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，
∴BP=BQ，
∴a﹣5=b，即a﹣b=5.

故正确答案为：（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒8个单位长度的速度运动，在BC上以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）当点P在AB边上运动时，求PQ与△ABC的一边垂直时t的值；
（3）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．

【答案】（1）4﹣t；（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或；（3）S与t的函数关系式为：S=；（4）t的值为或．
【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；
（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC；当PQ⊥AB时；当PQ⊥AC时；分别求解即可；
（3）当P在AB边上时，即0≤t≤1，作PG⊥AC于G，或当P在边BC上时，即1＜t≤3，分别根据三角形的面积求函数的解析式即可；
（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，列方程求解；②当P在边AC上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解.
详解：（1）如图1，


（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：
①当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC，此时t=0；
②当PQ⊥AB时，如图2，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，
∴cos30°=，
∴，
t=；
③当PQ⊥AC时，如图3，


（3）分两种情况：
①当P在AB边上时，即0≤t≤1，如图4，作PG⊥AC于G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴S△APQ=AQ•PG=（4﹣t）•4t=﹣2t2+8t；
②当P在边BC上时，即1＜t≤3，如图5，


（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：
①当P在边AB上时，如图6，

AP=PQ，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，
∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴AG=4t，
由AQ=2AG得：4﹣t=8t，t=，
②当P在边AC上时，如图7，AQ=PQ，


13．（本题满分10分）
如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x-15|+=0(OB＞OC)，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，连接BN．将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=.
⑴ 求点B的坐标．
⑵ 求直线BN的解析式．
⑶ 将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式.

【答案】（1）B（15，13）；（2）直线BN的解析式为y=x+8；（3）S=．
【解析】
试题分析：（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．

（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，

由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD=，
∴，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴，

（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，

由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′•OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，

∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，

考点：一次函数综合题．
14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣2）（3）P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，


（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），

考点：二次函数综合题．
15.如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+（2）证明见解析（3）
【解析】
﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．


（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，[来源:Z*xx*k.Com]
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE=．
∴PF：PE：EF=：2：1．
∴P（，）．
∴△PEF的面积的最小值为=×（）2=．
考点：二次函数综合题
16.如图在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为秒.其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q.
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0）,作直线AB的垂线CM，垂足为M，若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切，若存在，请直接写出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）m=4﹣t 或m=4﹣t（3）存在，（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）
【解析】
（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．
试题解析：（1）如图1中，连接QP．
[来源:Zxxk.Com]
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴，
∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．


∵OC+AQ﹣CQ=4，
∴m+5t﹣t=4，
∴m=4﹣t．
（3）存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t= ，
由（2）可知，m=﹣或．


综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
考点：一次函数综合题
17.如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+ （3）
【解析】
性质可求得其最大值．

（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+ ，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=．
【解析】
（4，0）、点C（0，3），分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t，即S= =，
综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．

考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．
19.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，.动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点、点的运动时间为.

（1）当时，求经过点 三点的抛物线的解析式；
（2）当时，求的值；
（3）当线段与线段相交于点，且时，求的值；
（4）连接，当点在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．
【答案】（1）（2）（3）t=3（4）
【解析】
∴P点的坐标为（2，3）
设经过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x-4）
将P（2，3）代入解析式中，则有2×（2-4）a=3
∴a=-
∴

依题意有CP=2t，OQ=t
∴BP=2t-4，AQ=4-t
∵CB∥OA
∴△BMP∽△AMQ
∴
∴BP=2AM，即2t-4=2（4-t）
解得t=3

（2） 当0≤t≤2时，S=；
当2＜t≤4
设线段AB与线段PQ相较于点D，过点Q作QN⊥CP于点N
则△BDP∽△NQP，∴

[来源:ZXXK]
当t＞4时，设线段AB与CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N
则△CBM∽△CNQ

考点：二次函数综合题
20.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) CD=， P（2，﹣1）；(2) y=x2﹣4x+3；(3) 存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
试题分析：（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．
试题解析：
（1）如图，连接OC，


∴PD=PC﹣CD=﹣=1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，

∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．[来源:+网]
考点：二次函数综合题．